Theorem absneg 10825

Description: Absolute value of negative. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
absneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjneg 10665	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘-𝐴) = -(∗‘𝐴))
2	1	oveq2d 5790	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 · (∗‘-𝐴)) = (-𝐴 · -(∗‘𝐴)))
3		cjcl 10623	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
4		mul2neg 8163	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (-𝐴 · -(∗‘𝐴)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
5	3, 4	mpdan 417	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 · -(∗‘𝐴)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
6	2, 5	eqtrd 2172	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 · (∗‘-𝐴)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
7	6	fveq2d 5425	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(-𝐴 · (∗‘-𝐴))) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
8		negcl 7965	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
9		absval 10776	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (√‘(-𝐴 · (∗‘-𝐴))))
10	8, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (√‘(-𝐴 · (∗‘-𝐴))))
11		absval 10776	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
12	7, 10, 11	3eqtr4d 2182	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7621   · cmul 7628  -cneg 7937  ∗ccj 10614  √csqrt 10771  abscabs 10772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-mulrcl 7722  ax-addcom 7723  ax-mulcom 7724  ax-addass 7725  ax-mulass 7726  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-1rid 7730  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-precex 7733  ax-cnre 7734  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-apti 7738  ax-pre-ltadd 7739  ax-pre-mulgt0 7740  ax-pre-mulext 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-sub 7938  df-neg 7939  df-reap 8340  df-ap 8347  df-div 8436  df-2 8782  df-cj 10617  df-re 10618  df-im 10619  df-rsqrt 10773  df-abs 10774

This theorem is referenced by:  absnid  10848  absimle  10859  abslt  10863  absle  10864  abssub  10876  abs2dif2  10882  absnegi  10922  absnegd  10964