Theorem moddvds 11820

Description: Two ways to say 𝐴≡𝐵 (mod 𝑁), see also definition in [ApostolNT] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
moddvds	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem moddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnq 9647	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
2	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℚ)
3		nngt0 8958	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4	3	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 0 < 𝑁)
5		q0mod 10369	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (0 mod 𝑁) = 0)
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (0 mod 𝑁) = 0)
7	6	eqeq2d 2199	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
8		zq 9640	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
9	8	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℚ)
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℚ)
11		zq 9640	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℚ)
12	11	ad2antll 491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℚ)
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℚ)
14		qnegcl 9650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → -𝐵 ∈ ℚ)
15	13, 14	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → -𝐵 ∈ ℚ)
16	2	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℚ)
17	4	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → 0 < 𝑁)
18		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁))
19	10, 13, 15, 16, 17, 18	modqadd1 10375	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁))
20	19	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁)))
21		simprl 529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
22	21	zcnd 9390	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
23		simprr 531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
24	23	zcnd 9390	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
25	22, 24	negsubd 8288	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
26	25	oveq1d 5903	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁))
27	24	negidd 8272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
28	27	oveq1d 5903	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
29	26, 28	eqeq12d 2202	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)))
30	20, 29	sylibd 149	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)))
31	9	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℚ)
32	12	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℚ)
33		qsubcl 9652	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℚ)
34	31, 32, 33	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℚ)
35		0z 9278	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
36		zq 9640	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
37	35, 36	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → 0 ∈ ℚ)
38	2	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℚ)
39	4	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → 0 < 𝑁)
40		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
41	34, 37, 32, 38, 39, 40	modqadd1 10375	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → (((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁))
42	41	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) → (((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁)))
43	22, 24	npcand 8286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
44	43	oveq1d 5903	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁))
45	24	addid2d 8121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (0 + 𝐵) = 𝐵)
46	45	oveq1d 5903	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((0 + 𝐵) mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁))
47	44, 46	eqeq12d 2202	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁) ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
48	42, 47	sylibd 149	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
49	30, 48	impbid 129	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)))
50		zsubcl 9308	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
51		dvdsval3 11812	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
52	50, 51	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
53	7, 49, 52	3bitr4d 220	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
54	53	3impb 1200	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  0cc0 7825   + caddc 7828   < clt 8006   − cmin 8142  -cneg 8143  ℕcn 8933  ℤcz 9267  ℚcq 9633   mod cmo 10336   ∥ cdvds 11808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-n0 9191  df-z 9268  df-q 9634  df-rp 9668  df-fl 10284  df-mod 10337  df-dvds 11809

This theorem is referenced by:  modm1div  11821  summodnegmod  11843  modmulconst  11844  addmodlteqALT  11879  dvdsmod  11882  congr  12114  cncongr1  12117  cncongr2  12118  crth  12238  eulerthlemh  12245  eulerthlemth  12246  prmdiv  12249  prmdiveq  12250  odzcllem  12256  odzdvds  12259  odzphi  12260  pockthlem  12368  lgslem1  14697  lgsmod  14723  lgsdirprm  14731  lgseisenlem2  14747  m1lgs  14748