Theorem 1nns 28341

Description: Surreal one is a positive surreal integer. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
1nns	⊢ 1s ∈ ℕs

Proof of Theorem 1nns

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1n0s 28340	. . 3 ⊢ 1s ∈ ℕ0s
2		1ne0s 27812	. . 3 ⊢ 1s ≠ 0s
3		eldifsn 4731	. . 3 ⊢ ( 1s ∈ (ℕ0s ∖ { 0s }) ↔ ( 1s ∈ ℕ0s ∧ 1s ≠ 0s ))
4	1, 2, 3	mpbir2an 712	. 2 ⊢ 1s ∈ (ℕ0s ∖ { 0s })
5		df-nns 28307	. 2 ⊢ ℕs = (ℕ0s ∖ { 0s })
6	4, 5	eleqtrri 2835	1 ⊢ 1s ∈ ℕs

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3886  {csn 4567   0_s c0s 27797   1_s c1s 27798  ℕ_0scn0s 28304  ℕ_scnns 28305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-no 27606  df-lts 27607  df-bday 27608  df-les 27709  df-slts 27750  df-cuts 27752  df-0s 27799  df-1s 27800  df-made 27819  df-old 27820  df-left 27822  df-right 27823  df-norec2 27941  df-adds 27952  df-n0s 28306  df-nns 28307

This theorem is referenced by:  peano2nns  28342  n0p1nns  28363  dfnns2  28364  nnzs  28378  0zs  28380  elzn0s  28390  2nns  28410  exps1  28420  nnexpscl  28425  0reno  28488  1reno  28489  remulscllem1  28492