Theorem fzonmapblen 10617

Description: The result of subtracting a nonnegative integer from a positive integer and adding another nonnegative integer which is less than the first one is less then the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzonmapblen	⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + (𝑁 − 𝐴)) < 𝑁)

Proof of Theorem fzonmapblen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 10611	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑁))
2		nn0re 9584	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		nnre 9321	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
4	2, 3	anim12i 338	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
5	4	3adant3 1048	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
6	1, 5	sylbi 121	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
7		elfzoelz 10572	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝑁) → 𝐵 ∈ ℤ)
8	7	zred 9780	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝑁) → 𝐵 ∈ ℝ)
9		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		simpll 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		resubcl 8598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
12	11	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
14	9, 10, 13	ltadd1d 8874	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + (𝑁 − 𝐴)) < (𝐴 + (𝑁 − 𝐴))))
15	14	biimpa 296	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + (𝑁 − 𝐴)) < (𝐴 + (𝑁 − 𝐴)))
16		recn 8319	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
17		recn 8319	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
18	16, 17	anim12i 338	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
20	19	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
21		pncan3 8542	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝑁 − 𝐴)) = 𝑁)
22	20, 21	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴 + (𝑁 − 𝐴)) = 𝑁)
23	15, 22	breqtrd 4157	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + (𝑁 − 𝐴)) < 𝑁)
24	23	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐵 + (𝑁 − 𝐴)) < 𝑁))
25	6, 8, 24	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐵 + (𝑁 − 𝐴)) < 𝑁))
26	25	3impia 1231	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + (𝑁 − 𝐴)) < 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  ℝcr 8185  0cc0 8186   + caddc 8189   < clt 8367   − cmin 8505  ℕcn 9314  ℕ₀cn0 9575  ..^cfzo 10567

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-fz 10430  df-fzo 10568

This theorem is used by: (None)