Theorem abscxp 16183

Description: Absolute value of a power, when the base is real. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
abscxp	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴↑𝑐𝐵)) = (𝐴↑𝑐(ℜ‘𝐵)))

Proof of Theorem abscxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		relogcl 16124	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
3	2	recnd 8361	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
4	3	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	mulcld 8353	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
6		absef 12562	. . . 4 ⊢ ((𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (exp‘(ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (exp‘(ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
8		remul2 11660	. . . . . 6 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘((log‘𝐴) · 𝐵)) = ((log‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))
9	2, 8	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘((log‘𝐴) · 𝐵)) = ((log‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))
10	1, 4	mulcomd 8354	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · (log‘𝐴)) = ((log‘𝐴) · 𝐵))
11	10	fveq2d 5702	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴))) = (ℜ‘((log‘𝐴) · 𝐵)))
12		recl 11640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
13	12	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
14	13	recnd 8361	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
15	14, 4	mulcomd 8354	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐵) · (log‘𝐴)) = ((log‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))
16	9, 11, 15	3eqtr4d 2281	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐵) · (log‘𝐴)))
17	16	fveq2d 5702	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (exp‘((ℜ‘𝐵) · (log‘𝐴))))
18	7, 17	eqtrd 2271	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (exp‘((ℜ‘𝐵) · (log‘𝐴))))
19		rpcxpef 16160	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
20	19	fveq2d 5702	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴↑𝑐𝐵)) = (abs‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
21		rpcxpef 16160	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(ℜ‘𝐵)) = (exp‘((ℜ‘𝐵) · (log‘𝐴))))
22	14, 21	syldan 282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(ℜ‘𝐵)) = (exp‘((ℜ‘𝐵) · (log‘𝐴))))
23	18, 20, 22	3eqtr4d 2281	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴↑𝑐𝐵)) = (𝐴↑𝑐(ℜ‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  ℝcr 8185   · cmul 8191  ℝ⁺crp 10071  ℜcre 11627  abscabs 11785  expce 12434  logclog 16118  ↑_𝑐ccxp 16119

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306  ax-pre-suploc 8307  ax-addf 8308  ax-mulf 8309

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6581  df-irdg 6646  df-frec 6667  df-1o 6692  df-oadd 6696  df-er 6812  df-map 6929  df-pm 6930  df-en 7029  df-dom 7030  df-fin 7031  df-sup 7331  df-inf 7332  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9655  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-xneg 10191  df-xadd 10192  df-ioo 10311  df-ico 10313  df-icc 10314  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-fac 11186  df-bc 11208  df-ihash 11237  df-shft 11602  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070  df-sumdc 12145  df-ef 12440  df-e 12441  df-sin 12442  df-cos 12443  df-rest 13654  df-topgen 13673  df-psmet 14989  df-xmet 14990  df-met 14991  df-bl 14992  df-mopn 14993  df-top 15257  df-topon 15270  df-bases 15302  df-ntr 15355  df-cn 15447  df-cnp 15448  df-tx 15512  df-cncf 15830  df-limced 15915  df-dvap 15916  df-relog 16120  df-rpcxp 16121

This theorem is used by: (None)