Theorem sgmnncl 15627

Description: Closure of the divisor function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sgmnncl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem sgmnncl

Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9434	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		sgmval2 15623	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝐴))
3	1, 2	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝐴))
4		dvdsfi 12727	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ∈ Fin)
5	4	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ∈ Fin)
6		elrabi 2936	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} → 𝑘 ∈ ℕ)
7		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ0)
8		nnexpcl 10741	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑘↑𝐴) ∈ ℕ)
9	6, 7, 8	syl2anr 290	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) → (𝑘↑𝐴) ∈ ℕ)
10	9	nnzd 9536	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) → (𝑘↑𝐴) ∈ ℤ)
11	5, 10	fsumzcl 11879	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝐴) ∈ ℤ)
12		nnz 9433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
13		iddvds 12281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∥ 𝐵)
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∥ 𝐵)
15		breq1 4065	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝐵 → (𝑝 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 ∥ 𝐵))
16	15	rspcev 2887	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐵) → ∃𝑝 ∈ ℕ 𝑝 ∥ 𝐵)
17	14, 16	mpdan 421	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℕ 𝑝 ∥ 𝐵)
18		rabn0r 3498	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℕ 𝑝 ∥ 𝐵 → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ≠ ∅)
19	17, 18	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ≠ ∅)
20	19	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ≠ ∅)
21	9	nnrpd 9858	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) → (𝑘↑𝐴) ∈ ℝ+)
22	5, 20, 21	fsumrpcl 11881	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝐴) ∈ ℝ+)
23	22	rpgt0d 9863	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝐴))
24		elnnz 9424	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝐴) ∈ ℕ ↔ (Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 < Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝐴)))
25	11, 23, 24	sylanbrc 417	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝐴) ∈ ℕ)
26	3, 25	eqeltrd 2286	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1375   ∈ wcel 2180   ≠ wne 2380  ∃wrex 2489  {crab 2492  ∅c0 3471   class class class wbr 4062  (class class class)co 5974  Fincfn 6857  0cc0 7967   < clt 8149  ℕcn 9078  ℕ₀cn0 9337  ℤcz 9414  ↑cexp 10727  Σcsu 11830   ∥ cdvds 12264   σ csgm 15620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086  ax-caucvg 8087  ax-pre-suploc 8088  ax-addf 8089  ax-mulf 8090

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 835  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-disj 4039  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-isom 5303  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-of 6188  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-irdg 6486  df-frec 6507  df-1o 6532  df-oadd 6536  df-er 6650  df-map 6767  df-pm 6768  df-en 6858  df-dom 6859  df-fin 6860  df-sup 7119  df-inf 7120  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-q 9783  df-rp 9818  df-xneg 9936  df-xadd 9937  df-ioo 10056  df-ico 10058  df-icc 10059  df-fz 10173  df-fzo 10307  df-fl 10457  df-mod 10512  df-seqfrec 10637  df-exp 10728  df-fac 10915  df-bc 10937  df-ihash 10965  df-shft 11292  df-cj 11319  df-re 11320  df-im 11321  df-rsqrt 11475  df-abs 11476  df-clim 11756  df-sumdc 11831  df-ef 12125  df-e 12126  df-dvds 12265  df-rest 13240  df-topgen 13259  df-psmet 14472  df-xmet 14473  df-met 14474  df-bl 14475  df-mopn 14476  df-top 14637  df-topon 14650  df-bases 14682  df-ntr 14735  df-cn 14827  df-cnp 14828  df-tx 14892  df-cncf 15210  df-limced 15295  df-dvap 15296  df-relog 15497  df-rpcxp 15498  df-sgm 15621

This theorem is referenced by:  perfectlem1  15638  perfectlem2  15639