ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sqrt2irraplemnn GIF version

Theorem sqrt2irraplemnn 12146
Description: Lemma for sqrt2irrap 12147. The square root of 2 is apart from a positive rational expressed as a numerator and denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
sqrt2irraplemnn ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘2) # (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem sqrt2irraplemnn
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ)
21nnsqcld 10644 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
32nnred 8905 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
4 0red 7933 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
52nngt0d 8936 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴↑2))
64, 3, 5ltled 8050 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴↑2))
7 simpr 110 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
87nnsqcld 10644 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
98nnrpd 9665 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ∈ ℝ+)
103, 6, 9sqrtdivd 11145 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) = ((√‘(𝐴↑2)) / (√‘(𝐵↑2))))
111nnred 8905 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
121nngt0d 8936 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
134, 11, 12ltled 8050 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
1411, 13sqrtsqd 11142 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)
157nnred 8905 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
167nngt0d 8936 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
174, 15, 16ltled 8050 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐵)
1815, 17sqrtsqd 11142 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘(𝐵↑2)) = 𝐵)
1914, 18oveq12d 5883 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((√‘(𝐴↑2)) / (√‘(𝐵↑2))) = (𝐴 / 𝐵))
2010, 19eqtrd 2208 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) = (𝐴 / 𝐵))
21 sqne2sq 12144 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ≠ (2 · (𝐵↑2)))
222nncnd 8906 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
23 2cnd 8965 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
248nncnd 8906 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
258nnap0d 8938 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) # 0)
2622, 23, 24, 25divmulap3d 8755 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) = 2 ↔ (𝐴↑2) = (2 · (𝐵↑2))))
2726necon3bid 2386 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ≠ 2 ↔ (𝐴↑2) ≠ (2 · (𝐵↑2))))
2821, 27mpbird 167 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ≠ 2)
292nnzd 9347 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
30 znq 9597 . . . . . . 7 (((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℚ)
3129, 8, 30syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℚ)
32 2z 9254 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
33 zq 9599 . . . . . . 7 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
3432, 33mp1i 10 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℚ)
35 qapne 9612 . . . . . 6 ((((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℚ ∧ 2 ∈ ℚ) → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) # 2 ↔ ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ≠ 2))
3631, 34, 35syl2anc 411 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) # 2 ↔ ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ≠ 2))
3728, 36mpbird 167 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) # 2)
38 qre 9598 . . . . . 6 (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℚ → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
3931, 38syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
408nnred 8905 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
418nngt0d 8936 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < (𝐵↑2))
423, 40, 5, 41divgt0d 8865 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
434, 39, 42ltled 8050 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
44 2re 8962 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
4544a1i 9 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
46 0le2 8982 . . . . . 6 0 ≤ 2
4746a1i 9 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ 2)
48 sqrt11ap 11015 . . . . 5 (((((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) → ((√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) # (√‘2) ↔ ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) # 2))
4939, 43, 45, 47, 48syl22anc 1239 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) # (√‘2) ↔ ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) # 2))
5037, 49mpbird 167 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) # (√‘2))
5120, 50eqbrtrrd 4022 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) # (√‘2))
52 nnz 9245 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
53 znq 9597 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
5452, 53sylan 283 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
55 qcn 9607 . . . 4 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
5654, 55syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
57 sqrt2re 12130 . . . . 5 (√‘2) ∈ ℝ
5857recni 7944 . . . 4 (√‘2) ∈ ℂ
5958a1i 9 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘2) ∈ ℂ)
60 apsym 8537 . . 3 (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (√‘2) ∈ ℂ) → ((𝐴 / 𝐵) # (√‘2) ↔ (√‘2) # (𝐴 / 𝐵)))
6156, 59, 60syl2anc 411 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) # (√‘2) ↔ (√‘2) # (𝐴 / 𝐵)))
6251, 61mpbid 147 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘2) # (𝐴 / 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wcel 2146  wne 2345   class class class wbr 3998  cfv 5208  (class class class)co 5865  cc 7784  cr 7785  0cc0 7786   · cmul 7791  cle 7967   # cap 8512   / cdiv 8602  cn 8892  2c2 8943  cz 9226  cq 9592  cexp 10489  csqrt 10973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-1o 6407  df-2o 6408  df-er 6525  df-en 6731  df-sup 6973  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-fz 9980  df-fzo 10113  df-fl 10240  df-mod 10293  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-dvds 11763  df-gcd 11911  df-prm 12075
This theorem is referenced by:  sqrt2irrap  12147
  Copyright terms: Public domain W3C validator