Theorem zlmodzxzequap 49611

Description: Example of an equation within the ℤ-module ℤ × ℤ (see example in [Roman] p. 112 for a linearly dependent set), written as a sum. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzequap.o	⊢ 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
zlmodzxzequap.m	⊢ + = (+g‘𝑍)
zlmodzxzequap.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzequap	⊢ ((2 ∙ 𝐴) + ( -3 ∙ 𝐵)) = 0

Proof of Theorem zlmodzxzequap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12424	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		2cn 12418	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	1, 2	mulneg1i 11762	. . . . . 6 ⊢ ( -3 · 2) = -(3 · 2)
4	3	oveq2i 7431	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + ( -3 · 2)) = ((2 · 3) + -(3 · 2))
5	2, 1	mulcli 11316	. . . . . 6 ⊢ (2 · 3) ∈ ℂ
6	1, 2	mulcli 11316	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) ∈ ℂ
7		negsub 11606	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 3) ∈ ℂ ∧ (3 · 2) ∈ ℂ) → ((2 · 3) + -(3 · 2)) = ((2 · 3) − (3 · 2)))
8	1, 2	mulcomi 11317	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 · 2) = (2 · 3)
9	8	oveq2i 7431	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 3) − (3 · 2)) = ((2 · 3) − (2 · 3))
10	5	subidi 11629	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 3) − (2 · 3)) = 0
11	9, 10	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 3) − (3 · 2)) = 0
12	7, 11	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 3) ∈ ℂ ∧ (3 · 2) ∈ ℂ) → ((2 · 3) + -(3 · 2)) = 0)
13	5, 6, 12	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + -(3 · 2)) = 0
14	4, 13	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + ( -3 · 2)) = 0
15	14	opeq2i 4836	. . 3 ⊢ ⟨0, ((2 · 3) + ( -3 · 2))⟩ = ⟨0, 0⟩
16		4cn 12428	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
17	1, 16	mulneg1i 11762	. . . . . 6 ⊢ ( -3 · 4) = -(3 · 4)
18	17	oveq2i 7431	. . . . 5 ⊢ ((2 · 6) + ( -3 · 4)) = ((2 · 6) + -(3 · 4))
19		6cn 12434	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
20	2, 19	mulcli 11316	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 6) ∈ ℂ
21	1, 16	mulcli 11316	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 4) ∈ ℂ
22	20, 21	negsubi 11636	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 6) + -(3 · 4)) = ((2 · 6) − (3 · 4))
23		2t6m3t4e0 49460	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 6) − (3 · 4)) = 0
24	22, 23	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ ((2 · 6) + -(3 · 4)) = 0
25	18, 24	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + ( -3 · 4)) = 0
26	25	opeq2i 4836	. . 3 ⊢ ⟨1, ((2 · 6) + ( -3 · 4))⟩ = ⟨1, 0⟩
27	15, 26	preq12i 4698	. 2 ⊢ {⟨0, ((2 · 3) + ( -3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + ( -3 · 4))⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
28		zlmodzxzldep.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
29	28	oveq2i 7431	. . . . 5 ⊢ (2 ∙ 𝐴) = (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
30		2z 12728	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
31		3z 12729	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
32		6nn 12432	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
33	32	nnzi 12720	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℤ
34		zlmodzxzldep.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
35		zlmodzxzequap.t	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)
36	34, 35	zlmodzxzscm 49469	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩})
37	30, 31, 33, 36	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
38	29, 37	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ (2 ∙ 𝐴) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
39		zlmodzxzldep.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
40	39	oveq2i 7431	. . . . 5 ⊢ ( -3 ∙ 𝐵) = ( -3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
41		znegcl 12731	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → -3 ∈ ℤ)
42	31, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ -3 ∈ ℤ
43		4z 12730	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
44	34, 35	zlmodzxzscm 49469	. . . . . 6 ⊢ (( -3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → ( -3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, ( -3 · 2)⟩, ⟨1, ( -3 · 4)⟩})
45	42, 30, 43, 44	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ ( -3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, ( -3 · 2)⟩, ⟨1, ( -3 · 4)⟩}
46	40, 45	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ( -3 ∙ 𝐵) = {⟨0, ( -3 · 2)⟩, ⟨1, ( -3 · 4)⟩}
47	38, 46	oveq12i 7432	. . 3 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) + ( -3 ∙ 𝐵)) = ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} + {⟨0, ( -3 · 2)⟩, ⟨1, ( -3 · 4)⟩})
48		zmulcl 12745	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 · 3) ∈ ℤ)
49	30, 31, 48	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (2 · 3) ∈ ℤ
50		zmulcl 12745	. . . . 5 ⊢ (( -3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ( -3 · 2) ∈ ℤ)
51	42, 30, 50	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ( -3 · 2) ∈ ℤ
52		zmulcl 12745	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 · 6) ∈ ℤ)
53	30, 33, 52	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (2 · 6) ∈ ℤ
54		zmulcl 12745	. . . . 5 ⊢ (( -3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → ( -3 · 4) ∈ ℤ)
55	42, 43, 54	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ( -3 · 4) ∈ ℤ
56		zlmodzxzequap.m	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑍)
57	34, 56	zlmodzxzadd 49470	. . . 4 ⊢ ((((2 · 3) ∈ ℤ ∧ ( -3 · 2) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 6) ∈ ℤ ∧ ( -3 · 4) ∈ ℤ)) → ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} + {⟨0, ( -3 · 2)⟩, ⟨1, ( -3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) + ( -3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + ( -3 · 4))⟩})
58	49, 51, 53, 55, 57	mp4an 706	. . 3 ⊢ ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} + {⟨0, ( -3 · 2)⟩, ⟨1, ( -3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) + ( -3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + ( -3 · 4))⟩}
59	47, 58	eqtri 2783	. 2 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) + ( -3 ∙ 𝐵)) = {⟨0, ((2 · 3) + ( -3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + ( -3 · 4))⟩}
60		zlmodzxzequap.o	. 2 ⊢ 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
61	27, 59, 60	3eqtr4i 2793	1 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) + ( -3 ∙ 𝐵)) = 0

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cpr 4585  ⟨cop 4589  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   − cmin 11541   -cneg 11542  2c2 12397  3c3 12398  4c4 12399  6c6 12401  ℤcz 12693  +_gcplusg 17428   ·_𝑠 cvsca 17432  ℤ_ringczring 21752   freeLMod cfrlm 22052

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-subg 19333  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-cnfld 21679  df-zring 21753  df-dsmm 22038  df-frlm 22053

This theorem is used by:  zlmodzxzldeplem3  49614