ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addasssrg GIF version

Theorem addasssrg 7757
Description: Addition of signed reals is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
addasssrg ((𝐴R𝐵R𝐶R) → ((𝐴 +R 𝐵) +R 𝐶) = (𝐴 +R (𝐵 +R 𝐶)))

Proof of Theorem addasssrg
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 7728 . 2 R = ((P × P) / ~R )
2 addsrpr 7746 . 2 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩] ~R )
3 addsrpr 7746 . 2 (((𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R +R [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~R ) = [⟨(𝑧 +P 𝑣), (𝑤 +P 𝑢)⟩] ~R )
4 addsrpr 7746 . 2 ((((𝑥 +P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 +P 𝑤) ∈ P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → ([⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩] ~R +R [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 +P 𝑧) +P 𝑣), ((𝑦 +P 𝑤) +P 𝑢)⟩] ~R )
5 addsrpr 7746 . 2 (((𝑥P𝑦P) ∧ ((𝑧 +P 𝑣) ∈ P ∧ (𝑤 +P 𝑢) ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨(𝑧 +P 𝑣), (𝑤 +P 𝑢)⟩] ~R ) = [⟨(𝑥 +P (𝑧 +P 𝑣)), (𝑦 +P (𝑤 +P 𝑢))⟩] ~R )
6 addclpr 7538 . . . 4 ((𝑥P𝑧P) → (𝑥 +P 𝑧) ∈ P)
7 addclpr 7538 . . . 4 ((𝑦P𝑤P) → (𝑦 +P 𝑤) ∈ P)
86, 7anim12i 338 . . 3 (((𝑥P𝑧P) ∧ (𝑦P𝑤P)) → ((𝑥 +P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 +P 𝑤) ∈ P))
98an4s 588 . 2 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑥 +P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 +P 𝑤) ∈ P))
10 addclpr 7538 . . . 4 ((𝑧P𝑣P) → (𝑧 +P 𝑣) ∈ P)
11 addclpr 7538 . . . 4 ((𝑤P𝑢P) → (𝑤 +P 𝑢) ∈ P)
1210, 11anim12i 338 . . 3 (((𝑧P𝑣P) ∧ (𝑤P𝑢P)) → ((𝑧 +P 𝑣) ∈ P ∧ (𝑤 +P 𝑢) ∈ P))
1312an4s 588 . 2 (((𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → ((𝑧 +P 𝑣) ∈ P ∧ (𝑤 +P 𝑢) ∈ P))
14 addassprg 7580 . . . . 5 ((𝑥P𝑧P𝑣P) → ((𝑥 +P 𝑧) +P 𝑣) = (𝑥 +P (𝑧 +P 𝑣)))
15143adant1r 1231 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ 𝑧P𝑣P) → ((𝑥 +P 𝑧) +P 𝑣) = (𝑥 +P (𝑧 +P 𝑣)))
16153adant2r 1233 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P) ∧ 𝑣P) → ((𝑥 +P 𝑧) +P 𝑣) = (𝑥 +P (𝑧 +P 𝑣)))
17163adant3r 1235 . 2 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → ((𝑥 +P 𝑧) +P 𝑣) = (𝑥 +P (𝑧 +P 𝑣)))
18 addassprg 7580 . . . . 5 ((𝑦P𝑤P𝑢P) → ((𝑦 +P 𝑤) +P 𝑢) = (𝑦 +P (𝑤 +P 𝑢)))
19183adant1l 1230 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ 𝑤P𝑢P) → ((𝑦 +P 𝑤) +P 𝑢) = (𝑦 +P (𝑤 +P 𝑢)))
20193adant2l 1232 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P) ∧ 𝑢P) → ((𝑦 +P 𝑤) +P 𝑢) = (𝑦 +P (𝑤 +P 𝑢)))
21203adant3l 1234 . 2 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → ((𝑦 +P 𝑤) +P 𝑢) = (𝑦 +P (𝑤 +P 𝑢)))
221, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 17, 21ecoviass 6647 1 ((𝐴R𝐵R𝐶R) → ((𝐴 +R 𝐵) +R 𝐶) = (𝐴 +R (𝐵 +R 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  (class class class)co 5877  Pcnp 7292   +P cpp 7294   ~R cer 7297  Rcnr 7298   +R cplr 7302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-2o 6420  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-pli 7306  df-mi 7307  df-lti 7308  df-plpq 7345  df-mpq 7346  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-plqqs 7350  df-mqqs 7351  df-1nqqs 7352  df-rq 7353  df-ltnqqs 7354  df-enq0 7425  df-nq0 7426  df-0nq0 7427  df-plq0 7428  df-mq0 7429  df-inp 7467  df-iplp 7469  df-enr 7727  df-nr 7728  df-plr 7729
This theorem is referenced by:  ltm1sr  7778  caucvgsrlemoffval  7797  caucvgsrlemoffcau  7799  caucvgsrlemoffres  7801  caucvgsr  7803  map2psrprg  7806  axaddass  7873  axmulass  7874  axdistr  7875
  Copyright terms: Public domain W3C validator