ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzonmapblen GIF version

Theorem fzonmapblen 10160
Description: The result of subtracting a nonnegative integer from a positive integer and adding another nonnegative integer which is less than the first one is less then the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzonmapblen ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + (𝑁𝐴)) < 𝑁)

Proof of Theorem fzonmapblen
StepHypRef Expression
1 elfzo0 10155 . . . 4 (𝐴 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑁))
2 nn0re 9161 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
3 nnre 8902 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
42, 3anim12i 338 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
543adant3 1017 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
61, 5sylbi 121 . . 3 (𝐴 ∈ (0..^𝑁) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
7 elfzoelz 10120 . . . 4 (𝐵 ∈ (0..^𝑁) → 𝐵 ∈ ℤ)
87zred 9351 . . 3 (𝐵 ∈ (0..^𝑁) → 𝐵 ∈ ℝ)
9 simpr 110 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
10 simpll 527 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
11 resubcl 8198 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
1211ancoms 268 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
1312adantr 276 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
149, 10, 13ltadd1d 8472 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + (𝑁𝐴)) < (𝐴 + (𝑁𝐴))))
1514biimpa 296 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + (𝑁𝐴)) < (𝐴 + (𝑁𝐴)))
16 recn 7922 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
17 recn 7922 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
1816, 17anim12i 338 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
1918adantr 276 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
2019adantr 276 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
21 pncan3 8142 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝑁𝐴)) = 𝑁)
2220, 21syl 14 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴 + (𝑁𝐴)) = 𝑁)
2315, 22breqtrd 4026 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + (𝑁𝐴)) < 𝑁)
2423ex 115 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐵 + (𝑁𝐴)) < 𝑁))
256, 8, 24syl2an 289 . 2 ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐵 + (𝑁𝐴)) < 𝑁))
26253impia 1200 1 ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + (𝑁𝐴)) < 𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5868  cc 7787  cr 7788  0cc0 7789   + caddc 7792   < clt 7969  cmin 8105  cn 8895  0cn0 9152  ..^cfzo 10115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-inn 8896  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-fz 9983  df-fzo 10116
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator