Theorem gsumprval 13042

Description: Value of the group sum operation over a pair of sequential integers. (Contributed by AV, 14-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumprval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumprval.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumprval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
gsumprval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumprval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 + 1))
gsumprval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑀, 𝑁}⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumprval	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐹‘𝑀) + (𝐹‘𝑁)))

Proof of Theorem gsumprval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumprval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumprval.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumprval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
4		gsumprval.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5	4	uzidd 9616	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		peano2uz 9657	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		gsumprval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑀, 𝑁}⟶𝐵)
9		fzpr 10152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, (𝑀 + 1)})
10	4, 9	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, (𝑀 + 1)})
11		gsumprval.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 + 1))
12	11	eqcomd 2202	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) = 𝑁)
13	12	preq2d 3706	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑀, (𝑀 + 1)} = {𝑀, 𝑁})
14	10, 13	eqtrd 2229	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, 𝑁})
15	14	feq2d 5395	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(𝑀...(𝑀 + 1))⟶𝐵 ↔ 𝐹:{𝑀, 𝑁}⟶𝐵))
16	8, 15	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...(𝑀 + 1))⟶𝐵)
17	1, 2, 3, 7, 16	gsumval2 13040	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑀 + 1)))
18	4	peano2zd 9451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
19	11, 18	eqeltrd 2273	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
20		prexg 4244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑀, 𝑁} ∈ V)
21	4, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑀, 𝑁} ∈ V)
22	8, 21	fexd 5792	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
23		vex 2766	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
24		fvexg 5577	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
25	22, 23, 24	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
26	25	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
27		plusgslid 12790	. . . . . . . 8 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
28	27	slotex 12705	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) ∈ V)
29	3, 28	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) ∈ V)
30	2, 29	eqeltrid 2283	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → + ∈ V)
31		vex 2766	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
32	31	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ V)
33		ovexg 5956	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ + ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑥 + 𝑦) ∈ V)
34	23, 30, 32, 33	mp3an2i 1353	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 + 𝑦) ∈ V)
35	34	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ V)
36	5, 26, 35	seq3p1 10557	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑀 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) + (𝐹‘(𝑀 + 1))))
37	4, 26, 35	seq3-1 10554	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
38	12	fveq2d 5562	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑀 + 1)) = (𝐹‘𝑁))
39	37, 38	oveq12d 5940	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) + (𝐹‘(𝑀 + 1))) = ((𝐹‘𝑀) + (𝐹‘𝑁)))
40	17, 36, 39	3eqtrd 2233	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐹‘𝑀) + (𝐹‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763  {cpr 3623  ⟶wf 5254  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  1c1 7880   + caddc 7882  ℤcz 9326  ℤ_≥cuz 9601  ...cfz 10083  seqcseq 10539  Basecbs 12678  +_gcplusg 12755   Σ_g cgsu 12928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-2 9049  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-seqfrec 10540  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-igsum 12930

This theorem is referenced by:  gsumpr12val  13043