Theorem fzonmapblen 10263

Description: The result of subtracting a nonnegative integer from a positive integer and adding another nonnegative integer which is less than the first one is less then the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzonmapblen	⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + (𝑁 − 𝐴)) < 𝑁)

Proof of Theorem fzonmapblen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 10258	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑁))
2		nn0re 9258	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		nnre 8997	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
4	2, 3	anim12i 338	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
5	4	3adant3 1019	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
6	1, 5	sylbi 121	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
7		elfzoelz 10222	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝑁) → 𝐵 ∈ ℤ)
8	7	zred 9448	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝑁) → 𝐵 ∈ ℝ)
9		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		resubcl 8290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
12	11	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
14	9, 10, 13	ltadd1d 8565	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + (𝑁 − 𝐴)) < (𝐴 + (𝑁 − 𝐴))))
15	14	biimpa 296	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + (𝑁 − 𝐴)) < (𝐴 + (𝑁 − 𝐴)))
16		recn 8012	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
17		recn 8012	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
18	16, 17	anim12i 338	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
20	19	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
21		pncan3 8234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝑁 − 𝐴)) = 𝑁)
22	20, 21	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴 + (𝑁 − 𝐴)) = 𝑁)
23	15, 22	breqtrd 4059	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + (𝑁 − 𝐴)) < 𝑁)
24	23	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐵 + (𝑁 − 𝐴)) < 𝑁))
25	6, 8, 24	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐵 + (𝑁 − 𝐴)) < 𝑁))
26	25	3impia 1202	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + (𝑁 − 𝐴)) < 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  ℝcr 7878  0cc0 7879   + caddc 7882   < clt 8061   − cmin 8197  ℕcn 8990  ℕ₀cn0 9249  ..^cfzo 10217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-fzo 10218

This theorem is referenced by: (None)