Theorem pfxccatin12lem3 11362

Description: Lemma 3 for pfxccatin12 11363. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-May-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
swrdccatin2.l	⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12lem3	⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾)))

Proof of Theorem pfxccatin12lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
2		elfzo0 10466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)))
3		swrdccatin2.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)
4		lencl 11166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
5		elfz2nn0 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿))
6		nn0addcl 9479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0)
7	6	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0))
8	7	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0))
9	8	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0))
10	9	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0))
11	10	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0)
12		elnnz 9533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ↔ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐿 − 𝑀)))
13		nn0re 9453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
14		nn0re 9453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℝ)
15		posdif 8677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐿 ↔ 0 < (𝐿 − 𝑀)))
16	13, 14, 15	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝐿 ↔ 0 < (𝐿 − 𝑀)))
17		elnn0z 9536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀))
18		0re 8222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ 0 ∈ ℝ
19		zre 9527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
20		lelttr 8310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝐿) → 0 < 𝐿))
21	18, 19, 14, 20	mp3an3an 1380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝐿) → 0 < 𝐿))
22		nn0z 9543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℤ)
23	22	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝐿) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿))
24		elnnz 9533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿))
25	23, 24	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ)
26	25	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (0 < 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ))
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0 < 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ))
28	21, 27	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ))
29	28	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑀 → (𝑀 < 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ)))
30	29	impancom 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ)))
31	17, 30	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ)))
32	31	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ))
33	16, 32	sylbird 170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐿 − 𝑀) → 𝐿 ∈ ℕ))
34	33	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (0 < (𝐿 − 𝑀) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ))
35	12, 34	simplbiim 387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ))
36	35	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ))
37	36	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → 𝐿 ∈ ℕ))
38	37	3adant3 1044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → 𝐿 ∈ ℕ))
39	38	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀))) → 𝐿 ∈ ℕ)
40		nn0re 9453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
41	40	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → 𝐾 ∈ ℝ)
42	13	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 𝑀 ∈ ℝ)
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → 𝑀 ∈ ℝ)
44	14	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 𝐿 ∈ ℝ)
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → 𝐿 ∈ ℝ)
46	41, 43, 45	ltaddsubd 8767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → ((𝐾 + 𝑀) < 𝐿 ↔ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)))
47	46	exbiri 382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝐾 < (𝐿 − 𝑀) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
48	47	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 < (𝐿 − 𝑀) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
49	48	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
50	49	3adant2 1043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
51	50	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)
52	11, 39, 51	3jca 1204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
53	52	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
54	53	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))))
55	5, 54	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))))
56	55	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
57	56	2a1i 27	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))))
58		eleq1 2294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ 𝐿 ∈ ℕ0))
59		eleq1 2294	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ∈ ℕ))
60		breq2 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴) ↔ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
61	59, 60	3anbi23d 1352	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)) ↔ ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
62	61	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))) ↔ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))))
63	62	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))) ↔ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))))
64	57, 58, 63	3imtr4d 203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))))
65	64	eqcoms 2234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐿 = (♯‘𝐴) → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))))
66	3, 4, 65	mpsyl 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))))
67	66	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))))
68	67	imp 124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))
69	68	com12 30	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))
70	2, 69	sylbi 121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))
71	70	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))
72	71	impcom 125	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))
73		elfzo0 10466	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↔ ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))
74	72, 73	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
75		df-3an 1007	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ↔ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴))))
76	1, 74, 75	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴))))
77		ccatval1 11223	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
78	76, 77	syl 14	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
79	3	pfxccatin12lem2c 11360	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
80		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))
81		swrdfv 11283	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)))
82	79, 80, 81	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)))
83		simplll 535	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
84		simplrl 537	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝑀 ∈ (0...𝐿))
85	3	eleq1i 2297	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
86		elnn0uz 9838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘0))
87		eluzfz2 10312	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝐿 ∈ (0...𝐿))
88	86, 87	sylbi 121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ (0...𝐿))
89	3	oveq2i 6039	. . . . . . . 8 ⊢ (0...𝐿) = (0...(♯‘𝐴))
90	88, 89	eleqtrdi 2324	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
91	85, 90	sylbir 135	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
92	4, 91	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
93	92	ad3antrrr 492	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
94		simprr 533	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))
95		swrdfv 11283	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
96	83, 84, 93, 94, 95	syl31anc 1277	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
97	78, 82, 96	3eqtr4d 2274	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾))
98	97	ex 115	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ⟨cop 3676   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℝcr 8074  0cc0 8075   + caddc 8078   < clt 8256   ≤ cle 8257   − cmin 8392  ℕcn 9185  ℕ₀cn0 9444  ℤcz 9523  ℤ_≥cuz 9799  ...cfz 10288  ..^cfzo 10422  ♯chash 11083  Word cword 11162   ++ cconcat 11216   substr csubstr 11275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-ihash 11084  df-word 11163  df-concat 11217  df-substr 11276

This theorem is referenced by:  pfxccatin12  11363