Theorem zlmodzxzequa 47131

Description: Example of an equation within the ℤ-module ℤ × ℤ (see example in [Roman] p. 112 for a linearly dependent set). (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzequa.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzequa.o	⊢ 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
zlmodzxzequa.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)
zlmodzxzequa.m	⊢ − = (-g‘𝑍)
zlmodzxzequa.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzequa.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzequa	⊢ ((2 ∙ 𝐴) − (3 ∙ 𝐵)) = 0

Proof of Theorem zlmodzxzequa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12290	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
2	1	2timesi 12347	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 3) = (3 + 3)
3		3p3e6 12361	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
4	2, 3	eqtri 2761	. . . . . 6 ⊢ (2 · 3) = 6
5		3t2e6 12375	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
6	4, 5	oveq12i 7418	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) − (3 · 2)) = (6 − 6)
7		6cn 12300	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8	7	subidi 11528	. . . . 5 ⊢ (6 − 6) = 0
9	6, 8	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) − (3 · 2)) = 0
10	9	opeq2i 4877	. . 3 ⊢ ⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩ = ⟨0, 0⟩
11		2t6m3t4e0 46978	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) − (3 · 4)) = 0
12	11	opeq2i 4877	. . 3 ⊢ ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩ = ⟨1, 0⟩
13	10, 12	preq12i 4742	. 2 ⊢ {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
14		zlmodzxzequa.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
15	14	oveq2i 7417	. . . . 5 ⊢ (2 ∙ 𝐴) = (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
16		2z 12591	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
17		3z 12592	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
18		6nn 12298	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
19	18	nnzi 12583	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℤ
20		zlmodzxzequa.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
21		zlmodzxzequa.t	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)
22	20, 21	zlmodzxzscm 46987	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩})
23	16, 17, 19, 22	mp3an 1462	. . . . 5 ⊢ (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
24	15, 23	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ (2 ∙ 𝐴) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
25		zlmodzxzequa.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
26	25	oveq2i 7417	. . . . 5 ⊢ (3 ∙ 𝐵) = (3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
27		4z 12593	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
28	20, 21	zlmodzxzscm 46987	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩})
29	17, 16, 27, 28	mp3an 1462	. . . . 5 ⊢ (3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}
30	26, 29	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ (3 ∙ 𝐵) = {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}
31	24, 30	oveq12i 7418	. . 3 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) − (3 ∙ 𝐵)) = ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} − {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩})
32		zmulcl 12608	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 · 3) ∈ ℤ)
33	16, 17, 32	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (2 · 3) ∈ ℤ
34		zmulcl 12608	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 · 2) ∈ ℤ)
35	17, 16, 34	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (3 · 2) ∈ ℤ
36		zmulcl 12608	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 · 6) ∈ ℤ)
37	16, 19, 36	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (2 · 6) ∈ ℤ
38		zmulcl 12608	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (3 · 4) ∈ ℤ)
39	17, 27, 38	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (3 · 4) ∈ ℤ
40		zlmodzxzequa.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑍)
41	20, 40	zlmodzxzsub 46990	. . . 4 ⊢ ((((2 · 3) ∈ ℤ ∧ (3 · 2) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 6) ∈ ℤ ∧ (3 · 4) ∈ ℤ)) → ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} − {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩})
42	33, 35, 37, 39, 41	mp4an 692	. . 3 ⊢ ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} − {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩}
43	31, 42	eqtri 2761	. 2 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) − (3 ∙ 𝐵)) = {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩}
44		zlmodzxzequa.o	. 2 ⊢ 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
45	13, 43, 44	3eqtr4i 2771	1 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) − (3 ∙ 𝐵)) = 0

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cpr 4630  ⟨cop 4634  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112   − cmin 11441  2c2 12264  3c3 12265  4c4 12266  6c6 12268  ℤcz 12555   ·_𝑠 cvsca 17198  -_gcsg 18818  ℤ_ringczring 21010   freeLMod cfrlm 21293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-addf 11186  ax-mulf 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-0g 17384  df-prds 17390  df-pws 17392  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-subg 18998  df-cmn 19645  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-cring 20053  df-subrg 20354  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-sra 20778  df-rgmod 20779  df-cnfld 20938  df-zring 21011  df-dsmm 21279  df-frlm 21294

This theorem is referenced by: (None)