Theorem gsumconstcmn 14143

Description: Sum of a constant series. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumconst.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumconst.m	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsumconstcmn	⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝐴) · 𝑋))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   · (𝑘)

Proof of Theorem gsumconstcmn

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq1 4210	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑤 ↦ 𝑋) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑋))
2	1	oveq2d 6091	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑤 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑋)))
3		fveq2 5690	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
4	3	oveq1d 6090	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) · 𝑋) = ((♯‘∅) · 𝑋))
5	2, 4	eqeq12d 2253	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑤 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑤) · 𝑋) ↔ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑋)) = ((♯‘∅) · 𝑋)))
6		mpteq1 4210	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑘 ∈ 𝑤 ↦ 𝑋) = (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝑋))
7	6	oveq2d 6091	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑤 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝑋)))
8		fveq2 5690	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑦))
9	8	oveq1d 6090	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((♯‘𝑤) · 𝑋) = ((♯‘𝑦) · 𝑋))
10	7, 9	eqeq12d 2253	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑤 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑤) · 𝑋) ↔ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑦) · 𝑋)))
11		mpteq1 4210	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑘 ∈ 𝑤 ↦ 𝑋) = (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑋))
12	11	oveq2d 6091	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑤 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑋)))
13		fveq2 5690	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
14	13	oveq1d 6090	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((♯‘𝑤) · 𝑋) = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · 𝑋))
15	12, 14	eqeq12d 2253	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑤 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑤) · 𝑋) ↔ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑋)) = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · 𝑋)))
16		mpteq1 4210	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑤 ↦ 𝑋) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
17	16	oveq2d 6091	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑤 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))
18		fveq2 5690	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝐴))
19	18	oveq1d 6090	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((♯‘𝑤) · 𝑋) = ((♯‘𝐴) · 𝑋))
20	17, 19	eqeq12d 2253	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑤 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑤) · 𝑋) ↔ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝐴) · 𝑋)))
21		mpt0 5506	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑋) = ∅
22	21	oveq2i 6086	. . . 4 ⊢ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg ∅)
23		gsum0cmn 14131	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
24	23	3ad2ant1 1049	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
25	22, 24	eqtrid 2283	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑋)) = (0g‘𝐺))
26		hash0 11213	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
27	26	oveq1i 6085	. . . 4 ⊢ ((♯‘∅) · 𝑋) = (0 · 𝑋)
28		gsumconst.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
29		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
30		gsumconst.m	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
31	28, 29, 30	mulg0 13905	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
32	31	3ad2ant3 1051	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
33	27, 32	eqtrid 2283	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((♯‘∅) · 𝑋) = (0g‘𝐺))
34	25, 33	eqtr4d 2274	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑋)) = ((♯‘∅) · 𝑋))
35		ssun1 3392	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})
36		resmpt 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑋) ↾ 𝑦) = (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝑋))
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑋) ↾ 𝑦) = (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝑋)
38	37	oveq2i 6086	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑋) ↾ 𝑦)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝑋))
39		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑦) · 𝑋)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑦) · 𝑋))
40	38, 39	eqtrid 2283	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑦) · 𝑋)) → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑋) ↾ 𝑦)) = ((♯‘𝑦) · 𝑋))
41		fconstmpt 4817	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∪ {𝑧}) × {𝑋}) = (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑋)
42	41	fveq1i 5691	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∪ {𝑧}) × {𝑋})‘𝑧) = ((𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑋)‘𝑧)
43		vsnid 3737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ {𝑧}
44		elun2 3397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑧} → 𝑧 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}))
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})
46		fvconst2g 5920	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → (((𝑦 ∪ {𝑧}) × {𝑋})‘𝑧) = 𝑋)
47	45, 46	mpan2 429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (((𝑦 ∪ {𝑧}) × {𝑋})‘𝑧) = 𝑋)
48	42, 47	eqtr3id 2285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑋)‘𝑧) = 𝑋)
49	48	3ad2ant3 1051	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑋)‘𝑧) = 𝑋)
50	49	ad3antrrr 496	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑦) · 𝑋)) → ((𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑋)‘𝑧) = 𝑋)
51	40, 50	oveq12d 6093	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑦) · 𝑋)) → ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑋) ↾ 𝑦))(+g‘𝐺)((𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑋)‘𝑧)) = (((♯‘𝑦) · 𝑋)(+g‘𝐺)𝑋))
52		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
53		simpll1 1067	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝐺 ∈ CMnd)
54		simp3 1030	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
55	54	ad3antrrr 496	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑋 ∈ 𝐵)
56	55	fmpttd 5854	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑋):(𝑦 ∪ {𝑧})⟶𝐵)
57		simplr 533	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
58		simprr 537	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
59	58	eldifbd 3232	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
60	28, 52, 53, 56, 57, 58, 59	gsump1 14134	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑋) ↾ 𝑦))(+g‘𝐺)((𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑋)‘𝑧)))
61	60	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑦) · 𝑋)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑋) ↾ 𝑦))(+g‘𝐺)((𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑋)‘𝑧)))
62		simp1 1028	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ CMnd)
63	62	cmnmndd 14088	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
64	63	ad3antrrr 496	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑦) · 𝑋)) → 𝐺 ∈ Mnd)
65		hashcl 11198	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
66	65	ad3antlr 497	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑦) · 𝑋)) → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
67	54	ad3antrrr 496	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑦) · 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
68	28, 30, 52	mulgnn0p1 13913	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (♯‘𝑦) ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((♯‘𝑦) + 1) · 𝑋) = (((♯‘𝑦) · 𝑋)(+g‘𝐺)𝑋))
69	64, 66, 67, 68	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑦) · 𝑋)) → (((♯‘𝑦) + 1) · 𝑋) = (((♯‘𝑦) · 𝑋)(+g‘𝐺)𝑋))
70	51, 61, 69	3eqtr4d 2281	. . . 4 ⊢ (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑦) · 𝑋)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑋)) = (((♯‘𝑦) + 1) · 𝑋))
71	59	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑦) · 𝑋)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
72		hashunsng 11226	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ V → ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1)))
73	72	elv 2825	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1))
74	57, 71, 73	syl2an2r 603	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑦) · 𝑋)) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1))
75	74	oveq1d 6090	. . . 4 ⊢ (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑦) · 𝑋)) → ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · 𝑋) = (((♯‘𝑦) + 1) · 𝑋))
76	70, 75	eqtr4d 2274	. . 3 ⊢ (((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑦) · 𝑋)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑋)) = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · 𝑋))
77	76	ex 115	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑦) · 𝑋) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑋)) = ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) · 𝑋)))
78		simp2 1029	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
79	5, 10, 15, 20, 34, 77, 78	findcard2sd 7186	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝐴) · 𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∖ cdif 3217   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  {csn 3705   ↦ cmpt 4187   × cxp 4767   ↾ cres 4771  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  Fincfn 7012  0cc0 8169  1c1 8170   + caddc 8172  ℕ₀cn0 9542  ♯chash 11192  Basecbs 13330  +_gcplusg 13408  0_gc0g 13587  Mndcmnd 13706  ._gcmg 13899  CMndccmn 14064   Σ_g cgsu 14127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-ihash 11193  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-0g 13589  df-gzsum 13590  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-minusg 13786  df-mulg 13900  df-cmn 14066  df-gsumfi 14128

This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  16106