Theorem gsumprval 13440

Description: Value of the group sum operation over a pair of sequential integers. (Contributed by AV, 14-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumprval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumprval.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumprval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
gsumprval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumprval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 + 1))
gsumprval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑀, 𝑁}⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumprval	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐹‘𝑀) + (𝐹‘𝑁)))

Proof of Theorem gsumprval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumprval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumprval.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumprval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
4		gsumprval.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5	4	uzidd 9745	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		peano2uz 9786	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		gsumprval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑀, 𝑁}⟶𝐵)
9		fzpr 10281	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, (𝑀 + 1)})
10	4, 9	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, (𝑀 + 1)})
11		gsumprval.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 + 1))
12	11	eqcomd 2235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) = 𝑁)
13	12	preq2d 3750	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑀, (𝑀 + 1)} = {𝑀, 𝑁})
14	10, 13	eqtrd 2262	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, 𝑁})
15	14	feq2d 5461	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(𝑀...(𝑀 + 1))⟶𝐵 ↔ 𝐹:{𝑀, 𝑁}⟶𝐵))
16	8, 15	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...(𝑀 + 1))⟶𝐵)
17	1, 2, 3, 7, 16	gsumval2 13438	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑀 + 1)))
18	4	peano2zd 9580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
19	11, 18	eqeltrd 2306	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
20		prexg 4295	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑀, 𝑁} ∈ V)
21	4, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑀, 𝑁} ∈ V)
22	8, 21	fexd 5873	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
23		vex 2802	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
24		fvexg 5648	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
25	22, 23, 24	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
26	25	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
27		plusgslid 13153	. . . . . . . 8 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
28	27	slotex 13067	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) ∈ V)
29	3, 28	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) ∈ V)
30	2, 29	eqeltrid 2316	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → + ∈ V)
31		vex 2802	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
32	31	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ V)
33		ovexg 6041	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ + ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑥 + 𝑦) ∈ V)
34	23, 30, 32, 33	mp3an2i 1376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 + 𝑦) ∈ V)
35	34	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ V)
36	5, 26, 35	seq3p1 10695	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑀 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) + (𝐹‘(𝑀 + 1))))
37	4, 26, 35	seq3-1 10692	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
38	12	fveq2d 5633	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑀 + 1)) = (𝐹‘𝑁))
39	37, 38	oveq12d 6025	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) + (𝐹‘(𝑀 + 1))) = ((𝐹‘𝑀) + (𝐹‘𝑁)))
40	17, 36, 39	3eqtrd 2266	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐹‘𝑀) + (𝐹‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  {cpr 3667  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  1c1 8008   + caddc 8010  ℤcz 9454  ℤ_≥cuz 9730  ...cfz 10212  seqcseq 10677  Basecbs 13040  +_gcplusg 13118   Σ_g cgsu 13298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-er 6688  df-en 6896  df-fin 6898  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-2 9177  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-fz 10213  df-seqfrec 10678  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-plusg 13131  df-0g 13299  df-igsum 13300

This theorem is referenced by:  gsumpr12val  13441