Theorem zlmodzxzequa 48489

Description: Example of an equation within the ℤ-module ℤ × ℤ (see example in [Roman] p. 112 for a linearly dependent set). (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzequa.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzequa.o	⊢ 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
zlmodzxzequa.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)
zlmodzxzequa.m	⊢ − = (-g‘𝑍)
zlmodzxzequa.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzequa.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzequa	⊢ ((2 ∙ 𝐴) − (3 ∙ 𝐵)) = 0

Proof of Theorem zlmodzxzequa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12274	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
2	1	2timesi 12326	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 3) = (3 + 3)
3		3p3e6 12340	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
4	2, 3	eqtri 2753	. . . . . 6 ⊢ (2 · 3) = 6
5		3t2e6 12354	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
6	4, 5	oveq12i 7402	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) − (3 · 2)) = (6 − 6)
7		6cn 12284	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8	7	subidi 11500	. . . . 5 ⊢ (6 − 6) = 0
9	6, 8	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) − (3 · 2)) = 0
10	9	opeq2i 4844	. . 3 ⊢ ⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩ = ⟨0, 0⟩
11		2t6m3t4e0 48340	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) − (3 · 4)) = 0
12	11	opeq2i 4844	. . 3 ⊢ ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩ = ⟨1, 0⟩
13	10, 12	preq12i 4705	. 2 ⊢ {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
14		zlmodzxzequa.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
15	14	oveq2i 7401	. . . . 5 ⊢ (2 ∙ 𝐴) = (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
16		2z 12572	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
17		3z 12573	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
18		6nn 12282	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
19	18	nnzi 12564	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℤ
20		zlmodzxzequa.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
21		zlmodzxzequa.t	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)
22	20, 21	zlmodzxzscm 48349	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩})
23	16, 17, 19, 22	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
24	15, 23	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ (2 ∙ 𝐴) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
25		zlmodzxzequa.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
26	25	oveq2i 7401	. . . . 5 ⊢ (3 ∙ 𝐵) = (3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
27		4z 12574	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
28	20, 21	zlmodzxzscm 48349	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩})
29	17, 16, 27, 28	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ (3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}
30	26, 29	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ (3 ∙ 𝐵) = {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}
31	24, 30	oveq12i 7402	. . 3 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) − (3 ∙ 𝐵)) = ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} − {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩})
32		zmulcl 12589	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 · 3) ∈ ℤ)
33	16, 17, 32	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (2 · 3) ∈ ℤ
34		zmulcl 12589	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 · 2) ∈ ℤ)
35	17, 16, 34	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (3 · 2) ∈ ℤ
36		zmulcl 12589	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 · 6) ∈ ℤ)
37	16, 19, 36	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (2 · 6) ∈ ℤ
38		zmulcl 12589	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (3 · 4) ∈ ℤ)
39	17, 27, 38	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (3 · 4) ∈ ℤ
40		zlmodzxzequa.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑍)
41	20, 40	zlmodzxzsub 48352	. . . 4 ⊢ ((((2 · 3) ∈ ℤ ∧ (3 · 2) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 6) ∈ ℤ ∧ (3 · 4) ∈ ℤ)) → ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} − {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩})
42	33, 35, 37, 39, 41	mp4an 693	. . 3 ⊢ ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} − {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩}
43	31, 42	eqtri 2753	. 2 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) − (3 ∙ 𝐵)) = {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩}
44		zlmodzxzequa.o	. 2 ⊢ 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
45	13, 43, 44	3eqtr4i 2763	1 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) − (3 ∙ 𝐵)) = 0

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cpr 4594  ⟨cop 4598  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11412  2c2 12248  3c3 12249  4c4 12250  6c6 12252  ℤcz 12536   ·_𝑠 cvsca 17231  -_gcsg 18874  ℤ_ringczring 21363   freeLMod cfrlm 21662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-cnfld 21272  df-zring 21364  df-dsmm 21648  df-frlm 21663

This theorem is referenced by: (None)