ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ioo2bl GIF version

Theorem ioo2bl 13536
Description: An open interval of reals in terms of a ball. (Contributed by NM, 18-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
remet.1 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
Assertion
Ref Expression
ioo2bl ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴(,)𝐡) = (((𝐴 + 𝐡) / 2)(ballβ€˜π·)((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)))

Proof of Theorem ioo2bl
StepHypRef Expression
1 readdcl 7912 . . . . 5 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝐡 + 𝐴) ∈ ℝ)
21ancoms 268 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐡 + 𝐴) ∈ ℝ)
32rehalfcld 9136 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((𝐡 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
4 resubcl 8195 . . . . 5 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
54ancoms 268 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
65rehalfcld 9136 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
7 remet.1 . . . 4 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
87bl2ioo 13535 . . 3 ((((𝐡 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ∈ ℝ) β†’ (((𝐡 + 𝐴) / 2)(ballβ€˜π·)((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)) = ((((𝐡 + 𝐴) / 2) βˆ’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2))(,)(((𝐡 + 𝐴) / 2) + ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2))))
93, 6, 8syl2anc 411 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (((𝐡 + 𝐴) / 2)(ballβ€˜π·)((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)) = ((((𝐡 + 𝐴) / 2) βˆ’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2))(,)(((𝐡 + 𝐴) / 2) + ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2))))
10 recn 7919 . . . . 5 (𝐡 ∈ ℝ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
11 recn 7919 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
12 addcom 8068 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝐡 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐡))
1310, 11, 12syl2anr 290 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐡 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐡))
1413oveq1d 5880 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((𝐡 + 𝐴) / 2) = ((𝐴 + 𝐡) / 2))
1514oveq1d 5880 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (((𝐡 + 𝐴) / 2)(ballβ€˜π·)((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)) = (((𝐴 + 𝐡) / 2)(ballβ€˜π·)((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)))
16 halfaddsub 9124 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((((𝐡 + 𝐴) / 2) + ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)) = 𝐡 ∧ (((𝐡 + 𝐴) / 2) βˆ’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)) = 𝐴))
1710, 11, 16syl2anr 290 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((((𝐡 + 𝐴) / 2) + ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)) = 𝐡 ∧ (((𝐡 + 𝐴) / 2) βˆ’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)) = 𝐴))
1817simprd 114 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (((𝐡 + 𝐴) / 2) βˆ’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)) = 𝐴)
1917simpld 112 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (((𝐡 + 𝐴) / 2) + ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)) = 𝐡)
2018, 19oveq12d 5883 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((((𝐡 + 𝐴) / 2) βˆ’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2))(,)(((𝐡 + 𝐴) / 2) + ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2))) = (𝐴(,)𝐡))
219, 15, 203eqtr3rd 2217 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴(,)𝐡) = (((𝐴 + 𝐡) / 2)(ballβ€˜π·)((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2146   Γ— cxp 4618   β†Ύ cres 4622   ∘ ccom 4624  β€˜cfv 5208  (class class class)co 5865  β„‚cc 7784  β„cr 7785   + caddc 7789   βˆ’ cmin 8102   / cdiv 8601  2c2 8941  (,)cioo 9857  abscabs 10973  ballcbl 12975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-map 6640  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-rp 9623  df-xadd 9742  df-ioo 9861  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-cj 10818  df-re 10819  df-im 10820  df-rsqrt 10974  df-abs 10975  df-psmet 12980  df-xmet 12981  df-met 12982  df-bl 12983
This theorem is referenced by:  ioo2blex  13537
  Copyright terms: Public domain W3C validator