ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sqrt2irraplemnn GIF version

Theorem sqrt2irraplemnn 12181
Description: Lemma for sqrt2irrap 12182. The square root of 2 is apart from a positive rational expressed as a numerator and denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
sqrt2irraplemnn ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆšโ€˜2) # (๐ด / ๐ต))

Proof of Theorem sqrt2irraplemnn
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
21nnsqcld 10677 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„•)
32nnred 8934 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
4 0red 7960 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
52nngt0d 8965 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < (๐ดโ†‘2))
64, 3, 5ltled 8078 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘2))
7 simpr 110 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
87nnsqcld 10677 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„•)
98nnrpd 9696 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„+)
103, 6, 9sqrtdivd 11179 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2))) = ((โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)) / (โˆšโ€˜(๐ตโ†‘2))))
111nnred 8934 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
121nngt0d 8965 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐ด)
134, 11, 12ltled 8078 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
1411, 13sqrtsqd 11176 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)) = ๐ด)
157nnred 8934 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
167nngt0d 8965 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐ต)
174, 15, 16ltled 8078 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
1815, 17sqrtsqd 11176 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ตโ†‘2)) = ๐ต)
1914, 18oveq12d 5895 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ดโ†‘2)) / (โˆšโ€˜(๐ตโ†‘2))) = (๐ด / ๐ต))
2010, 19eqtrd 2210 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2))) = (๐ด / ๐ต))
21 sqne2sq 12179 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰  (2 ยท (๐ตโ†‘2)))
222nncnd 8935 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
23 2cnd 8994 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
248nncnd 8935 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
258nnap0d 8967 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘2) # 0)
2622, 23, 24, 25divmulap3d 8784 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)) = 2 โ†” (๐ดโ†‘2) = (2 ยท (๐ตโ†‘2))))
2726necon3bid 2388 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)) โ‰  2 โ†” (๐ดโ†‘2) โ‰  (2 ยท (๐ตโ†‘2))))
2821, 27mpbird 167 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)) โ‰  2)
292nnzd 9376 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
30 znq 9626 . . . . . . 7 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„š)
3129, 8, 30syl2anc 411 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„š)
32 2z 9283 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
33 zq 9628 . . . . . . 7 (2 โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„š)
3432, 33mp1i 10 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„š)
35 qapne 9641 . . . . . 6 ((((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„š โˆง 2 โˆˆ โ„š) โ†’ (((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)) # 2 โ†” ((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)) โ‰  2))
3631, 34, 35syl2anc 411 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)) # 2 โ†” ((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)) โ‰  2))
3728, 36mpbird 167 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)) # 2)
38 qre 9627 . . . . . 6 (((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„š โ†’ ((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„)
3931, 38syl 14 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„)
408nnred 8934 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
418nngt0d 8965 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < (๐ตโ†‘2))
423, 40, 5, 41divgt0d 8894 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)))
434, 39, 42ltled 8078 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)))
44 2re 8991 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„
4544a1i 9 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
46 0le2 9011 . . . . . 6 0 โ‰ค 2
4746a1i 9 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค 2)
48 sqrt11ap 11049 . . . . 5 (((((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2))) โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 2)) โ†’ ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2))) # (โˆšโ€˜2) โ†” ((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)) # 2))
4939, 43, 45, 47, 48syl22anc 1239 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2))) # (โˆšโ€˜2) โ†” ((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)) # 2))
5037, 49mpbird 167 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2))) # (โˆšโ€˜2))
5120, 50eqbrtrrd 4029 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด / ๐ต) # (โˆšโ€˜2))
52 nnz 9274 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
53 znq 9626 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„š)
5452, 53sylan 283 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„š)
55 qcn 9636 . . . 4 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„š โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
5654, 55syl 14 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
57 sqrt2re 12165 . . . . 5 (โˆšโ€˜2) โˆˆ โ„
5857recni 7971 . . . 4 (โˆšโ€˜2) โˆˆ โ„‚
5958a1i 9 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆšโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
60 apsym 8565 . . 3 (((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆšโ€˜2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด / ๐ต) # (โˆšโ€˜2) โ†” (โˆšโ€˜2) # (๐ด / ๐ต)))
6156, 59, 60syl2anc 411 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด / ๐ต) # (โˆšโ€˜2) โ†” (โˆšโ€˜2) # (๐ด / ๐ต)))
6251, 61mpbid 147 1 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆšโ€˜2) # (๐ด / ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆˆ wcel 2148   โ‰  wne 2347   class class class wbr 4005  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811  โ„cr 7812  0cc0 7813   ยท cmul 7818   โ‰ค cle 7995   # cap 8540   / cdiv 8631  โ„•cn 8921  2c2 8972  โ„คcz 9255  โ„šcq 9621  โ†‘cexp 10521  โˆšcsqrt 11007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-1o 6419  df-2o 6420  df-er 6537  df-en 6743  df-sup 6985  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-dvds 11797  df-gcd 11946  df-prm 12110
This theorem is referenced by:  sqrt2irrap  12182
  Copyright terms: Public domain W3C validator