Theorem moddvds 11761

Description: Two ways to say 𝐴≡𝐵 (mod 𝑁), see also definition in [ApostolNT] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
moddvds	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem moddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnq 9592	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
2	1	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℚ)
3		nngt0 8903	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4	3	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 0 < 𝑁)
5		q0mod 10311	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (0 mod 𝑁) = 0)
6	2, 4, 5	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (0 mod 𝑁) = 0)
7	6	eqeq2d 2182	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
8		zq 9585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
9	8	ad2antrl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℚ)
10	9	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℚ)
11		zq 9585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℚ)
12	11	ad2antll 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℚ)
13	12	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℚ)
14		qnegcl 9595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → -𝐵 ∈ ℚ)
15	13, 14	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → -𝐵 ∈ ℚ)
16	2	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℚ)
17	4	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → 0 < 𝑁)
18		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁))
19	10, 13, 15, 16, 17, 18	modqadd1 10317	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁))
20	19	ex 114	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁)))
21		simprl 526	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
22	21	zcnd 9335	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
23		simprr 527	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
24	23	zcnd 9335	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
25	22, 24	negsubd 8236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
26	25	oveq1d 5868	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁))
27	24	negidd 8220	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
28	27	oveq1d 5868	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
29	26, 28	eqeq12d 2185	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)))
30	20, 29	sylibd 148	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)))
31	9	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℚ)
32	12	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℚ)
33		qsubcl 9597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℚ)
34	31, 32, 33	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℚ)
35		0z 9223	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
36		zq 9585	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
37	35, 36	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → 0 ∈ ℚ)
38	2	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℚ)
39	4	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → 0 < 𝑁)
40		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
41	34, 37, 32, 38, 39, 40	modqadd1 10317	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → (((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁))
42	41	ex 114	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) → (((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁)))
43	22, 24	npcand 8234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
44	43	oveq1d 5868	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁))
45	24	addid2d 8069	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (0 + 𝐵) = 𝐵)
46	45	oveq1d 5868	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((0 + 𝐵) mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁))
47	44, 46	eqeq12d 2185	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁) ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
48	42, 47	sylibd 148	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
49	30, 48	impbid 128	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)))
50		zsubcl 9253	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
51		dvdsval3 11753	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
52	50, 51	sylan2 284	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
53	7, 49, 52	3bitr4d 219	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
54	53	3impb 1194	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  0cc0 7774   + caddc 7777   < clt 7954   − cmin 8090  -cneg 8091  ℕcn 8878  ℤcz 9212  ℚcq 9578   mod cmo 10278   ∥ cdvds 11749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-q 9579  df-rp 9611  df-fl 10226  df-mod 10279  df-dvds 11750

This theorem is referenced by:  modm1div  11762  summodnegmod  11784  modmulconst  11785  addmodlteqALT  11819  dvdsmod  11822  congr  12054  cncongr1  12057  cncongr2  12058  crth  12178  eulerthlemh  12185  eulerthlemth  12186  prmdiv  12189  prmdiveq  12190  odzcllem  12196  odzdvds  12199  odzphi  12200  pockthlem  12308  lgslem1  13695  lgsmod  13721  lgsdirprm  13729