Theorem 1nns 28131

Description: Surreal one is a positive surreal integer. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
1nns	⊢ 1s ∈ ℕs

Proof of Theorem 1nns

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1n0s 28130	. . 3 ⊢ 1s ∈ ℕ0s
2		0slt1s 27678	. . . 4 ⊢ 0s <s 1s
3		sgt0ne0 27683	. . . 4 ⊢ ( 0s <s 1s → 1s ≠ 0s )
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 1s ≠ 0s
5		eldifsn 4782	. . 3 ⊢ ( 1s ∈ (ℕ0s ∖ { 0s }) ↔ ( 1s ∈ ℕ0s ∧ 1s ≠ 0s ))
6	1, 4, 5	mpbir2an 708	. 2 ⊢ 1s ∈ (ℕ0s ∖ { 0s })
7		df-nns 28104	. 2 ⊢ ℕs = (ℕ0s ∖ { 0s })
8	6, 7	eleqtrri 2824	1 ⊢ 1s ∈ ℕs

Syntax hints:   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3937  {csn 4620   class class class wbr 5138   <s cslt 27490   0_s c0s 27671   1_s c1s 27672  ℕ_0scnn0s 28101  ℕ_scnns 28102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-no 27492  df-slt 27493  df-bday 27494  df-sle 27594  df-sslt 27630  df-scut 27632  df-0s 27673  df-1s 27674  df-made 27690  df-old 27691  df-left 27693  df-right 27694  df-norec2 27782  df-adds 27793  df-n0s 28103  df-nns 28104

This theorem is referenced by:  peano2nns  28132  0reno  28141  remulscllem1  28144