Theorem addextpr 7834

Description: Strong extensionality of addition (ordering version). This is similar to addext 8783 but for positive reals and based on less-than rather than apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
addextpr	⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P)) → ((𝐴 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐷) → (𝐴<P 𝐶 ∨ 𝐵<P 𝐷)))

Proof of Theorem addextpr

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addclpr 7750	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 +P 𝐵) ∈ P)
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P)) → (𝐴 +P 𝐵) ∈ P)
3		addclpr 7750	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P) → (𝐶 +P 𝐷) ∈ P)
4	3	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P)) → (𝐶 +P 𝐷) ∈ P)
5		simprl 529	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P)) → 𝐶 ∈ P)
6		simplr 528	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P)) → 𝐵 ∈ P)
7		addclpr 7750	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐶 +P 𝐵) ∈ P)
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P)) → (𝐶 +P 𝐵) ∈ P)
9		ltsopr 7809	. . . 4 ⊢ <P Or P
10		sowlin 4415	. . . 4 ⊢ ((<P Or P ∧ ((𝐴 +P 𝐵) ∈ P ∧ (𝐶 +P 𝐷) ∈ P ∧ (𝐶 +P 𝐵) ∈ P)) → ((𝐴 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐷) → ((𝐴 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐵) ∨ (𝐶 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐷))))
11	9, 10	mpan 424	. . 3 ⊢ (((𝐴 +P 𝐵) ∈ P ∧ (𝐶 +P 𝐷) ∈ P ∧ (𝐶 +P 𝐵) ∈ P) → ((𝐴 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐷) → ((𝐴 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐵) ∨ (𝐶 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐷))))
12	2, 4, 8, 11	syl3anc 1271	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P)) → ((𝐴 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐷) → ((𝐴 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐵) ∨ (𝐶 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐷))))
13		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P)) → 𝐴 ∈ P)
14		ltaprg 7832	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴<P 𝐶 ↔ (𝐵 +P 𝐴)<P (𝐵 +P 𝐶)))
15	13, 5, 6, 14	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P)) → (𝐴<P 𝐶 ↔ (𝐵 +P 𝐴)<P (𝐵 +P 𝐶)))
16		addcomprg 7791	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P) → (𝑓 +P 𝑔) = (𝑔 +P 𝑓))
17	16	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P)) → (𝑓 +P 𝑔) = (𝑔 +P 𝑓))
18	17, 13, 6	caovcomd 6174	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P)) → (𝐴 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐴))
19	17, 5, 6	caovcomd 6174	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P)) → (𝐶 +P 𝐵) = (𝐵 +P 𝐶))
20	18, 19	breq12d 4099	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P)) → ((𝐴 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐵) ↔ (𝐵 +P 𝐴)<P (𝐵 +P 𝐶)))
21	15, 20	bitr4d 191	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P)) → (𝐴<P 𝐶 ↔ (𝐴 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐵)))
22		simprr 531	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P)) → 𝐷 ∈ P)
23		ltaprg 7832	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐵<P 𝐷 ↔ (𝐶 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐷)))
24	6, 22, 5, 23	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P)) → (𝐵<P 𝐷 ↔ (𝐶 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐷)))
25	21, 24	orbi12d 798	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P)) → ((𝐴<P 𝐶 ∨ 𝐵<P 𝐷) ↔ ((𝐴 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐵) ∨ (𝐶 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐷))))
26	12, 25	sylibrd 169	1 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐶 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ P)) → ((𝐴 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐷) → (𝐴<P 𝐶 ∨ 𝐵<P 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086   Or wor 4390  (class class class)co 6013  Pcnp 7504   +_P cpp 7506  <_P cltp 7508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-1o 6577  df-2o 6578  df-oadd 6581  df-omul 6582  df-er 6697  df-ec 6699  df-qs 6703  df-ni 7517  df-pli 7518  df-mi 7519  df-lti 7520  df-plpq 7557  df-mpq 7558  df-enq 7560  df-nqqs 7561  df-plqqs 7562  df-mqqs 7563  df-1nqqs 7564  df-rq 7565  df-ltnqqs 7566  df-enq0 7637  df-nq0 7638  df-0nq0 7639  df-plq0 7640  df-mq0 7641  df-inp 7679  df-iplp 7681  df-iltp 7683

This theorem is referenced by:  mulextsr1lem  7993