Theorem zlmodzxzequap 49814

Description: Example of an equation within the ℤ-module ℤ × ℤ (see example in [Roman] p. 112 for a linearly dependent set), written as a sum. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzequap.o	⊢ 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
zlmodzxzequap.m	⊢ + = (+g‘𝑍)
zlmodzxzequap.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzequap	⊢ ((2 ∙ 𝐴) + ( -3 ∙ 𝐵)) = 0

Proof of Theorem zlmodzxzequap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12448	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		2cn 12442	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	1, 2	mulneg1i 11786	. . . . . 6 ⊢ ( -3 · 2) = -(3 · 2)
4	3	oveq2i 7451	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + ( -3 · 2)) = ((2 · 3) + -(3 · 2))
5	2, 1	mulcli 11340	. . . . . 6 ⊢ (2 · 3) ∈ ℂ
6	1, 2	mulcli 11340	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) ∈ ℂ
7		negsub 11630	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 3) ∈ ℂ ∧ (3 · 2) ∈ ℂ) → ((2 · 3) + -(3 · 2)) = ((2 · 3) − (3 · 2)))
8	1, 2	mulcomi 11341	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 · 2) = (2 · 3)
9	8	oveq2i 7451	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 3) − (3 · 2)) = ((2 · 3) − (2 · 3))
10	5	subidi 11653	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 3) − (2 · 3)) = 0
11	9, 10	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 3) − (3 · 2)) = 0
12	7, 11	eqtrdi 2814	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 3) ∈ ℂ ∧ (3 · 2) ∈ ℂ) → ((2 · 3) + -(3 · 2)) = 0)
13	5, 6, 12	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + -(3 · 2)) = 0
14	4, 13	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + ( -3 · 2)) = 0
15	14	opeq2i 4847	. . 3 ⊢ ⟨0, ((2 · 3) + ( -3 · 2))⟩ = ⟨0, 0⟩
16		4cn 12452	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
17	1, 16	mulneg1i 11786	. . . . . 6 ⊢ ( -3 · 4) = -(3 · 4)
18	17	oveq2i 7451	. . . . 5 ⊢ ((2 · 6) + ( -3 · 4)) = ((2 · 6) + -(3 · 4))
19		6cn 12458	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
20	2, 19	mulcli 11340	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 6) ∈ ℂ
21	1, 16	mulcli 11340	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 4) ∈ ℂ
22	20, 21	negsubi 11660	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 6) + -(3 · 4)) = ((2 · 6) − (3 · 4))
23		2t6m3t4e0 49663	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 6) − (3 · 4)) = 0
24	22, 23	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((2 · 6) + -(3 · 4)) = 0
25	18, 24	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + ( -3 · 4)) = 0
26	25	opeq2i 4847	. . 3 ⊢ ⟨1, ((2 · 6) + ( -3 · 4))⟩ = ⟨1, 0⟩
27	15, 26	preq12i 4699	. 2 ⊢ {⟨0, ((2 · 3) + ( -3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + ( -3 · 4))⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
28		zlmodzxzldep.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
29	28	oveq2i 7451	. . . . 5 ⊢ (2 ∙ 𝐴) = (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
30		2z 12752	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
31		3z 12753	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
32		6nn 12456	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
33	32	nnzi 12744	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℤ
34		zlmodzxzldep.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
35		zlmodzxzequap.t	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)
36	34, 35	zlmodzxzscm 49672	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩})
37	30, 31, 33, 36	mp3an 1491	. . . . 5 ⊢ (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
38	29, 37	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ (2 ∙ 𝐴) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
39		zlmodzxzldep.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
40	39	oveq2i 7451	. . . . 5 ⊢ ( -3 ∙ 𝐵) = ( -3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
41		znegcl 12755	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → -3 ∈ ℤ)
42	31, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ -3 ∈ ℤ
43		4z 12754	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
44	34, 35	zlmodzxzscm 49672	. . . . . 6 ⊢ (( -3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → ( -3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, ( -3 · 2)⟩, ⟨1, ( -3 · 4)⟩})
45	42, 30, 43, 44	mp3an 1491	. . . . 5 ⊢ ( -3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, ( -3 · 2)⟩, ⟨1, ( -3 · 4)⟩}
46	40, 45	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ( -3 ∙ 𝐵) = {⟨0, ( -3 · 2)⟩, ⟨1, ( -3 · 4)⟩}
47	38, 46	oveq12i 7452	. . 3 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) + ( -3 ∙ 𝐵)) = ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} + {⟨0, ( -3 · 2)⟩, ⟨1, ( -3 · 4)⟩})
48		zmulcl 12769	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 · 3) ∈ ℤ)
49	30, 31, 48	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (2 · 3) ∈ ℤ
50		zmulcl 12769	. . . . 5 ⊢ (( -3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ( -3 · 2) ∈ ℤ)
51	42, 30, 50	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ( -3 · 2) ∈ ℤ
52		zmulcl 12769	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 · 6) ∈ ℤ)
53	30, 33, 52	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (2 · 6) ∈ ℤ
54		zmulcl 12769	. . . . 5 ⊢ (( -3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → ( -3 · 4) ∈ ℤ)
55	42, 43, 54	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ( -3 · 4) ∈ ℤ
56		zlmodzxzequap.m	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑍)
57	34, 56	zlmodzxzadd 49673	. . . 4 ⊢ ((((2 · 3) ∈ ℤ ∧ ( -3 · 2) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 6) ∈ ℤ ∧ ( -3 · 4) ∈ ℤ)) → ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} + {⟨0, ( -3 · 2)⟩, ⟨1, ( -3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) + ( -3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + ( -3 · 4))⟩})
58	49, 51, 53, 55, 57	mp4an 706	. . 3 ⊢ ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} + {⟨0, ( -3 · 2)⟩, ⟨1, ( -3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) + ( -3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + ( -3 · 4))⟩}
59	47, 58	eqtri 2786	. 2 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) + ( -3 ∙ 𝐵)) = {⟨0, ((2 · 3) + ( -3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + ( -3 · 4))⟩}
60		zlmodzxzequap.o	. 2 ⊢ 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
61	27, 59, 60	3eqtr4i 2796	1 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) + ( -3 ∙ 𝐵)) = 0

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cpr 4590  ⟨cop 4838  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  0cc0 11224  1c1 11225   + caddc 11227   · cmul 11229   − cmin 11565   -cneg 11566  2c2 12421  3c3 12422  4c4 12423  6c6 12425  ℤcz 12717  +_gcplusg 17454   ·_𝑠 cvsca 17458  ℤ_ringczring 21779   freeLMod cfrlm 22079

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-addf 11303  ax-mulf 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-sup 9458  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-0g 17638  df-prds 17644  df-pws 17646  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-subg 19359  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-cring 20489  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-sra 21475  df-rgmod 21476  df-cnfld 21706  df-zring 21780  df-dsmm 22065  df-frlm 22080

This theorem is used by:  zlmodzxzldeplem3  49817