Theorem gsumconstcmn 14266

Description: Sum of a constant series. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumconst.b	|- B = ( Base ` G )
gsumconst.m	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
gsumconstcmn	|- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. A |-> X ) ) = ( (♯ ` A ) .x. X ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, G   k, X

Allowed substitution hint:   .x. ( k)

Proof of Theorem gsumconstcmn

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq1 4216	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( k e. w |-> X ) = ( k e. (/) |-> X ) )
2	1	oveq2d 6104	. . 3 |- ( w = (/) -> ( G gsumg ( k e. w |-> X ) ) = ( G gsumg ( k e. (/) |-> X ) ) )
3		fveq2 5698	. . . 4 |- ( w = (/) -> (♯ ` w ) = (♯ ` (/) ) )
4	3	oveq1d 6103	. . 3 |- ( w = (/) -> ( (♯ ` w ) .x. X ) = ( (♯ ` (/) ) .x. X ) )
5	2, 4	eqeq12d 2253	. 2 |- ( w = (/) -> ( ( G gsumg ( k e. w |-> X ) ) = ( (♯ ` w ) .x. X ) <-> ( G gsumg ( k e. (/) |-> X ) ) = ( (♯ ` (/) ) .x. X ) ) )
6		mpteq1 4216	. . . 4 |- ( w = y -> ( k e. w |-> X ) = ( k e. y |-> X ) )
7	6	oveq2d 6104	. . 3 |- ( w = y -> ( G gsumg ( k e. w |-> X ) ) = ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) )
8		fveq2 5698	. . . 4 |- ( w = y -> (♯ ` w ) = (♯ ` y ) )
9	8	oveq1d 6103	. . 3 |- ( w = y -> ( (♯ ` w ) .x. X ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) )
10	7, 9	eqeq12d 2253	. 2 |- ( w = y -> ( ( G gsumg ( k e. w |-> X ) ) = ( (♯ ` w ) .x. X ) <-> ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) ) )
11		mpteq1 4216	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( k e. w |-> X ) = ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) )
12	11	oveq2d 6104	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( G gsumg ( k e. w |-> X ) ) = ( G gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) ) )
13		fveq2 5698	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> (♯ ` w ) = (♯ ` ( y u. { z } ) ) )
14	13	oveq1d 6103	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( (♯ ` w ) .x. X ) = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) .x. X ) )
15	12, 14	eqeq12d 2253	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( G gsumg ( k e. w |-> X ) ) = ( (♯ ` w ) .x. X ) <-> ( G gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) ) = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) .x. X ) ) )
16		mpteq1 4216	. . . 4 |- ( w = A -> ( k e. w |-> X ) = ( k e. A |-> X ) )
17	16	oveq2d 6104	. . 3 |- ( w = A -> ( G gsumg ( k e. w |-> X ) ) = ( G gsumg ( k e. A |-> X ) ) )
18		fveq2 5698	. . . 4 |- ( w = A -> (♯ ` w ) = (♯ ` A ) )
19	18	oveq1d 6103	. . 3 |- ( w = A -> ( (♯ ` w ) .x. X ) = ( (♯ ` A ) .x. X ) )
20	17, 19	eqeq12d 2253	. 2 |- ( w = A -> ( ( G gsumg ( k e. w |-> X ) ) = ( (♯ ` w ) .x. X ) <-> ( G gsumg ( k e. A |-> X ) ) = ( (♯ ` A ) .x. X ) ) )
21		mpt0 5514	. . . . 5 |- ( k e. (/) |-> X ) = (/)
22	21	oveq2i 6099	. . . 4 |- ( G gsumg ( k e. (/) |-> X ) ) = ( G gsumg (/) )
23		gsum0cmn 14244	. . . . 5 |- ( G e. CMnd -> ( G gsumg (/) ) = ( 0g ` G ) )
24	23	3ad2ant1 1049	. . . 4 |- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) -> ( G gsumg (/) ) = ( 0g ` G ) )
25	22, 24	eqtrid 2283	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. (/) |-> X ) ) = ( 0g ` G ) )
26		hash0 11257	. . . . 5 |- (♯ ` (/) ) = 0
27	26	oveq1i 6098	. . . 4 |- ( (♯ ` (/) ) .x. X ) = ( 0 .x. X )
28		gsumconst.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
29		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
30		gsumconst.m	. . . . . 6 |- .x. = (.g ` G )
31	28, 29, 30	mulg0 13987	. . . . 5 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
32	31	3ad2ant3 1051	. . . 4 |- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
33	27, 32	eqtrid 2283	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) -> ( (♯ ` (/) ) .x. X ) = ( 0g ` G ) )
34	25, 33	eqtr4d 2274	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. (/) |-> X ) ) = ( (♯ ` (/) ) .x. X ) )
35		ssun1 3392	. . . . . . . . 9 |- y C_ ( y u. { z } )
36		resmpt 5114	. . . . . . . . 9 |- ( y C_ ( y u. { z } ) -> ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) |` y ) = ( k e. y |-> X ) )
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) |` y ) = ( k e. y |-> X )
38	37	oveq2i 6099	. . . . . . 7 |- ( G gsumg ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) |` y ) ) = ( G gsumg ( k e. y |-> X ) )
39		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) ) -> ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) )
40	38, 39	eqtrid 2283	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) ) -> ( G gsumg ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) |` y ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) )
41		fconstmpt 4824	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y u. { z } ) X. { X } ) = ( k e. ( y u. { z } ) |-> X )
42	41	fveq1i 5699	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y u. { z } ) X. { X } ) ` z ) = ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) ` z )
43		vsnid 3741	. . . . . . . . . . 11 |- z e. { z }
44		elun2 3397	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. { z } -> z e. ( y u. { z } ) )
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- z e. ( y u. { z } )
46		fvconst2g 5932	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. B /\ z e. ( y u. { z } ) ) -> ( ( ( y u. { z } ) X. { X } ) ` z ) = X )
47	45, 46	mpan2 429	. . . . . . . . 9 |- ( X e. B -> ( ( ( y u. { z } ) X. { X } ) ` z ) = X )
48	42, 47	eqtr3id 2285	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) ` z ) = X )
49	48	3ad2ant3 1051	. . . . . . 7 |- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) -> ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) ` z ) = X )
50	49	ad3antrrr 496	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) ) -> ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) ` z ) = X )
51	40, 50	oveq12d 6106	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) ) -> ( ( G gsumg ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) |` y ) ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) ` z ) ) = ( ( (♯ ` y ) .x. X ) ( +g ` G ) X ) )
52		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
53		simpll1 1067	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> G e. CMnd )
54		simp3 1030	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) -> X e. B )
55	54	ad3antrrr 496	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> X e. B )
56	55	fmpttd 5866	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) : ( y u. { z } ) --> B )
57		simplr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
58		simprr 537	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
59	58	eldifbd 3232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
60	28, 52, 53, 56, 57, 58, 59	gsump1 14247	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) ) = ( ( G gsumg ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) |` y ) ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) ` z ) ) )
61	60	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) ) = ( ( G gsumg ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) |` y ) ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) ` z ) ) )
62		simp1 1028	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) -> G e. CMnd )
63	62	cmnmndd 14201	. . . . . . 7 |- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) -> G e. Mnd )
64	63	ad3antrrr 496	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) ) -> G e. Mnd )
65		hashcl 11242	. . . . . . 7 |- ( y e. Fin -> (♯ ` y ) e. NN0 )
66	65	ad3antlr 497	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) ) -> (♯ ` y ) e. NN0 )
67	54	ad3antrrr 496	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) ) -> X e. B )
68	28, 30, 52	mulgnn0p1 13995	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ (♯ ` y ) e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( (♯ ` y ) + 1 ) .x. X ) = ( ( (♯ ` y ) .x. X ) ( +g ` G ) X ) )
69	64, 66, 67, 68	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) ) -> ( ( (♯ ` y ) + 1 ) .x. X ) = ( ( (♯ ` y ) .x. X ) ( +g ` G ) X ) )
70	51, 61, 69	3eqtr4d 2281	. . . 4 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) ) = ( ( (♯ ` y ) + 1 ) .x. X ) )
71	59	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) ) -> -. z e. y )
72		hashunsng 11270	. . . . . . 7 |- ( z e. _V -> ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) ) )
73	72	elv 2825	. . . . . 6 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) )
74	57, 71, 73	syl2an2r 603	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) ) -> (♯ ` ( y u. { z } ) ) = ( (♯ ` y ) + 1 ) )
75	74	oveq1d 6103	. . . 4 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) ) -> ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) .x. X ) = ( ( (♯ ` y ) + 1 ) .x. X ) )
76	70, 75	eqtr4d 2274	. . 3 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) ) = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) .x. X ) )
77	76	ex 115	. 2 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( G gsumg ( k e. y |-> X ) ) = ( (♯ ` y ) .x. X ) -> ( G gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> X ) ) = ( (♯ ` ( y u. { z } ) ) .x. X ) ) )
78		simp2 1029	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) -> A e. Fin )
79	5, 10, 15, 20, 34, 77, 78	findcard2sd 7200	1 |- ( ( G e. CMnd /\ A e. Fin /\ X e. B ) -> ( G gsumg ( k e. A |-> X ) ) = ( (♯ ` A ) .x. X ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   u. cun 3218   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3709   |-> cmpt 4193   X. cxp 4774   |` cres 4778   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Fincfn 7026   0cc0 8185   1c1 8186   + caddc 8188   NN0cn0 9574  ♯chash 11236   Basecbs 13410   +g cplusg 13490   0gc0g 13669   Mndcmnd 13788  ._gcmg 13981  CMndccmn 14177   gsum_g cgsu 14240

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-ihash 11237  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-cmn 14179  df-gsumfi 14241

This theorem is used by:  lgseisenlem4  16397