Theorem qusmulrng 14338

Description: Value of the multiplication operation in a quotient ring of a non-unital ring. Formerly part of proof for quscrng 14339. Similar to qusmul2 14335. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 28-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusmulrng.e	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝑆)
qusmulrng.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 /s ∼ )
qusmulrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qusmulrng.p	⊢ · = (.r‘𝑅)
qusmulrng.a	⊢ ∙ = (.r‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
qusmulrng	⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ([𝑋] ∼ ∙ [𝑌] ∼ ) = [(𝑋 · 𝑌)] ∼ )

Proof of Theorem qusmulrng

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusmulrng.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑅 /s ∼ )
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝐻 = (𝑅 /s ∼ ))
3		qusmulrng.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
5		qusmulrng.e	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝑆)
6	3, 5	eqger 13604	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → ∼ Er 𝐵)
7	6	3ad2ant3 1023	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → ∼ Er 𝐵)
8		simp1 1000	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Rng)
9		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
10		qusmulrng.p	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11	3, 5, 9, 10	2idlcpblrng 14329	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → ((𝑎 ∼ 𝑏 ∧ 𝑐 ∼ 𝑑) → (𝑎 · 𝑐) ∼ (𝑏 · 𝑑)))
12	8	anim1i 340	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵)) → (𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵)))
13		3anass 985	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ↔ (𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵)))
14	12, 13	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵)) → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵))
15	3, 10	rngcl 13750	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑏 · 𝑑) ∈ 𝐵)
16	14, 15	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵)) → (𝑏 · 𝑑) ∈ 𝐵)
17		qusmulrng.a	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘𝐻)
18	2, 4, 7, 8, 11, 16, 10, 17	qusmulval 13213	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ([𝑋] ∼ ∙ [𝑌] ∼ ) = [(𝑋 · 𝑌)] ∼ )
19	18	3expb 1207	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ([𝑋] ∼ ∙ [𝑌] ∼ ) = [(𝑋 · 𝑌)] ∼ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951   Er wer 6624  [cec 6625  Basecbs 12876  ._rcmulr 12954   /_s cqus 13176  SubGrpcsubg 13547   ~_QG cqg 13549  Rngcrng 13738  2Idealc2idl 14305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-tp 3642  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-tpos 6338  df-er 6627  df-ec 6629  df-qs 6633  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-ltxr 8119  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-iress 12884  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-sca 12969  df-vsca 12970  df-ip 12971  df-0g 13134  df-iimas 13178  df-qus 13179  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-grp 13379  df-minusg 13380  df-sbg 13381  df-subg 13550  df-eqg 13552  df-cmn 13666  df-abl 13667  df-mgp 13727  df-rng 13739  df-oppr 13874  df-lssm 14159  df-sra 14241  df-rgmod 14242  df-lidl 14275  df-2idl 14306

This theorem is referenced by:  quscrng  14339