Theorem zlmodzxzequa 48992

Description: Example of an equation within the ℤ-module ℤ × ℤ (see example in [Roman] p. 112 for a linearly dependent set). (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzequa.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzequa.o	⊢ 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
zlmodzxzequa.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)
zlmodzxzequa.m	⊢ − = (-g‘𝑍)
zlmodzxzequa.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzequa.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzequa	⊢ ((2 ∙ 𝐴) − (3 ∙ 𝐵)) = 0

Proof of Theorem zlmodzxzequa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12259	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
2	1	2timesi 12311	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 3) = (3 + 3)
3		3p3e6 12325	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
4	2, 3	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ (2 · 3) = 6
5		3t2e6 12339	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
6	4, 5	oveq12i 7376	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) − (3 · 2)) = (6 − 6)
7		6cn 12269	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8	7	subidi 11462	. . . . 5 ⊢ (6 − 6) = 0
9	6, 8	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) − (3 · 2)) = 0
10	9	opeq2i 4821	. . 3 ⊢ ⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩ = ⟨0, 0⟩
11		2t6m3t4e0 48844	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) − (3 · 4)) = 0
12	11	opeq2i 4821	. . 3 ⊢ ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩ = ⟨1, 0⟩
13	10, 12	preq12i 4683	. 2 ⊢ {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
14		zlmodzxzequa.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
15	14	oveq2i 7375	. . . . 5 ⊢ (2 ∙ 𝐴) = (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
16		2z 12556	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
17		3z 12557	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
18		6nn 12267	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
19	18	nnzi 12548	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℤ
20		zlmodzxzequa.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
21		zlmodzxzequa.t	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)
22	20, 21	zlmodzxzscm 48853	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩})
23	16, 17, 19, 22	mp3an 1464	. . . . 5 ⊢ (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
24	15, 23	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (2 ∙ 𝐴) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
25		zlmodzxzequa.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
26	25	oveq2i 7375	. . . . 5 ⊢ (3 ∙ 𝐵) = (3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
27		4z 12558	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
28	20, 21	zlmodzxzscm 48853	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩})
29	17, 16, 27, 28	mp3an 1464	. . . . 5 ⊢ (3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}
30	26, 29	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (3 ∙ 𝐵) = {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}
31	24, 30	oveq12i 7376	. . 3 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) − (3 ∙ 𝐵)) = ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} − {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩})
32		zmulcl 12573	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 · 3) ∈ ℤ)
33	16, 17, 32	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (2 · 3) ∈ ℤ
34		zmulcl 12573	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 · 2) ∈ ℤ)
35	17, 16, 34	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (3 · 2) ∈ ℤ
36		zmulcl 12573	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 · 6) ∈ ℤ)
37	16, 19, 36	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (2 · 6) ∈ ℤ
38		zmulcl 12573	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (3 · 4) ∈ ℤ)
39	17, 27, 38	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (3 · 4) ∈ ℤ
40		zlmodzxzequa.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑍)
41	20, 40	zlmodzxzsub 48856	. . . 4 ⊢ ((((2 · 3) ∈ ℤ ∧ (3 · 2) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 6) ∈ ℤ ∧ (3 · 4) ∈ ℤ)) → ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} − {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩})
42	33, 35, 37, 39, 41	mp4an 694	. . 3 ⊢ ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} − {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩}
43	31, 42	eqtri 2760	. 2 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) − (3 ∙ 𝐵)) = {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩}
44		zlmodzxzequa.o	. 2 ⊢ 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
45	13, 43, 44	3eqtr4i 2770	1 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) − (3 ∙ 𝐵)) = 0

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cpr 4570  ⟨cop 4574  ‘cfv 6496  (class class class)co 7364  0cc0 11035  1c1 11036   + caddc 11038   · cmul 11040   − cmin 11374  2c2 12233  3c3 12234  4c4 12235  6c6 12237  ℤcz 12521   ·_𝑠 cvsca 17221  -_gcsg 18908  ℤ_ringczring 21442   freeLMod cfrlm 21742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112  ax-addf 11114  ax-mulf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-of 7628  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-nn 12172  df-2 12241  df-3 12242  df-4 12243  df-5 12244  df-6 12245  df-7 12246  df-8 12247  df-9 12248  df-n0 12435  df-z 12522  df-dec 12642  df-uz 12786  df-fz 13459  df-struct 17114  df-sets 17131  df-slot 17149  df-ndx 17161  df-base 17177  df-ress 17198  df-plusg 17230  df-mulr 17231  df-starv 17232  df-sca 17233  df-vsca 17234  df-ip 17235  df-tset 17236  df-ple 17237  df-ds 17239  df-unif 17240  df-hom 17241  df-cco 17242  df-0g 17401  df-prds 17407  df-pws 17409  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18909  df-minusg 18910  df-sbg 18911  df-subg 19096  df-cmn 19754  df-abl 19755  df-mgp 20119  df-rng 20131  df-ur 20160  df-ring 20213  df-cring 20214  df-subrng 20520  df-subrg 20544  df-lmod 20854  df-lss 20924  df-sra 21166  df-rgmod 21167  df-cnfld 21351  df-zring 21443  df-dsmm 21728  df-frlm 21743

This theorem is referenced by: (None)