Theorem sqrt2irraplemnn 12709

Description: Lemma for sqrt2irrap 12710. The square root of 2 is apart from a positive rational expressed as a numerator and denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2irraplemnn	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘2) # (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem sqrt2irraplemnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnsqcld 10924	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
3	2	nnred 9131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
4		0red 8155	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
5	2	nngt0d 9162	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴↑2))
6	4, 3, 5	ltled 8273	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴↑2))
7		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
8	7	nnsqcld 10924	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
9	8	nnrpd 9898	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ∈ ℝ+)
10	3, 6, 9	sqrtdivd 11687	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) = ((√‘(𝐴↑2)) / (√‘(𝐵↑2))))
11	1	nnred 9131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	1	nngt0d 9162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
13	4, 11, 12	ltled 8273	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
14	11, 13	sqrtsqd 11684	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)
15	7	nnred 9131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
16	7	nngt0d 9162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
17	4, 15, 16	ltled 8273	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐵)
18	15, 17	sqrtsqd 11684	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘(𝐵↑2)) = 𝐵)
19	14, 18	oveq12d 6025	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((√‘(𝐴↑2)) / (√‘(𝐵↑2))) = (𝐴 / 𝐵))
20	10, 19	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) = (𝐴 / 𝐵))
21		sqne2sq 12707	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ≠ (2 · (𝐵↑2)))
22	2	nncnd 9132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
23		2cnd 9191	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
24	8	nncnd 9132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
25	8	nnap0d 9164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) # 0)
26	22, 23, 24, 25	divmulap3d 8980	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) = 2 ↔ (𝐴↑2) = (2 · (𝐵↑2))))
27	26	necon3bid 2441	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ≠ 2 ↔ (𝐴↑2) ≠ (2 · (𝐵↑2))))
28	21, 27	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ≠ 2)
29	2	nnzd 9576	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
30		znq 9827	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℚ)
31	29, 8, 30	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℚ)
32		2z 9482	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
33		zq 9829	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
34	32, 33	mp1i 10	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℚ)
35		qapne 9842	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℚ ∧ 2 ∈ ℚ) → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) # 2 ↔ ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ≠ 2))
36	31, 34, 35	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) # 2 ↔ ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ≠ 2))
37	28, 36	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) # 2)
38		qre 9828	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℚ → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
39	31, 38	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
40	8	nnred 9131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
41	8	nngt0d 9162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < (𝐵↑2))
42	3, 40, 5, 41	divgt0d 9090	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
43	4, 39, 42	ltled 8273	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
44		2re 9188	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
45	44	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
46		0le2 9208	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 2
47	46	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ 2)
48		sqrt11ap 11557	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) → ((√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) # (√‘2) ↔ ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) # 2))
49	39, 43, 45, 47, 48	syl22anc 1272	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) # (√‘2) ↔ ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) # 2))
50	37, 49	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) # (√‘2))
51	20, 50	eqbrtrrd 4107	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) # (√‘2))
52		nnz 9473	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
53		znq 9827	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
54	52, 53	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
55		qcn 9837	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
56	54, 55	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
57		sqrt2re 12693	. . . . 5 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
58	57	recni 8166	. . . 4 ⊢ (√‘2) ∈ ℂ
59	58	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘2) ∈ ℂ)
60		apsym 8761	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (√‘2) ∈ ℂ) → ((𝐴 / 𝐵) # (√‘2) ↔ (√‘2) # (𝐴 / 𝐵)))
61	56, 59, 60	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) # (√‘2) ↔ (√‘2) # (𝐴 / 𝐵)))
62	51, 61	mpbid 147	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘2) # (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℂcc 8005  ℝcr 8006  0cc0 8007   · cmul 8012   ≤ cle 8190   # cap 8736   / cdiv 8827  ℕcn 9118  2c2 9169  ℤcz 9454  ℚcq 9822  ↑cexp 10768  √csqrt 11515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-2o 6569  df-er 6688  df-en 6896  df-sup 7159  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-fl 10498  df-mod 10553  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-cj 11361  df-re 11362  df-im 11363  df-rsqrt 11517  df-abs 11518  df-dvds 12307  df-gcd 12483  df-prm 12638

This theorem is referenced by:  sqrt2irrap  12710