Theorem moddvds 11350

Description: Two ways to say 𝐴≡𝐵 (mod 𝑁), see also definition in [ApostolNT] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
moddvds	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem moddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnq 9327	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
2	1	adantr 272	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℚ)
3		nngt0 8655	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4	3	adantr 272	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 0 < 𝑁)
5		q0mod 10021	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (0 mod 𝑁) = 0)
6	2, 4, 5	syl2anc 406	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (0 mod 𝑁) = 0)
7	6	eqeq2d 2126	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
8		zq 9320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
9	8	ad2antrl 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℚ)
10	9	adantr 272	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℚ)
11		zq 9320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℚ)
12	11	ad2antll 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℚ)
13	12	adantr 272	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℚ)
14		qnegcl 9330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → -𝐵 ∈ ℚ)
15	13, 14	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → -𝐵 ∈ ℚ)
16	2	adantr 272	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℚ)
17	4	adantr 272	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → 0 < 𝑁)
18		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁))
19	10, 13, 15, 16, 17, 18	modqadd1 10027	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁))
20	19	ex 114	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁)))
21		simprl 503	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
22	21	zcnd 9078	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
23		simprr 504	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
24	23	zcnd 9078	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
25	22, 24	negsubd 8002	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
26	25	oveq1d 5743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁))
27	24	negidd 7986	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
28	27	oveq1d 5743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
29	26, 28	eqeq12d 2129	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)))
30	20, 29	sylibd 148	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)))
31	9	adantr 272	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℚ)
32	12	adantr 272	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℚ)
33		qsubcl 9332	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℚ)
34	31, 32, 33	syl2anc 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℚ)
35		0z 8969	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
36		zq 9320	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
37	35, 36	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → 0 ∈ ℚ)
38	2	adantr 272	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℚ)
39	4	adantr 272	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → 0 < 𝑁)
40		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
41	34, 37, 32, 38, 39, 40	modqadd1 10027	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → (((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁))
42	41	ex 114	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) → (((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁)))
43	22, 24	npcand 8000	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
44	43	oveq1d 5743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁))
45	24	addid2d 7835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (0 + 𝐵) = 𝐵)
46	45	oveq1d 5743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((0 + 𝐵) mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁))
47	44, 46	eqeq12d 2129	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁) ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
48	42, 47	sylibd 148	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
49	30, 48	impbid 128	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)))
50		zsubcl 8999	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
51		dvdsval3 11345	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
52	50, 51	sylan2 282	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
53	7, 49, 52	3bitr4d 219	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
54	53	3impb 1160	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 945   = wceq 1314   ∈ wcel 1463   class class class wbr 3895  (class class class)co 5728  0cc0 7547   + caddc 7550   < clt 7724   − cmin 7856  -cneg 7857  ℕcn 8630  ℤcz 8958  ℚcq 9313   mod cmo 9988   ∥ cdvds 11341

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663  ax-arch 7664

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-q 9314  df-rp 9344  df-fl 9936  df-mod 9989  df-dvds 11342

This theorem is referenced by:  summodnegmod  11372  modmulconst  11373  addmodlteqALT  11405  dvdsmod  11408  congr  11627  cncongr1  11630  cncongr2  11631  crth  11745