Theorem zlmodzxzequa 49221

Description: Example of an equation within the ℤ-module ℤ × ℤ (see example in [Roman] p. 112 for a linearly dependent set). (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzequa.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzequa.o	⊢ 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
zlmodzxzequa.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)
zlmodzxzequa.m	⊢ − = (-g‘𝑍)
zlmodzxzequa.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzequa.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzequa	⊢ ((2 ∙ 𝐴) − (3 ∙ 𝐵)) = 0

Proof of Theorem zlmodzxzequa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12321	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
2	1	2timesi 12377	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 3) = (3 + 3)
3		3p3e6 12391	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
4	2, 3	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ (2 · 3) = 6
5		3t2e6 12405	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
6	4, 5	oveq12i 7422	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) − (3 · 2)) = (6 − 6)
7		6cn 12331	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8	7	subidi 11528	. . . . 5 ⊢ (6 − 6) = 0
9	6, 8	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) − (3 · 2)) = 0
10	9	opeq2i 4841	. . 3 ⊢ ⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩ = ⟨0, 0⟩
11		2t6m3t4e0 49073	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) − (3 · 4)) = 0
12	11	opeq2i 4841	. . 3 ⊢ ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩ = ⟨1, 0⟩
13	10, 12	preq12i 4703	. 2 ⊢ {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
14		zlmodzxzequa.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
15	14	oveq2i 7421	. . . . 5 ⊢ (2 ∙ 𝐴) = (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
16		2z 12625	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
17		3z 12626	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
18		6nn 12329	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
19	18	nnzi 12617	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℤ
20		zlmodzxzequa.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
21		zlmodzxzequa.t	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)
22	20, 21	zlmodzxzscm 49082	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩})
23	16, 17, 19, 22	mp3an 1488	. . . . 5 ⊢ (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
24	15, 23	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ (2 ∙ 𝐴) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
25		zlmodzxzequa.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
26	25	oveq2i 7421	. . . . 5 ⊢ (3 ∙ 𝐵) = (3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
27		4z 12627	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
28	20, 21	zlmodzxzscm 49082	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩})
29	17, 16, 27, 28	mp3an 1488	. . . . 5 ⊢ (3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}
30	26, 29	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ (3 ∙ 𝐵) = {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}
31	24, 30	oveq12i 7422	. . 3 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) − (3 ∙ 𝐵)) = ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} − {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩})
32		zmulcl 12642	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 · 3) ∈ ℤ)
33	16, 17, 32	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (2 · 3) ∈ ℤ
34		zmulcl 12642	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 · 2) ∈ ℤ)
35	17, 16, 34	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (3 · 2) ∈ ℤ
36		zmulcl 12642	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 · 6) ∈ ℤ)
37	16, 19, 36	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (2 · 6) ∈ ℤ
38		zmulcl 12642	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (3 · 4) ∈ ℤ)
39	17, 27, 38	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (3 · 4) ∈ ℤ
40		zlmodzxzequa.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑍)
41	20, 40	zlmodzxzsub 49085	. . . 4 ⊢ ((((2 · 3) ∈ ℤ ∧ (3 · 2) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 6) ∈ ℤ ∧ (3 · 4) ∈ ℤ)) → ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} − {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩})
42	33, 35, 37, 39, 41	mp4an 705	. . 3 ⊢ ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} − {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩}
43	31, 42	eqtri 2784	. 2 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) − (3 ∙ 𝐵)) = {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩}
44		zlmodzxzequa.o	. 2 ⊢ 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
45	13, 43, 44	3eqtr4i 2794	1 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) − (3 ∙ 𝐵)) = 0

Syntax hints:   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  {cpr 4590  ⟨cop 4594  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104   − cmin 11440  2c2 12294  3c3 12295  4c4 12296  6c6 12298  ℤcz 12590   ·_𝑠 cvsca 17313  -_gcsg 19001  ℤ_ringczring 21575   freeLMod cfrlm 21875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-addf 11178  ax-mulf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-0g 17493  df-prds 17499  df-pws 17501  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-subg 19188  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-sra 21273  df-rgmod 21274  df-cnfld 21502  df-zring 21576  df-dsmm 21861  df-frlm 21876

This theorem is referenced by: (None)