Theorem absneg 11832

Description: Absolute value of negative. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
absneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjneg 11671	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘-𝐴) = -(∗‘𝐴))
2	1	oveq2d 6101	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 · (∗‘-𝐴)) = (-𝐴 · -(∗‘𝐴)))
3		cjcl 11629	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
4		mul2neg 8727	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (-𝐴 · -(∗‘𝐴)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
5	3, 4	mpdan 425	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 · -(∗‘𝐴)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
6	2, 5	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 · (∗‘-𝐴)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
7	6	fveq2d 5699	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(-𝐴 · (∗‘-𝐴))) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
8		negcl 8528	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
9		absval 11783	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (√‘(-𝐴 · (∗‘-𝐴))))
10	8, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (√‘(-𝐴 · (∗‘-𝐴))))
11		absval 11783	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
12	7, 10, 11	3eqtr4d 2281	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8178   · cmul 8185  -cneg 8500  ∗ccj 11620  √csqrt 11778  abscabs 11779

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-2 9366  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781

This theorem is used by:  absnid  11855  absimle  11867  abslt  11871  absle  11872  abssub  11884  abs2dif2  11890  absnegi  11930  absnegd  11972