Theorem 2t6m3t4e0 49263

Description: 2 times 6 minus 3 times 4 equals 0. (Contributed by AV, 24-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
2t6m3t4e0	⊢ ((2 · 6) − (3 · 4)) = 0

Proof of Theorem 2t6m3t4e0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6cn 12357	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
2	1	2timesi 12403	. . 3 ⊢ (2 · 6) = (6 + 6)
3		2p2e4 12400	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
4	3	eqcomi 2771	. . . . 5 ⊢ 4 = (2 + 2)
5	4	oveq2i 7427	. . . 4 ⊢ (3 · 4) = (3 · (2 + 2))
6		3cn 12347	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
7		2cn 12341	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
8	6, 7, 7	adddii 11246	. . . 4 ⊢ (3 · (2 + 2)) = ((3 · 2) + (3 · 2))
9		3t2e6 12431	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
10	9, 9	oveq12i 7428	. . . 4 ⊢ ((3 · 2) + (3 · 2)) = (6 + 6)
11	5, 8, 10	3eqtri 2789	. . 3 ⊢ (3 · 4) = (6 + 6)
12	2, 11	oveq12i 7428	. 2 ⊢ ((2 · 6) − (3 · 4)) = ((6 + 6) − (6 + 6))
13	1, 1	addcli 11240	. . 3 ⊢ (6 + 6) ∈ ℂ
14	13	subidi 11554	. 2 ⊢ ((6 + 6) − (6 + 6)) = 0
15	12, 14	eqtri 2785	1 ⊢ ((2 · 6) − (3 · 4)) = 0

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7416  0cc0 11125   + caddc 11128   · cmul 11130   − cmin 11466  2c2 12320  3c3 12321  4c4 12322  6c6 12324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-ltxr 11273  df-sub 11468  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332

This theorem is used by:  zlmodzxzequa  49411  zlmodzxzequap  49414