Theorem zlmodzxzequap 49002

Description: Example of an equation within the ℤ-module ℤ × ℤ (see example in [Roman] p. 112 for a linearly dependent set), written as a sum. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzequap.o	⊢ 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
zlmodzxzequap.m	⊢ + = (+g‘𝑍)
zlmodzxzequap.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzequap	⊢ ((2 ∙ 𝐴) + (-3 ∙ 𝐵)) = 0

Proof of Theorem zlmodzxzequap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12257	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		2cn 12251	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	1, 2	mulneg1i 11592	. . . . . 6 ⊢ (-3 · 2) = -(3 · 2)
4	3	oveq2i 7370	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + (-3 · 2)) = ((2 · 3) + -(3 · 2))
5	2, 1	mulcli 11148	. . . . . 6 ⊢ (2 · 3) ∈ ℂ
6	1, 2	mulcli 11148	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) ∈ ℂ
7		negsub 11438	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 3) ∈ ℂ ∧ (3 · 2) ∈ ℂ) → ((2 · 3) + -(3 · 2)) = ((2 · 3) − (3 · 2)))
8	1, 2	mulcomi 11149	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 · 2) = (2 · 3)
9	8	oveq2i 7370	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 3) − (3 · 2)) = ((2 · 3) − (2 · 3))
10	5	subidi 11461	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 3) − (2 · 3)) = 0
11	9, 10	eqtri 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 3) − (3 · 2)) = 0
12	7, 11	eqtrdi 2792	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 3) ∈ ℂ ∧ (3 · 2) ∈ ℂ) → ((2 · 3) + -(3 · 2)) = 0)
13	5, 6, 12	mp2an 699	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + -(3 · 2)) = 0
14	4, 13	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + (-3 · 2)) = 0
15	14	opeq2i 4810	. . 3 ⊢ ⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩ = ⟨0, 0⟩
16		4cn 12261	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
17	1, 16	mulneg1i 11592	. . . . . 6 ⊢ (-3 · 4) = -(3 · 4)
18	17	oveq2i 7370	. . . . 5 ⊢ ((2 · 6) + (-3 · 4)) = ((2 · 6) + -(3 · 4))
19		6cn 12267	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
20	2, 19	mulcli 11148	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 6) ∈ ℂ
21	1, 16	mulcli 11148	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 4) ∈ ℂ
22	20, 21	negsubi 11468	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 6) + -(3 · 4)) = ((2 · 6) − (3 · 4))
23		2t6m3t4e0 48851	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 6) − (3 · 4)) = 0
24	22, 23	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ ((2 · 6) + -(3 · 4)) = 0
25	18, 24	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + (-3 · 4)) = 0
26	25	opeq2i 4810	. . 3 ⊢ ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩ = ⟨1, 0⟩
27	15, 26	preq12i 4672	. 2 ⊢ {⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
28		zlmodzxzldep.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
29	28	oveq2i 7370	. . . . 5 ⊢ (2 ∙ 𝐴) = (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
30		2z 12554	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
31		3z 12555	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
32		6nn 12265	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
33	32	nnzi 12546	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℤ
34		zlmodzxzldep.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
35		zlmodzxzequap.t	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)
36	34, 35	zlmodzxzscm 48860	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩})
37	30, 31, 33, 36	mp3an 1470	. . . . 5 ⊢ (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
38	29, 37	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ (2 ∙ 𝐴) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
39		zlmodzxzldep.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
40	39	oveq2i 7370	. . . . 5 ⊢ (-3 ∙ 𝐵) = (-3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
41		znegcl 12557	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → -3 ∈ ℤ)
42	31, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ -3 ∈ ℤ
43		4z 12556	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
44	34, 35	zlmodzxzscm 48860	. . . . . 6 ⊢ ((-3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (-3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩})
45	42, 30, 43, 44	mp3an 1470	. . . . 5 ⊢ (-3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩}
46	40, 45	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ (-3 ∙ 𝐵) = {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩}
47	38, 46	oveq12i 7371	. . 3 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) + (-3 ∙ 𝐵)) = ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} + {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩})
48		zmulcl 12571	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 · 3) ∈ ℤ)
49	30, 31, 48	mp2an 699	. . . 4 ⊢ (2 · 3) ∈ ℤ
50		zmulcl 12571	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (-3 · 2) ∈ ℤ)
51	42, 30, 50	mp2an 699	. . . 4 ⊢ (-3 · 2) ∈ ℤ
52		zmulcl 12571	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 · 6) ∈ ℤ)
53	30, 33, 52	mp2an 699	. . . 4 ⊢ (2 · 6) ∈ ℤ
54		zmulcl 12571	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (-3 · 4) ∈ ℤ)
55	42, 43, 54	mp2an 699	. . . 4 ⊢ (-3 · 4) ∈ ℤ
56		zlmodzxzequap.m	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑍)
57	34, 56	zlmodzxzadd 48861	. . . 4 ⊢ ((((2 · 3) ∈ ℤ ∧ (-3 · 2) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 6) ∈ ℤ ∧ (-3 · 4) ∈ ℤ)) → ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} + {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩})
58	49, 51, 53, 55, 57	mp4an 700	. . 3 ⊢ ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} + {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩}
59	47, 58	eqtri 2764	. 2 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) + (-3 ∙ 𝐵)) = {⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩}
60		zlmodzxzequap.o	. 2 ⊢ 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
61	27, 59, 60	3eqtr4i 2774	1 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) + (-3 ∙ 𝐵)) = 0

Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {cpr 4559  ⟨cop 4563  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  ℂcc 11032  0cc0 11034  1c1 11035   + caddc 11037   · cmul 11039   − cmin 11373  -cneg 11374  2c2 12231  3c3 12232  4c4 12233  6c6 12235  ℤcz 12519  +_gcplusg 17215   ·_𝑠 cvsca 17219  ℤ_ringczring 21424   freeLMod cfrlm 21724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-addf 11113  ax-mulf 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-subg 19094  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-subrng 20521  df-subrg 20545  df-sra 21166  df-rgmod 21167  df-cnfld 21351  df-zring 21425  df-dsmm 21710  df-frlm 21725

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem3  49005