Theorem sqrt2irraplemnn 12372

Description: Lemma for sqrt2irrap 12373. The square root of 2 is apart from a positive rational expressed as a numerator and denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2irraplemnn	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘2) # (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem sqrt2irraplemnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnsqcld 10803	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
3	2	nnred 9020	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
4		0red 8044	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
5	2	nngt0d 9051	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴↑2))
6	4, 3, 5	ltled 8162	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴↑2))
7		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
8	7	nnsqcld 10803	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
9	8	nnrpd 9786	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ∈ ℝ+)
10	3, 6, 9	sqrtdivd 11350	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) = ((√‘(𝐴↑2)) / (√‘(𝐵↑2))))
11	1	nnred 9020	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	1	nngt0d 9051	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
13	4, 11, 12	ltled 8162	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
14	11, 13	sqrtsqd 11347	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)
15	7	nnred 9020	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
16	7	nngt0d 9051	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
17	4, 15, 16	ltled 8162	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐵)
18	15, 17	sqrtsqd 11347	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘(𝐵↑2)) = 𝐵)
19	14, 18	oveq12d 5943	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((√‘(𝐴↑2)) / (√‘(𝐵↑2))) = (𝐴 / 𝐵))
20	10, 19	eqtrd 2229	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) = (𝐴 / 𝐵))
21		sqne2sq 12370	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ≠ (2 · (𝐵↑2)))
22	2	nncnd 9021	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
23		2cnd 9080	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
24	8	nncnd 9021	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
25	8	nnap0d 9053	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) # 0)
26	22, 23, 24, 25	divmulap3d 8869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) = 2 ↔ (𝐴↑2) = (2 · (𝐵↑2))))
27	26	necon3bid 2408	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ≠ 2 ↔ (𝐴↑2) ≠ (2 · (𝐵↑2))))
28	21, 27	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ≠ 2)
29	2	nnzd 9464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
30		znq 9715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℚ)
31	29, 8, 30	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℚ)
32		2z 9371	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
33		zq 9717	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
34	32, 33	mp1i 10	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℚ)
35		qapne 9730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℚ ∧ 2 ∈ ℚ) → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) # 2 ↔ ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ≠ 2))
36	31, 34, 35	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) # 2 ↔ ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ≠ 2))
37	28, 36	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) # 2)
38		qre 9716	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℚ → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
39	31, 38	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
40	8	nnred 9020	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
41	8	nngt0d 9051	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < (𝐵↑2))
42	3, 40, 5, 41	divgt0d 8979	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
43	4, 39, 42	ltled 8162	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
44		2re 9077	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
45	44	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
46		0le2 9097	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 2
47	46	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ 2)
48		sqrt11ap 11220	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) → ((√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) # (√‘2) ↔ ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) # 2))
49	39, 43, 45, 47, 48	syl22anc 1250	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) # (√‘2) ↔ ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) # 2))
50	37, 49	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) # (√‘2))
51	20, 50	eqbrtrrd 4058	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) # (√‘2))
52		nnz 9362	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
53		znq 9715	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
54	52, 53	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
55		qcn 9725	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
56	54, 55	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
57		sqrt2re 12356	. . . . 5 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
58	57	recni 8055	. . . 4 ⊢ (√‘2) ∈ ℂ
59	58	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘2) ∈ ℂ)
60		apsym 8650	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (√‘2) ∈ ℂ) → ((𝐴 / 𝐵) # (√‘2) ↔ (√‘2) # (𝐴 / 𝐵)))
61	56, 59, 60	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) # (√‘2) ↔ (√‘2) # (𝐴 / 𝐵)))
62	51, 61	mpbid 147	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘2) # (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℂcc 7894  ℝcr 7895  0cc0 7896   · cmul 7901   ≤ cle 8079   # cap 8625   / cdiv 8716  ℕcn 9007  2c2 9058  ℤcz 9343  ℚcq 9710  ↑cexp 10647  √csqrt 11178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-er 6601  df-en 6809  df-sup 7059  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-fl 10377  df-mod 10432  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-dvds 11970  df-gcd 12146  df-prm 12301

This theorem is referenced by:  sqrt2irrap  12373