Theorem gsumconstcmn 14143

Description: Sum of a constant series. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumconst.b	|- B = ( Base ` G )
gsumconst.m	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
gsumconstcmn	|- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. A |-> X ) ) = ( (♯ ` A ) .x. X ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, G   k, X

Allowed substitution hint:   .x. ( k)

Proof of Theorem gsumconstcmn

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq1 4210	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( k e. w |-> X ) = ( k e. (/) |-> X ) )
2	1	oveq2d 6091	. . 3 |- ( w = (/) -> ( G gsumg ( k e. w |-> X ) ) = ( G gsumg ( k e. (/) |-> X ) ) )
3		fveq2 5690	. . . 4 |- ( w = (/) -> (♯ ` w ) = (♯ ` (/) ) )
4	3	oveq1d 6090	. . 3 |- ( w = (/) -> ( (♯ ` w ) .x. X ) = ( (♯ ` (/) ) .x. X ) )
5	2, 4	eqeq12d 2253	. 2 |- ( w = (/) -> ( ( G gsumg ( k e. w |-> X ) ) = ( (♯ ` w ) .x. X ) <-> ( G gsumg ( k e. (/) |-> X ) ) = ( (♯ ` (/) ) .x. X ) ) )
6		mpteq1 4210	. . . 4 |- ( w = y -> ( k e. w |-> X ) = ( k e. y |-> X ) )
7	6	oveq2d 6091	. . 3 |- ( w = y -> ( G gsumg ( k e. w |-> X ) ) = ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) )
8		fveq2 5690	. . . 4 |- ( w = y -> (♯ ` w ) = (♯ ` y ) )
9	8	oveq1d 6090	. . 3 |- ( w = y -> ( (♯ ` w ) .x. X ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) )
10	7, 9	eqeq12d 2253	. 2 |- ( w = y -> ( ( G gsumg ( k e. w |-> X ) ) = ( (♯ ` w ) .x. X ) <-> ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) ) )
11		mpteq1 4210	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( k e. w |-> X ) = ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) )
12	11	oveq2d 6091	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( G gsumg ( k e. w |-> X ) ) = ( G gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) ) )
13		fveq2 5690	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> (♯ ` w ) = (♯ ` ( y u. { z } ) ) )
14	13	oveq1d 6090	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( (♯ ` w ) .x. X ) = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) .x. X ) )
15	12, 14	eqeq12d 2253	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( G gsumg ( k e. w |-> X ) ) = ( (♯ ` w ) .x. X ) <-> ( G gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) ) = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) .x. X ) ) )
16		mpteq1 4210	. . . 4 |- ( w = A -> ( k e. w |-> X ) = ( k e. A |-> X ) )
17	16	oveq2d 6091	. . 3 |- ( w = A -> ( G gsumg ( k e. w |-> X ) ) = ( G gsumg ( k e. A |-> X ) ) )
18		fveq2 5690	. . . 4 |- ( w = A -> (♯ ` w ) = (♯ ` A ) )
19	18	oveq1d 6090	. . 3 |- ( w = A -> ( (♯ ` w ) .x. X ) = ( (♯ ` A ) .x. X ) )
20	17, 19	eqeq12d 2253	. 2 |- ( w = A -> ( ( G gsumg ( k e. w |-> X ) ) = ( (♯ ` w ) .x. X ) <-> ( G gsumg ( k e. A |-> X ) ) = ( (♯ ` A ) .x. X ) ) )
21		mpt0 5506	. . . . 5 |- ( k e. (/) |-> X ) = (/)
22	21	oveq2i 6086	. . . 4 |- ( G gsumg ( k e. (/) |-> X ) ) = ( G gsumg (/) )
23		gsum0cmn 14131	. . . . 5 |- ( G e. CMnd -> ( G gsumg (/) ) = ( 0g ` G ) )
24	23	3ad2ant1 1049	. . . 4 |- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) -> ( G gsumg (/) ) = ( 0g ` G ) )
25	22, 24	eqtrid 2283	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. (/) |-> X ) ) = ( 0g ` G ) )
26		hash0 11213	. . . . 5 |- (♯ ` (/) ) = 0
27	26	oveq1i 6085	. . . 4 |- ( (♯ ` (/) ) .x. X ) = ( 0 .x. X )
28		gsumconst.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
29		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
30		gsumconst.m	. . . . . 6 |- .x. = (.g ` G )
31	28, 29, 30	mulg0 13905	. . . . 5 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
32	31	3ad2ant3 1051	. . . 4 |- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
33	27, 32	eqtrid 2283	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) -> ( (♯ ` (/) ) .x. X ) = ( 0g ` G ) )
34	25, 33	eqtr4d 2274	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. (/) |-> X ) ) = ( (♯ ` (/) ) .x. X ) )
35		ssun1 3392	. . . . . . . . 9 |- y C_ ( y u. { z } )
36		resmpt 5106	. . . . . . . . 9 |- ( y C_ ( y u. { z } ) -> ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) |` y ) = ( k e. y |-> X ) )
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) |` y ) = ( k e. y |-> X )
38	37	oveq2i 6086	. . . . . . 7 |- ( G gsumg ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) |` y ) ) = ( G gsumg ( k e. y |-> X ) )
39		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) ) -> ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) )
40	38, 39	eqtrid 2283	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) ) -> ( G gsumg ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) |` y ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) )
41		fconstmpt 4817	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y u. { z } ) X. { X } ) = ( k e. ( y u. { z } ) |-> X )
42	41	fveq1i 5691	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y u. { z } ) X. { X } ) ` z ) = ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) ` z )
43		vsnid 3737	. . . . . . . . . . 11 |- z e. { z }
44		elun2 3397	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. { z } -> z e. ( y u. { z } ) )
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- z e. ( y u. { z } )
46		fvconst2g 5920	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. B /\ z e. ( y u. { z } ) ) -> ( ( ( y u. { z } ) X. { X } ) ` z ) = X )
47	45, 46	mpan2 429	. . . . . . . . 9 |- ( X e. B -> ( ( ( y u. { z } ) X. { X } ) ` z ) = X )
48	42, 47	eqtr3id 2285	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) ` z ) = X )
49	48	3ad2ant3 1051	. . . . . . 7 |- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) -> ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) ` z ) = X )
50	49	ad3antrrr 496	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) ) -> ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) ` z ) = X )
51	40, 50	oveq12d 6093	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) ) -> ( ( G gsumg ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) |` y ) ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) ` z ) ) = ( ( (♯ ` y ) .x. X ) ( +g ` G ) X ) )
52		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
53		simpll1 1067	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> G e. CMnd )
54		simp3 1030	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) -> X e. B )
55	54	ad3antrrr 496	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> X e. B )
56	55	fmpttd 5854	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) : ( y u. { z } ) --> B )
57		simplr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
58		simprr 537	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
59	58	eldifbd 3232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
60	28, 52, 53, 56, 57, 58, 59	gsump1 14134	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) ) = ( ( G gsumg ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) |` y ) ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) ` z ) ) )
61	60	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) ) = ( ( G gsumg ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) |` y ) ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) ` z ) ) )
62		simp1 1028	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) -> G e. CMnd )
63	62	cmnmndd 14088	. . . . . . 7 |- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) -> G e. Mnd )
64	63	ad3antrrr 496	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) ) -> G e. Mnd )
65		hashcl 11198	. . . . . . 7 |- ( y e. Fin -> (♯ ` y ) e. NN0 )
66	65	ad3antlr 497	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) ) -> (♯ ` y ) e. NN0 )
67	54	ad3antrrr 496	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) ) -> X e. B )
68	28, 30, 52	mulgnn0p1 13913	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ (♯ ` y ) e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( (♯ ` y ) + 1 ) .x. X ) = ( ( (♯ ` y ) .x. X ) ( +g ` G ) X ) )
69	64, 66, 67, 68	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) ) -> ( ( (♯ ` y ) + 1 ) .x. X ) = ( ( (♯ ` y ) .x. X ) ( +g ` G ) X ) )
70	51, 61, 69	3eqtr4d 2281	. . . 4 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) ) = ( ( (♯ ` y ) + 1 ) .x. X ) )
71	59	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) ) -> -. z e. y )
72		hashunsng 11226	. . . . . . 7 |- ( z e. _V -> ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
73	72	elv 2825	. . . . . 6 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) )
74	57, 71, 73	syl2an2r 603	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) )
75	74	oveq1d 6090	. . . 4 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) ) -> ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) .x. X ) = ( ( (♯ ` y ) + 1 ) .x. X ) )
76	70, 75	eqtr4d 2274	. . 3 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) ) = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) .x. X ) )
77	76	ex 115	. 2 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) -> ( G gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) ) = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) .x. X ) ) )
78		simp2 1029	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) -> A e. Fin )
79	5, 10, 15, 20, 34, 77, 78	findcard2sd 7186	1 |- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. A |-> X ) ) = ( (♯ ` A ) .x. X ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   u. cun 3218   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3705   |-> cmpt 4187   X. cxp 4767   |` cres 4771   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Fincfn 7012   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   NN0cn0 9542  ♯chash 11192   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   0gc0g 13587   Mndcmnd 13706  ._gcmg 13899  CMndccmn 14064   gsum_g cgsu 14127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-ihash 11193  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-0g 13589  df-gzsum 13590  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-minusg 13786  df-mulg 13900  df-cmn 14066  df-gsumfi 14128

This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  16106