Theorem moddvds 11942

Description: Two ways to say 𝐴≡𝐵 (mod 𝑁), see also definition in [ApostolNT] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
moddvds	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem moddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnq 9698	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
2	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℚ)
3		nngt0 9007	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4	3	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 0 < 𝑁)
5		q0mod 10426	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (0 mod 𝑁) = 0)
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (0 mod 𝑁) = 0)
7	6	eqeq2d 2205	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
8		zq 9691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
9	8	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℚ)
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℚ)
11		zq 9691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℚ)
12	11	ad2antll 491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℚ)
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℚ)
14		qnegcl 9701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → -𝐵 ∈ ℚ)
15	13, 14	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → -𝐵 ∈ ℚ)
16	2	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℚ)
17	4	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → 0 < 𝑁)
18		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁))
19	10, 13, 15, 16, 17, 18	modqadd1 10432	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁))
20	19	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁)))
21		simprl 529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
22	21	zcnd 9440	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
23		simprr 531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
24	23	zcnd 9440	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
25	22, 24	negsubd 8336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
26	25	oveq1d 5933	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁))
27	24	negidd 8320	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
28	27	oveq1d 5933	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
29	26, 28	eqeq12d 2208	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)))
30	20, 29	sylibd 149	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)))
31	9	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℚ)
32	12	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℚ)
33		qsubcl 9703	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℚ)
34	31, 32, 33	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℚ)
35		0z 9328	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
36		zq 9691	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
37	35, 36	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → 0 ∈ ℚ)
38	2	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℚ)
39	4	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → 0 < 𝑁)
40		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
41	34, 37, 32, 38, 39, 40	modqadd1 10432	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → (((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁))
42	41	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) → (((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁)))
43	22, 24	npcand 8334	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
44	43	oveq1d 5933	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁))
45	24	addlidd 8169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (0 + 𝐵) = 𝐵)
46	45	oveq1d 5933	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((0 + 𝐵) mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁))
47	44, 46	eqeq12d 2208	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁) ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
48	42, 47	sylibd 149	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
49	30, 48	impbid 129	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)))
50		zsubcl 9358	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
51		dvdsval3 11934	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
52	50, 51	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
53	7, 49, 52	3bitr4d 220	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
54	53	3impb 1201	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  0cc0 7872   + caddc 7875   < clt 8054   − cmin 8190  -cneg 8191  ℕcn 8982  ℤcz 9317  ℚcq 9684   mod cmo 10393   ∥ cdvds 11930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-q 9685  df-rp 9720  df-fl 10339  df-mod 10394  df-dvds 11931

This theorem is referenced by:  modm1div  11943  summodnegmod  11965  modmulconst  11966  addmodlteqALT  12001  dvdsmod  12004  congr  12238  cncongr1  12241  cncongr2  12242  crth  12362  eulerthlemh  12369  eulerthlemth  12370  prmdiv  12373  prmdiveq  12374  odzcllem  12380  odzdvds  12383  odzphi  12384  pockthlem  12494  4sqlem11  12539  4sqlem12  12540  znf1o  14139  wilthlem1  15112  lgslem1  15116  lgsmod  15142  lgsdirprm  15150  lgseisenlem2  15187  lgseisenlem3  15188  lgseisenlem4  15189  m1lgs  15192