Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzequa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzequa 47131
Description: Example of an equation within the -module ℤ × ℤ (see example in [Roman] p. 112 for a linearly dependent set). (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzequa.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzequa.o 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
zlmodzxzequa.t = ( ·𝑠𝑍)
zlmodzxzequa.m = (-g𝑍)
zlmodzxzequa.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzequa.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzequa ((2 𝐴) (3 𝐵)) = 0

Proof of Theorem zlmodzxzequa
StepHypRef Expression
1 3cn 12290 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
212timesi 12347 . . . . . . 7 (2 · 3) = (3 + 3)
3 3p3e6 12361 . . . . . . 7 (3 + 3) = 6
42, 3eqtri 2761 . . . . . 6 (2 · 3) = 6
5 3t2e6 12375 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
64, 5oveq12i 7418 . . . . 5 ((2 · 3) − (3 · 2)) = (6 − 6)
7 6cn 12300 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
87subidi 11528 . . . . 5 (6 − 6) = 0
96, 8eqtri 2761 . . . 4 ((2 · 3) − (3 · 2)) = 0
109opeq2i 4877 . . 3 ⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩ = ⟨0, 0⟩
11 2t6m3t4e0 46978 . . . 4 ((2 · 6) − (3 · 4)) = 0
1211opeq2i 4877 . . 3 ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩ = ⟨1, 0⟩
1310, 12preq12i 4742 . 2 {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
14 zlmodzxzequa.a . . . . . 6 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
1514oveq2i 7417 . . . . 5 (2 𝐴) = (2 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
16 2z 12591 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
17 3z 12592 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
18 6nn 12298 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ
1918nnzi 12583 . . . . . 6 6 ∈ ℤ
20 zlmodzxzequa.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
21 zlmodzxzequa.t . . . . . . 7 = ( ·𝑠𝑍)
2220, 21zlmodzxzscm 46987 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩})
2316, 17, 19, 22mp3an 1462 . . . . 5 (2 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
2415, 23eqtri 2761 . . . 4 (2 𝐴) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
25 zlmodzxzequa.b . . . . . 6 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
2625oveq2i 7417 . . . . 5 (3 𝐵) = (3 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
27 4z 12593 . . . . . 6 4 ∈ ℤ
2820, 21zlmodzxzscm 46987 . . . . . 6 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (3 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩})
2917, 16, 27, 28mp3an 1462 . . . . 5 (3 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}
3026, 29eqtri 2761 . . . 4 (3 𝐵) = {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}
3124, 30oveq12i 7418 . . 3 ((2 𝐴) (3 𝐵)) = ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩})
32 zmulcl 12608 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 · 3) ∈ ℤ)
3316, 17, 32mp2an 691 . . . 4 (2 · 3) ∈ ℤ
34 zmulcl 12608 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 · 2) ∈ ℤ)
3517, 16, 34mp2an 691 . . . 4 (3 · 2) ∈ ℤ
36 zmulcl 12608 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 · 6) ∈ ℤ)
3716, 19, 36mp2an 691 . . . 4 (2 · 6) ∈ ℤ
38 zmulcl 12608 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (3 · 4) ∈ ℤ)
3917, 27, 38mp2an 691 . . . 4 (3 · 4) ∈ ℤ
40 zlmodzxzequa.m . . . . 5 = (-g𝑍)
4120, 40zlmodzxzsub 46990 . . . 4 ((((2 · 3) ∈ ℤ ∧ (3 · 2) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 6) ∈ ℤ ∧ (3 · 4) ∈ ℤ)) → ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩})
4233, 35, 37, 39, 41mp4an 692 . . 3 ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩}
4331, 42eqtri 2761 . 2 ((2 𝐴) (3 𝐵)) = {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩}
44 zlmodzxzequa.o . 2 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
4513, 43, 443eqtr4i 2771 1 ((2 𝐴) (3 𝐵)) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2107  {cpr 4630  cop 4634  cfv 6541  (class class class)co 7406  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112  cmin 11441  2c2 12264  3c3 12265  4c4 12266  6c6 12268  cz 12555   ·𝑠 cvsca 17198  -gcsg 18818  ringczring 21010   freeLMod cfrlm 21293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-0g 17384  df-prds 17390  df-pws 17392  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-subg 18998  df-cmn 19645  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-cring 20053  df-subrg 20354  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-sra 20778  df-rgmod 20779  df-cnfld 20938  df-zring 21011  df-dsmm 21279  df-frlm 21294
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator