Theorem sqrt2irraplemnn 12162

Description: Lemma for sqrt2irrap 12163. The square root of 2 is apart from a positive rational expressed as a numerator and denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2irraplemnn	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘2) # (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem sqrt2irraplemnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnsqcld 10660	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
3	2	nnred 8921	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
4		0red 7949	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
5	2	nngt0d 8952	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴↑2))
6	4, 3, 5	ltled 8066	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴↑2))
7		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
8	7	nnsqcld 10660	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
9	8	nnrpd 9681	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ∈ ℝ+)
10	3, 6, 9	sqrtdivd 11161	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) = ((√‘(𝐴↑2)) / (√‘(𝐵↑2))))
11	1	nnred 8921	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	1	nngt0d 8952	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
13	4, 11, 12	ltled 8066	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
14	11, 13	sqrtsqd 11158	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)
15	7	nnred 8921	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
16	7	nngt0d 8952	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
17	4, 15, 16	ltled 8066	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐵)
18	15, 17	sqrtsqd 11158	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘(𝐵↑2)) = 𝐵)
19	14, 18	oveq12d 5887	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((√‘(𝐴↑2)) / (√‘(𝐵↑2))) = (𝐴 / 𝐵))
20	10, 19	eqtrd 2210	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) = (𝐴 / 𝐵))
21		sqne2sq 12160	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ≠ (2 · (𝐵↑2)))
22	2	nncnd 8922	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
23		2cnd 8981	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
24	8	nncnd 8922	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
25	8	nnap0d 8954	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) # 0)
26	22, 23, 24, 25	divmulap3d 8771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) = 2 ↔ (𝐴↑2) = (2 · (𝐵↑2))))
27	26	necon3bid 2388	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ≠ 2 ↔ (𝐴↑2) ≠ (2 · (𝐵↑2))))
28	21, 27	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ≠ 2)
29	2	nnzd 9363	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
30		znq 9613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℚ)
31	29, 8, 30	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℚ)
32		2z 9270	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
33		zq 9615	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
34	32, 33	mp1i 10	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℚ)
35		qapne 9628	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℚ ∧ 2 ∈ ℚ) → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) # 2 ↔ ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ≠ 2))
36	31, 34, 35	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) # 2 ↔ ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ≠ 2))
37	28, 36	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) # 2)
38		qre 9614	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℚ → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
39	31, 38	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
40	8	nnred 8921	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
41	8	nngt0d 8952	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < (𝐵↑2))
42	3, 40, 5, 41	divgt0d 8881	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
43	4, 39, 42	ltled 8066	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
44		2re 8978	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
45	44	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
46		0le2 8998	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 2
47	46	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ 2)
48		sqrt11ap 11031	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) → ((√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) # (√‘2) ↔ ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) # 2))
49	39, 43, 45, 47, 48	syl22anc 1239	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) # (√‘2) ↔ ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) # 2))
50	37, 49	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘((𝐴↑2) / (𝐵↑2))) # (√‘2))
51	20, 50	eqbrtrrd 4024	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) # (√‘2))
52		nnz 9261	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
53		znq 9613	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
54	52, 53	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
55		qcn 9623	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
56	54, 55	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
57		sqrt2re 12146	. . . . 5 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
58	57	recni 7960	. . . 4 ⊢ (√‘2) ∈ ℂ
59	58	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘2) ∈ ℂ)
60		apsym 8553	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (√‘2) ∈ ℂ) → ((𝐴 / 𝐵) # (√‘2) ↔ (√‘2) # (𝐴 / 𝐵)))
61	56, 59, 60	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) # (√‘2) ↔ (√‘2) # (𝐴 / 𝐵)))
62	51, 61	mpbid 147	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (√‘2) # (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347   class class class wbr 4000  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869  ℂcc 7800  ℝcr 7801  0cc0 7802   · cmul 7807   ≤ cle 7983   # cap 8528   / cdiv 8618  ℕcn 8908  2c2 8959  ℤcz 9242  ℚcq 9608  ↑cexp 10505  √csqrt 10989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-1o 6411  df-2o 6412  df-er 6529  df-en 6735  df-sup 6977  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-dvds 11779  df-gcd 11927  df-prm 12091

This theorem is referenced by:  sqrt2irrap  12163