ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzonmapblen GIF version

Theorem fzonmapblen 9915
Description: The result of subtracting a nonnegative integer from a positive integer and adding another nonnegative integer which is less than the first one is less then the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzonmapblen ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + (𝑁𝐴)) < 𝑁)

Proof of Theorem fzonmapblen
StepHypRef Expression
1 elfzo0 9910 . . . 4 (𝐴 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑁))
2 nn0re 8940 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
3 nnre 8687 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
42, 3anim12i 334 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
543adant3 984 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
61, 5sylbi 120 . . 3 (𝐴 ∈ (0..^𝑁) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
7 elfzoelz 9875 . . . 4 (𝐵 ∈ (0..^𝑁) → 𝐵 ∈ ℤ)
87zred 9127 . . 3 (𝐵 ∈ (0..^𝑁) → 𝐵 ∈ ℝ)
9 simpr 109 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
10 simpll 501 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
11 resubcl 7990 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
1211ancoms 266 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
1312adantr 272 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
149, 10, 13ltadd1d 8263 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + (𝑁𝐴)) < (𝐴 + (𝑁𝐴))))
1514biimpa 292 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + (𝑁𝐴)) < (𝐴 + (𝑁𝐴)))
16 recn 7717 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
17 recn 7717 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
1816, 17anim12i 334 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
1918adantr 272 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
2019adantr 272 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
21 pncan3 7934 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝑁𝐴)) = 𝑁)
2220, 21syl 14 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴 + (𝑁𝐴)) = 𝑁)
2315, 22breqtrd 3922 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + (𝑁𝐴)) < 𝑁)
2423ex 114 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐵 + (𝑁𝐴)) < 𝑁))
256, 8, 24syl2an 285 . 2 ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐵 + (𝑁𝐴)) < 𝑁))
26253impia 1161 1 ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + (𝑁𝐴)) < 𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 945   = wceq 1314  wcel 1463   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740  cc 7582  cr 7583  0cc0 7584   + caddc 7587   < clt 7764  cmin 7897  cn 8680  0cn0 8931  ..^cfzo 9870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8681  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-fz 9742  df-fzo 9871
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator