Theorem zlmodzxzequap 48482

Description: Example of an equation within the ℤ-module ℤ × ℤ (see example in [Roman] p. 112 for a linearly dependent set), written as a sum. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzequap.o	⊢ 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
zlmodzxzequap.m	⊢ + = (+g‘𝑍)
zlmodzxzequap.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzequap	⊢ ((2 ∙ 𝐴) + (-3 ∙ 𝐵)) = 0

Proof of Theorem zlmodzxzequap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12245	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		2cn 12239	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	1, 2	mulneg1i 11602	. . . . . 6 ⊢ (-3 · 2) = -(3 · 2)
4	3	oveq2i 7380	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + (-3 · 2)) = ((2 · 3) + -(3 · 2))
5	2, 1	mulcli 11159	. . . . . 6 ⊢ (2 · 3) ∈ ℂ
6	1, 2	mulcli 11159	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) ∈ ℂ
7		negsub 11448	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 3) ∈ ℂ ∧ (3 · 2) ∈ ℂ) → ((2 · 3) + -(3 · 2)) = ((2 · 3) − (3 · 2)))
8	1, 2	mulcomi 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 · 2) = (2 · 3)
9	8	oveq2i 7380	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 3) − (3 · 2)) = ((2 · 3) − (2 · 3))
10	5	subidi 11471	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 3) − (2 · 3)) = 0
11	9, 10	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 3) − (3 · 2)) = 0
12	7, 11	eqtrdi 2780	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 3) ∈ ℂ ∧ (3 · 2) ∈ ℂ) → ((2 · 3) + -(3 · 2)) = 0)
13	5, 6, 12	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + -(3 · 2)) = 0
14	4, 13	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + (-3 · 2)) = 0
15	14	opeq2i 4837	. . 3 ⊢ ⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩ = ⟨0, 0⟩
16		4cn 12249	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
17	1, 16	mulneg1i 11602	. . . . . 6 ⊢ (-3 · 4) = -(3 · 4)
18	17	oveq2i 7380	. . . . 5 ⊢ ((2 · 6) + (-3 · 4)) = ((2 · 6) + -(3 · 4))
19		6cn 12255	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
20	2, 19	mulcli 11159	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 6) ∈ ℂ
21	1, 16	mulcli 11159	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 4) ∈ ℂ
22	20, 21	negsubi 11478	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 6) + -(3 · 4)) = ((2 · 6) − (3 · 4))
23		2t6m3t4e0 48330	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 6) − (3 · 4)) = 0
24	22, 23	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ((2 · 6) + -(3 · 4)) = 0
25	18, 24	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + (-3 · 4)) = 0
26	25	opeq2i 4837	. . 3 ⊢ ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩ = ⟨1, 0⟩
27	15, 26	preq12i 4698	. 2 ⊢ {⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
28		zlmodzxzldep.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
29	28	oveq2i 7380	. . . . 5 ⊢ (2 ∙ 𝐴) = (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
30		2z 12543	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
31		3z 12544	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
32		6nn 12253	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
33	32	nnzi 12535	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℤ
34		zlmodzxzldep.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
35		zlmodzxzequap.t	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)
36	34, 35	zlmodzxzscm 48339	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩})
37	30, 31, 33, 36	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
38	29, 37	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ (2 ∙ 𝐴) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
39		zlmodzxzldep.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
40	39	oveq2i 7380	. . . . 5 ⊢ (-3 ∙ 𝐵) = (-3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
41		znegcl 12546	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → -3 ∈ ℤ)
42	31, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ -3 ∈ ℤ
43		4z 12545	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
44	34, 35	zlmodzxzscm 48339	. . . . . 6 ⊢ ((-3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (-3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩})
45	42, 30, 43, 44	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ (-3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩}
46	40, 45	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ (-3 ∙ 𝐵) = {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩}
47	38, 46	oveq12i 7381	. . 3 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) + (-3 ∙ 𝐵)) = ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} + {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩})
48		zmulcl 12560	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 · 3) ∈ ℤ)
49	30, 31, 48	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (2 · 3) ∈ ℤ
50		zmulcl 12560	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (-3 · 2) ∈ ℤ)
51	42, 30, 50	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (-3 · 2) ∈ ℤ
52		zmulcl 12560	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 · 6) ∈ ℤ)
53	30, 33, 52	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (2 · 6) ∈ ℤ
54		zmulcl 12560	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (-3 · 4) ∈ ℤ)
55	42, 43, 54	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (-3 · 4) ∈ ℤ
56		zlmodzxzequap.m	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑍)
57	34, 56	zlmodzxzadd 48340	. . . 4 ⊢ ((((2 · 3) ∈ ℤ ∧ (-3 · 2) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 6) ∈ ℤ ∧ (-3 · 4) ∈ ℤ)) → ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} + {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩})
58	49, 51, 53, 55, 57	mp4an 693	. . 3 ⊢ ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} + {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩}
59	47, 58	eqtri 2752	. 2 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) + (-3 ∙ 𝐵)) = {⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩}
60		zlmodzxzequap.o	. 2 ⊢ 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
61	27, 59, 60	3eqtr4i 2762	1 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) + (-3 ∙ 𝐵)) = 0

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cpr 4587  ⟨cop 4591  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11044  0cc0 11046  1c1 11047   + caddc 11049   · cmul 11051   − cmin 11383  -cneg 11384  2c2 12219  3c3 12220  4c4 12221  6c6 12223  ℤcz 12507  +_gcplusg 17197   ·_𝑠 cvsca 17201  ℤ_ringczring 21389   freeLMod cfrlm 21689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123  ax-addf 11125  ax-mulf 11126

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-4 12229  df-5 12230  df-6 12231  df-7 12232  df-8 12233  df-9 12234  df-n0 12421  df-z 12508  df-dec 12628  df-uz 12772  df-fz 13447  df-struct 17094  df-sets 17111  df-slot 17129  df-ndx 17141  df-base 17157  df-ress 17178  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17381  df-prds 17387  df-pws 17389  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-subg 19038  df-cmn 19697  df-abl 19698  df-mgp 20062  df-rng 20074  df-ur 20103  df-ring 20156  df-cring 20157  df-subrng 20467  df-subrg 20491  df-sra 21113  df-rgmod 21114  df-cnfld 21298  df-zring 21390  df-dsmm 21675  df-frlm 21690

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem3  48485