Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzequap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzequap 42889
Description: Example of an equation within the -module ℤ × ℤ (see example in [Roman] p. 112 for a linearly dependent set), written as a sum. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzequap.o 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
zlmodzxzequap.m + = (+g𝑍)
zlmodzxzequap.t = ( ·𝑠𝑍)
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzequap ((2 𝐴) + (-3 𝐵)) = 0

Proof of Theorem zlmodzxzequap
StepHypRef Expression
1 3cn 11352 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
2 2cn 11346 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
31, 2mulneg1i 10729 . . . . . 6 (-3 · 2) = -(3 · 2)
43oveq2i 6852 . . . . 5 ((2 · 3) + (-3 · 2)) = ((2 · 3) + -(3 · 2))
52, 1mulcli 10300 . . . . . 6 (2 · 3) ∈ ℂ
61, 2mulcli 10300 . . . . . 6 (3 · 2) ∈ ℂ
7 negsub 10582 . . . . . . 7 (((2 · 3) ∈ ℂ ∧ (3 · 2) ∈ ℂ) → ((2 · 3) + -(3 · 2)) = ((2 · 3) − (3 · 2)))
81, 2mulcomi 10301 . . . . . . . . 9 (3 · 2) = (2 · 3)
98oveq2i 6852 . . . . . . . 8 ((2 · 3) − (3 · 2)) = ((2 · 3) − (2 · 3))
105subidi 10605 . . . . . . . 8 ((2 · 3) − (2 · 3)) = 0
119, 10eqtri 2786 . . . . . . 7 ((2 · 3) − (3 · 2)) = 0
127, 11syl6eq 2814 . . . . . 6 (((2 · 3) ∈ ℂ ∧ (3 · 2) ∈ ℂ) → ((2 · 3) + -(3 · 2)) = 0)
135, 6, 12mp2an 683 . . . . 5 ((2 · 3) + -(3 · 2)) = 0
144, 13eqtri 2786 . . . 4 ((2 · 3) + (-3 · 2)) = 0
1514opeq2i 4562 . . 3 ⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩ = ⟨0, 0⟩
16 4cn 11357 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
171, 16mulneg1i 10729 . . . . . 6 (-3 · 4) = -(3 · 4)
1817oveq2i 6852 . . . . 5 ((2 · 6) + (-3 · 4)) = ((2 · 6) + -(3 · 4))
19 6cn 11365 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
202, 19mulcli 10300 . . . . . . 7 (2 · 6) ∈ ℂ
211, 16mulcli 10300 . . . . . . 7 (3 · 4) ∈ ℂ
2220, 21negsubi 10612 . . . . . 6 ((2 · 6) + -(3 · 4)) = ((2 · 6) − (3 · 4))
23 2t6m3t4e0 42727 . . . . . 6 ((2 · 6) − (3 · 4)) = 0
2422, 23eqtri 2786 . . . . 5 ((2 · 6) + -(3 · 4)) = 0
2518, 24eqtri 2786 . . . 4 ((2 · 6) + (-3 · 4)) = 0
2625opeq2i 4562 . . 3 ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩ = ⟨1, 0⟩
2715, 26preq12i 4427 . 2 {⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
28 zlmodzxzldep.a . . . . . 6 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
2928oveq2i 6852 . . . . 5 (2 𝐴) = (2 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
30 2z 11655 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
31 3z 11656 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
32 6nn 11363 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ
3332nnzi 11647 . . . . . 6 6 ∈ ℤ
34 zlmodzxzldep.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
35 zlmodzxzequap.t . . . . . . 7 = ( ·𝑠𝑍)
3634, 35zlmodzxzscm 42736 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩})
3730, 31, 33, 36mp3an 1585 . . . . 5 (2 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
3829, 37eqtri 2786 . . . 4 (2 𝐴) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
39 zlmodzxzldep.b . . . . . 6 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
4039oveq2i 6852 . . . . 5 (-3 𝐵) = (-3 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
41 znegcl 11658 . . . . . . 7 (3 ∈ ℤ → -3 ∈ ℤ)
4231, 41ax-mp 5 . . . . . 6 -3 ∈ ℤ
43 4z 11657 . . . . . 6 4 ∈ ℤ
4434, 35zlmodzxzscm 42736 . . . . . 6 ((-3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (-3 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩})
4542, 30, 43, 44mp3an 1585 . . . . 5 (-3 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩}
4640, 45eqtri 2786 . . . 4 (-3 𝐵) = {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩}
4738, 46oveq12i 6853 . . 3 ((2 𝐴) + (-3 𝐵)) = ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} + {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩})
48 zmulcl 11672 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 · 3) ∈ ℤ)
4930, 31, 48mp2an 683 . . . 4 (2 · 3) ∈ ℤ
50 zmulcl 11672 . . . . 5 ((-3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (-3 · 2) ∈ ℤ)
5142, 30, 50mp2an 683 . . . 4 (-3 · 2) ∈ ℤ
52 zmulcl 11672 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 · 6) ∈ ℤ)
5330, 33, 52mp2an 683 . . . 4 (2 · 6) ∈ ℤ
54 zmulcl 11672 . . . . 5 ((-3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (-3 · 4) ∈ ℤ)
5542, 43, 54mp2an 683 . . . 4 (-3 · 4) ∈ ℤ
56 zlmodzxzequap.m . . . . 5 + = (+g𝑍)
5734, 56zlmodzxzadd 42737 . . . 4 ((((2 · 3) ∈ ℤ ∧ (-3 · 2) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 6) ∈ ℤ ∧ (-3 · 4) ∈ ℤ)) → ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} + {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩})
5849, 51, 53, 55, 57mp4an 684 . . 3 ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} + {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩}
5947, 58eqtri 2786 . 2 ((2 𝐴) + (-3 𝐵)) = {⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩}
60 zlmodzxzequap.o . 2 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
6127, 59, 603eqtr4i 2796 1 ((2 𝐴) + (-3 𝐵)) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  {cpr 4335  cop 4339  cfv 6067  (class class class)co 6841  cc 10186  0cc0 10188  1c1 10189   + caddc 10191   · cmul 10193  cmin 10519  -cneg 10520  2c2 11326  3c3 11327  4c4 11328  6c6 11330  cz 11623  +gcplusg 16215   ·𝑠 cvsca 16219  ringzring 20090   freeLMod cfrlm 20365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265  ax-addf 10267  ax-mulf 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-of 7094  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-supp 7497  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-oadd 7767  df-er 7946  df-map 8061  df-ixp 8113  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-fsupp 8482  df-sup 8554  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-7 11339  df-8 11340  df-9 11341  df-n0 11538  df-z 11624  df-dec 11740  df-uz 11886  df-fz 12533  df-struct 16133  df-ndx 16134  df-slot 16135  df-base 16137  df-sets 16138  df-ress 16139  df-plusg 16228  df-mulr 16229  df-starv 16230  df-sca 16231  df-vsca 16232  df-ip 16233  df-tset 16234  df-ple 16235  df-ds 16237  df-unif 16238  df-hom 16239  df-cco 16240  df-0g 16369  df-prds 16375  df-pws 16377  df-mgm 17509  df-sgrp 17551  df-mnd 17562  df-grp 17693  df-minusg 17694  df-subg 17856  df-cmn 18460  df-mgp 18756  df-ur 18768  df-ring 18815  df-cring 18816  df-subrg 19046  df-sra 19445  df-rgmod 19446  df-cnfld 20019  df-zring 20091  df-dsmm 20351  df-frlm 20366
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem3  42892
  Copyright terms: Public domain W3C validator