Theorem zlmodzxzequa 49608

Description: Example of an equation within the ℤ-module ℤ × ℤ (see example in [Roman] p. 112 for a linearly dependent set). (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzequa.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzequa.o	⊢ 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
zlmodzxzequa.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)
zlmodzxzequa.m	⊢ − = (-g‘𝑍)
zlmodzxzequa.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzequa.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzequa	⊢ ((2 ∙ 𝐴) − (3 ∙ 𝐵)) = 0

Proof of Theorem zlmodzxzequa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12424	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
2	1	2timesi 12480	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 3) = (3 + 3)
3		3p3e6 12494	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
4	2, 3	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ (2 · 3) = 6
5		3t2e6 12508	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
6	4, 5	oveq12i 7432	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) − (3 · 2)) = (6 − 6)
7		6cn 12434	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8	7	subidi 11629	. . . . 5 ⊢ (6 − 6) = 0
9	6, 8	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) − (3 · 2)) = 0
10	9	opeq2i 4836	. . 3 ⊢ ⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩ = ⟨0, 0⟩
11		2t6m3t4e0 49460	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) − (3 · 4)) = 0
12	11	opeq2i 4836	. . 3 ⊢ ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩ = ⟨1, 0⟩
13	10, 12	preq12i 4698	. 2 ⊢ {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
14		zlmodzxzequa.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
15	14	oveq2i 7431	. . . . 5 ⊢ (2 ∙ 𝐴) = (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
16		2z 12728	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
17		3z 12729	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
18		6nn 12432	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
19	18	nnzi 12720	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℤ
20		zlmodzxzequa.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
21		zlmodzxzequa.t	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)
22	20, 21	zlmodzxzscm 49469	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩})
23	16, 17, 19, 22	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
24	15, 23	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ (2 ∙ 𝐴) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
25		zlmodzxzequa.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
26	25	oveq2i 7431	. . . . 5 ⊢ (3 ∙ 𝐵) = (3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
27		4z 12730	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
28	20, 21	zlmodzxzscm 49469	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩})
29	17, 16, 27, 28	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ (3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}
30	26, 29	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ (3 ∙ 𝐵) = {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}
31	24, 30	oveq12i 7432	. . 3 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) − (3 ∙ 𝐵)) = ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} − {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩})
32		zmulcl 12745	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 · 3) ∈ ℤ)
33	16, 17, 32	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (2 · 3) ∈ ℤ
34		zmulcl 12745	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 · 2) ∈ ℤ)
35	17, 16, 34	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (3 · 2) ∈ ℤ
36		zmulcl 12745	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 · 6) ∈ ℤ)
37	16, 19, 36	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (2 · 6) ∈ ℤ
38		zmulcl 12745	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (3 · 4) ∈ ℤ)
39	17, 27, 38	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (3 · 4) ∈ ℤ
40		zlmodzxzequa.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑍)
41	20, 40	zlmodzxzsub 49472	. . . 4 ⊢ ((((2 · 3) ∈ ℤ ∧ (3 · 2) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 6) ∈ ℤ ∧ (3 · 4) ∈ ℤ)) → ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} − {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩})
42	33, 35, 37, 39, 41	mp4an 706	. . 3 ⊢ ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} − {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩}
43	31, 42	eqtri 2783	. 2 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) − (3 ∙ 𝐵)) = {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩}
44		zlmodzxzequa.o	. 2 ⊢ 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
45	13, 43, 44	3eqtr4i 2793	1 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) − (3 ∙ 𝐵)) = 0

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cpr 4585  ⟨cop 4589  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   − cmin 11541  2c2 12397  3c3 12398  4c4 12399  6c6 12401  ℤcz 12693   ·_𝑠 cvsca 17432  -_gcsg 19146  ℤ_ringczring 21752   freeLMod cfrlm 22052

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-cnfld 21679  df-zring 21753  df-dsmm 22038  df-frlm 22053

This theorem is used by: (None)