Theorem gsumpr12val 13544

Description: Value of the group sum operation over the pair {1, 2}. (Contributed by AV, 14-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumpr12val.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumpr12val.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumpr12val.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
gsumpr12val.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:{1, 2}⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumpr12val	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐹‘1) + (𝐹‘2)))

Proof of Theorem gsumpr12val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumpr12val.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumpr12val.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumpr12val.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
4		1zzd 9549	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
5		df-2 9245	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
6	5	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 2 = (1 + 1))
7		gsumpr12val.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{1, 2}⟶𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 6, 7	gsumprval 13543	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐹‘1) + (𝐹‘2)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  {cpr 3674  ⟶wf 5329  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  1c1 8076   + caddc 8078  2c2 9237  Basecbs 13143  +_gcplusg 13221   Σ_g cgsu 13401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-2 9245  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287  df-seqfrec 10754  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-plusg 13234  df-0g 13402  df-igsum 13403

This theorem is referenced by: (None)