Theorem sqrt2irraplemnn 12133

Description: Lemma for sqrt2irrap 12134. The square root of 2 is apart from a positive rational expressed as a numerator and denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2irraplemnn	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘2) # (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem sqrt2irraplemnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnsqcld 10630	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
3	2	nnred 8891	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
4		0red 7921	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
5	2	nngt0d 8922	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴↑2))
6	4, 3, 5	ltled 8038	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴↑2))
7		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
8	7	nnsqcld 10630	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
9	8	nnrpd 9651	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ∈ ℝ+)
10	3, 6, 9	sqrtdivd 11132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) = ((√‘(𝐴↑2)) / (√‘(𝐵↑2))))
11	1	nnred 8891	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	1	nngt0d 8922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
13	4, 11, 12	ltled 8038	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
14	11, 13	sqrtsqd 11129	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)
15	7	nnred 8891	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
16	7	nngt0d 8922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
17	4, 15, 16	ltled 8038	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐵)
18	15, 17	sqrtsqd 11129	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘(𝐵↑2)) = 𝐵)
19	14, 18	oveq12d 5871	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((√‘(𝐴↑2)) / (√‘(𝐵↑2))) = (𝐴 / 𝐵))
20	10, 19	eqtrd 2203	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) = (𝐴 / 𝐵))
21		sqne2sq 12131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ≠ (2 · (𝐵↑2)))
22	2	nncnd 8892	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
23		2cnd 8951	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
24	8	nncnd 8892	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
25	8	nnap0d 8924	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) # 0)
26	22, 23, 24, 25	divmulap3d 8742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) = 2 ↔ (𝐴↑2) = (2 · (𝐵↑2))))
27	26	necon3bid 2381	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ≠ 2 ↔ (𝐴↑2) ≠ (2 · (𝐵↑2))))
28	21, 27	mpbird 166	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ≠ 2)
29	2	nnzd 9333	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
30		znq 9583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℚ)
31	29, 8, 30	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℚ)
32		2z 9240	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
33		zq 9585	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
34	32, 33	mp1i 10	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℚ)
35		qapne 9598	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℚ ∧ 2 ∈ ℚ) → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) # 2 ↔ ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ≠ 2))
36	31, 34, 35	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) # 2 ↔ ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ≠ 2))
37	28, 36	mpbird 166	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) # 2)
38		qre 9584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℚ → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
39	31, 38	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
40	8	nnred 8891	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
41	8	nngt0d 8922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < (𝐵↑2))
42	3, 40, 5, 41	divgt0d 8851	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
43	4, 39, 42	ltled 8038	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
44		2re 8948	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
45	44	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
46		0le2 8968	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 2
47	46	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ 2)
48		sqrt11ap 11002	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) → ((√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) # (√‘2) ↔ ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) # 2))
49	39, 43, 45, 47, 48	syl22anc 1234	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) # (√‘2) ↔ ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) # 2))
50	37, 49	mpbird 166	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) # (√‘2))
51	20, 50	eqbrtrrd 4013	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) # (√‘2))
52		nnz 9231	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
53		znq 9583	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
54	52, 53	sylan 281	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
55		qcn 9593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
56	54, 55	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
57		sqrt2re 12117	. . . . 5 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
58	57	recni 7932	. . . 4 ⊢ (√‘2) ∈ ℂ
59	58	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘2) ∈ ℂ)
60		apsym 8525	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (√‘2) ∈ ℂ) → ((𝐴 / 𝐵) # (√‘2) ↔ (√‘2) # (𝐴 / 𝐵)))
61	56, 59, 60	syl2anc 409	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) # (√‘2) ↔ (√‘2) # (𝐴 / 𝐵)))
62	51, 61	mpbid 146	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘2) # (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  0cc0 7774   · cmul 7779   ≤ cle 7955   # cap 8500   / cdiv 8589  ℕcn 8878  2c2 8929  ℤcz 9212  ℚcq 9578  ↑cexp 10475  √csqrt 10960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-xor 1371  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-2o 6396  df-er 6513  df-en 6719  df-sup 6961  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750  df-gcd 11898  df-prm 12062

This theorem is referenced by:  sqrt2irrap  12134