Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzequa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzequa 45319
 Description: Example of an equation within the ℤ-module ℤ × ℤ (see example in [Roman] p. 112 for a linearly dependent set). (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzequa.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzequa.o 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
zlmodzxzequa.t = ( ·𝑠𝑍)
zlmodzxzequa.m = (-g𝑍)
zlmodzxzequa.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzequa.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzequa ((2 𝐴) (3 𝐵)) = 0

Proof of Theorem zlmodzxzequa
StepHypRef Expression
1 3cn 11768 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
212timesi 11825 . . . . . . 7 (2 · 3) = (3 + 3)
3 3p3e6 11839 . . . . . . 7 (3 + 3) = 6
42, 3eqtri 2781 . . . . . 6 (2 · 3) = 6
5 3t2e6 11853 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
64, 5oveq12i 7168 . . . . 5 ((2 · 3) − (3 · 2)) = (6 − 6)
7 6cn 11778 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
87subidi 11008 . . . . 5 (6 − 6) = 0
96, 8eqtri 2781 . . . 4 ((2 · 3) − (3 · 2)) = 0
109opeq2i 4770 . . 3 ⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩ = ⟨0, 0⟩
11 2t6m3t4e0 45166 . . . 4 ((2 · 6) − (3 · 4)) = 0
1211opeq2i 4770 . . 3 ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩ = ⟨1, 0⟩
1310, 12preq12i 4634 . 2 {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
14 zlmodzxzequa.a . . . . . 6 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
1514oveq2i 7167 . . . . 5 (2 𝐴) = (2 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
16 2z 12066 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
17 3z 12067 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
18 6nn 11776 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ
1918nnzi 12058 . . . . . 6 6 ∈ ℤ
20 zlmodzxzequa.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
21 zlmodzxzequa.t . . . . . . 7 = ( ·𝑠𝑍)
2220, 21zlmodzxzscm 45175 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩})
2316, 17, 19, 22mp3an 1458 . . . . 5 (2 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
2415, 23eqtri 2781 . . . 4 (2 𝐴) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
25 zlmodzxzequa.b . . . . . 6 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
2625oveq2i 7167 . . . . 5 (3 𝐵) = (3 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
27 4z 12068 . . . . . 6 4 ∈ ℤ
2820, 21zlmodzxzscm 45175 . . . . . 6 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (3 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩})
2917, 16, 27, 28mp3an 1458 . . . . 5 (3 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}
3026, 29eqtri 2781 . . . 4 (3 𝐵) = {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}
3124, 30oveq12i 7168 . . 3 ((2 𝐴) (3 𝐵)) = ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩})
32 zmulcl 12083 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 · 3) ∈ ℤ)
3316, 17, 32mp2an 691 . . . 4 (2 · 3) ∈ ℤ
34 zmulcl 12083 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 · 2) ∈ ℤ)
3517, 16, 34mp2an 691 . . . 4 (3 · 2) ∈ ℤ
36 zmulcl 12083 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 · 6) ∈ ℤ)
3716, 19, 36mp2an 691 . . . 4 (2 · 6) ∈ ℤ
38 zmulcl 12083 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (3 · 4) ∈ ℤ)
3917, 27, 38mp2an 691 . . . 4 (3 · 4) ∈ ℤ
40 zlmodzxzequa.m . . . . 5 = (-g𝑍)
4120, 40zlmodzxzsub 45178 . . . 4 ((((2 · 3) ∈ ℤ ∧ (3 · 2) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 6) ∈ ℤ ∧ (3 · 4) ∈ ℤ)) → ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩})
4233, 35, 37, 39, 41mp4an 692 . . 3 ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩}
4331, 42eqtri 2781 . 2 ((2 𝐴) (3 𝐵)) = {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩}
44 zlmodzxzequa.o . 2 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
4513, 43, 443eqtr4i 2791 1 ((2 𝐴) (3 𝐵)) = 0
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cpr 4527  ⟨cop 4531  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  0cc0 10588  1c1 10589   + caddc 10591   · cmul 10593   − cmin 10921  2c2 11742  3c3 11743  4c4 11744  6c6 11746  ℤcz 12033   ·𝑠 cvsca 16640  -gcsg 18184  ℤringzring 20251   freeLMod cfrlm 20524 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-addf 10667  ax-mulf 10668 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-sup 8952  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-fz 12953  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-starv 16651  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-ip 16654  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-unif 16659  df-hom 16660  df-cco 16661  df-0g 16786  df-prds 16792  df-pws 16794  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-sbg 18187  df-subg 18356  df-cmn 18988  df-mgp 19321  df-ur 19333  df-ring 19380  df-cring 19381  df-subrg 19614  df-lmod 19717  df-lss 19785  df-sra 20025  df-rgmod 20026  df-cnfld 20180  df-zring 20252  df-dsmm 20510  df-frlm 20525 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator