Theorem qusmulrng 14871

Description: Value of the multiplication operation in a quotient ring of a non-unital ring. Formerly part of proof for quscrng 14872. Similar to qusmul2 14868. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 28-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusmulrng.e	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝑆)
qusmulrng.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 /s ∼ )
qusmulrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qusmulrng.p	⊢ · = (.r‘𝑅)
qusmulrng.a	⊢ ∙ = (.r‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
qusmulrng	⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ([𝑋] ∼ ∙ [𝑌] ∼ ) = [(𝑋 · 𝑌)] ∼ )

Proof of Theorem qusmulrng

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusmulrng.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑅 /s ∼ )
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝐻 = (𝑅 /s ∼ ))
3		qusmulrng.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
5		qusmulrng.e	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝑆)
6	3, 5	eqger 14029	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → ∼ Er 𝐵)
7	6	3ad2ant3 1051	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → ∼ Er 𝐵)
8		simp1 1028	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Rng)
9		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
10		qusmulrng.p	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11	3, 5, 9, 10	2idlcpblrng 14862	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → ((𝑎 ∼ 𝑏 ∧ 𝑐 ∼ 𝑑) → (𝑎 · 𝑐) ∼ (𝑏 · 𝑑)))
12	8	anim1i 340	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵)) → (𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵)))
13		3anass 1013	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ↔ (𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵)))
14	12, 13	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵)) → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵))
15	3, 10	rngcl 14245	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑏 · 𝑑) ∈ 𝐵)
16	14, 15	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵)) → (𝑏 · 𝑑) ∈ 𝐵)
17		qusmulrng.a	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘𝐻)
18	2, 4, 7, 8, 11, 16, 10, 17	qusmulval 13660	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ([𝑋] ∼ ∙ [𝑌] ∼ ) = [(𝑋 · 𝑌)] ∼ )
19	18	3expb 1235	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ([𝑋] ∼ ∙ [𝑌] ∼ ) = [(𝑋 · 𝑌)] ∼ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   Er wer 6804  [cec 6805  Basecbs 13354  ._rcmulr 13434   /_s cqus 13625  SubGrpcsubg 13972   ~_QG cqg 13974  Rngcrng 14233  2Idealc2idl 14838

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-tpos 6516  df-er 6807  df-ec 6809  df-qs 6813  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-sets 13361  df-iress 13362  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-sca 13449  df-vsca 13450  df-ip 13451  df-0g 13614  df-iimas 13626  df-qus 13627  df-mgm 13678  df-sgrp 13719  df-mnd 13732  df-grp 13810  df-minusg 13811  df-sbg 13812  df-subg 13975  df-eqg 13977  df-cmn 14091  df-abl 14092  df-mgp 14220  df-rng 14234  df-oppr 14375  df-lssm 14692  df-sra 14774  df-rgmod 14775  df-lidl 14808  df-2idl 14839

This theorem is used by:  quscrng  14872