Theorem xaddlid 13192

Description: Extended real version of addlid 11327. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddlid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem xaddlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11190	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		xaddcom 13190	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (0 +𝑒 𝐴) = (𝐴 +𝑒 0))
3	1, 2	mpan 696	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝐴) = (𝐴 +𝑒 0))
4		xaddrid 13191	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  0cc0 11036  ℝ^*cxr 11176   +_𝑒 cxad 13059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-xadd 13062

This theorem is referenced by:  xaddge0  13208  xsubge0  13211  xadddi2  13247  xrs1mnd  21422  xrs10  21423  imasdsf1olem  24363  stdbdxmet  24505  xaddeq0  32852  xrs0  33092  xrsmulgzz  33095  xrge0adddir  33104  xrge0npcan  33106  lvecendof1f1o  33824  metideq  34084  esumrnmpt2  34259  esumpfinvallem  34265  0elcarsg  34498  carsgclctunlem3  34511  xaddlidd  45773  sge0tsms  46830  meadjun  46912  caragencmpl  46985