Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzequap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzequap 47082
Description: Example of an equation within the -module ℤ × ℤ (see example in [Roman] p. 112 for a linearly dependent set), written as a sum. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzequap.o 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
zlmodzxzequap.m + = (+g𝑍)
zlmodzxzequap.t = ( ·𝑠𝑍)
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzequap ((2 𝐴) + (-3 𝐵)) = 0

Proof of Theorem zlmodzxzequap
StepHypRef Expression
1 3cn 12289 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
2 2cn 12283 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
31, 2mulneg1i 11656 . . . . . 6 (-3 · 2) = -(3 · 2)
43oveq2i 7415 . . . . 5 ((2 · 3) + (-3 · 2)) = ((2 · 3) + -(3 · 2))
52, 1mulcli 11217 . . . . . 6 (2 · 3) ∈ ℂ
61, 2mulcli 11217 . . . . . 6 (3 · 2) ∈ ℂ
7 negsub 11504 . . . . . . 7 (((2 · 3) ∈ ℂ ∧ (3 · 2) ∈ ℂ) → ((2 · 3) + -(3 · 2)) = ((2 · 3) − (3 · 2)))
81, 2mulcomi 11218 . . . . . . . . 9 (3 · 2) = (2 · 3)
98oveq2i 7415 . . . . . . . 8 ((2 · 3) − (3 · 2)) = ((2 · 3) − (2 · 3))
105subidi 11527 . . . . . . . 8 ((2 · 3) − (2 · 3)) = 0
119, 10eqtri 2761 . . . . . . 7 ((2 · 3) − (3 · 2)) = 0
127, 11eqtrdi 2789 . . . . . 6 (((2 · 3) ∈ ℂ ∧ (3 · 2) ∈ ℂ) → ((2 · 3) + -(3 · 2)) = 0)
135, 6, 12mp2an 691 . . . . 5 ((2 · 3) + -(3 · 2)) = 0
144, 13eqtri 2761 . . . 4 ((2 · 3) + (-3 · 2)) = 0
1514opeq2i 4876 . . 3 ⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩ = ⟨0, 0⟩
16 4cn 12293 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
171, 16mulneg1i 11656 . . . . . 6 (-3 · 4) = -(3 · 4)
1817oveq2i 7415 . . . . 5 ((2 · 6) + (-3 · 4)) = ((2 · 6) + -(3 · 4))
19 6cn 12299 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
202, 19mulcli 11217 . . . . . . 7 (2 · 6) ∈ ℂ
211, 16mulcli 11217 . . . . . . 7 (3 · 4) ∈ ℂ
2220, 21negsubi 11534 . . . . . 6 ((2 · 6) + -(3 · 4)) = ((2 · 6) − (3 · 4))
23 2t6m3t4e0 46926 . . . . . 6 ((2 · 6) − (3 · 4)) = 0
2422, 23eqtri 2761 . . . . 5 ((2 · 6) + -(3 · 4)) = 0
2518, 24eqtri 2761 . . . 4 ((2 · 6) + (-3 · 4)) = 0
2625opeq2i 4876 . . 3 ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩ = ⟨1, 0⟩
2715, 26preq12i 4741 . 2 {⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
28 zlmodzxzldep.a . . . . . 6 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
2928oveq2i 7415 . . . . 5 (2 𝐴) = (2 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
30 2z 12590 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
31 3z 12591 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
32 6nn 12297 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ
3332nnzi 12582 . . . . . 6 6 ∈ ℤ
34 zlmodzxzldep.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
35 zlmodzxzequap.t . . . . . . 7 = ( ·𝑠𝑍)
3634, 35zlmodzxzscm 46935 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩})
3730, 31, 33, 36mp3an 1462 . . . . 5 (2 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
3829, 37eqtri 2761 . . . 4 (2 𝐴) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
39 zlmodzxzldep.b . . . . . 6 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
4039oveq2i 7415 . . . . 5 (-3 𝐵) = (-3 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
41 znegcl 12593 . . . . . . 7 (3 ∈ ℤ → -3 ∈ ℤ)
4231, 41ax-mp 5 . . . . . 6 -3 ∈ ℤ
43 4z 12592 . . . . . 6 4 ∈ ℤ
4434, 35zlmodzxzscm 46935 . . . . . 6 ((-3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (-3 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩})
4542, 30, 43, 44mp3an 1462 . . . . 5 (-3 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩}
4640, 45eqtri 2761 . . . 4 (-3 𝐵) = {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩}
4738, 46oveq12i 7416 . . 3 ((2 𝐴) + (-3 𝐵)) = ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} + {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩})
48 zmulcl 12607 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 · 3) ∈ ℤ)
4930, 31, 48mp2an 691 . . . 4 (2 · 3) ∈ ℤ
50 zmulcl 12607 . . . . 5 ((-3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (-3 · 2) ∈ ℤ)
5142, 30, 50mp2an 691 . . . 4 (-3 · 2) ∈ ℤ
52 zmulcl 12607 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 · 6) ∈ ℤ)
5330, 33, 52mp2an 691 . . . 4 (2 · 6) ∈ ℤ
54 zmulcl 12607 . . . . 5 ((-3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (-3 · 4) ∈ ℤ)
5542, 43, 54mp2an 691 . . . 4 (-3 · 4) ∈ ℤ
56 zlmodzxzequap.m . . . . 5 + = (+g𝑍)
5734, 56zlmodzxzadd 46936 . . . 4 ((((2 · 3) ∈ ℤ ∧ (-3 · 2) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 6) ∈ ℤ ∧ (-3 · 4) ∈ ℤ)) → ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} + {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩})
5849, 51, 53, 55, 57mp4an 692 . . 3 ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} + {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩}
5947, 58eqtri 2761 . 2 ((2 𝐴) + (-3 𝐵)) = {⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩}
60 zlmodzxzequap.o . 2 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
6127, 59, 603eqtr4i 2771 1 ((2 𝐴) + (-3 𝐵)) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {cpr 4629  cop 4633  cfv 6540  (class class class)co 7404  cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  cmin 11440  -cneg 11441  2c2 12263  3c3 12264  4c4 12265  6c6 12267  cz 12554  +gcplusg 17193   ·𝑠 cvsca 17197  ringczring 21002   freeLMod cfrlm 21285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-subg 18997  df-cmn 19643  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-cring 20050  df-subrg 20349  df-sra 20773  df-rgmod 20774  df-cnfld 20930  df-zring 21003  df-dsmm 21271  df-frlm 21286
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem3  47085
  Copyright terms: Public domain W3C validator