Theorem xaddlid 13259

Description: Extended real version of addlid 11433. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddlid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem xaddlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11297	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		xaddcom 13257	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (0 +𝑒 𝐴) = (𝐴 +𝑒 0))
3	1, 2	mpan 688	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝐴) = (𝐴 +𝑒 0))
4		xaddrid 13258	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2767	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7424  0cc0 11144  ℝ^*cxr 11283   +_𝑒 cxad 13128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-xadd 13131

This theorem is referenced by:  xaddge0  13275  xsubge0  13278  xadddi2  13314  xrs1mnd  21342  xrs10  21343  imasdsf1olem  24297  stdbdxmet  24442  xaddeq0  32541  xrs0  32751  xrsmulgzz  32754  xrge0adddir  32766  xrge0npcan  32768  metideq  33499  esumrnmpt2  33692  esumpfinvallem  33698  0elcarsg  33932  carsgclctunlem3  33945  xaddlidd  44703  sge0tsms  45770  meadjun  45852  caragencmpl  45925