Theorem 1n0s 28735

Description: Surreal one is a non-negative surreal integer. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
1n0s	⊢ 1s ∈ ℕ0s

Proof of Theorem 1n0s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1no 28197	. . 3 ⊢ 1s ∈ No
2		addslid 28355	. . 3 ⊢ ( 1s ∈ No → ( 0s +s 1s ) = 1s )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( 0s +s 1s ) = 1s
4		0n0s 28716	. . 3 ⊢ 0s ∈ ℕ0s
5		peano2n0s 28717	. . 3 ⊢ ( 0s ∈ ℕ0s → ( 0s +s 1s ) ∈ ℕ0s)
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( 0s +s 1s ) ∈ ℕ0s
7	3, 6	eqeltrri 2858	1 ⊢ 1s ∈ ℕ0s

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7421  Nocsur 27998   0_s c0s 28192   1_s c1s 28193   +_s cadds 28346  ℕ_0scn0s 28699

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-no 28001  df-lts 28002  df-bday 28003  df-slts 28145  df-cuts 28147  df-0s 28194  df-1s 28195  df-made 28214  df-old 28215  df-left 28217  df-right 28218  df-norec2 28336  df-adds 28347  df-n0s 28701

This theorem is used by:  1nns  28736  1zs  28778  1p1e2s  28803  n0expscl  28819  avglts1d  28840  avglts2d  28841  addhalfcut  28846  pw2cut2  28849  bdaypw2n0bndlem  28850  bdayfinbndlem1  28854  z12bdaylem2  28858  z12shalf  28867