Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzequa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzequa 47265
Description: Example of an equation within the -module ℤ × ℤ (see example in [Roman] p. 112 for a linearly dependent set). (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzequa.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzequa.o 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
zlmodzxzequa.t = ( ·𝑠𝑍)
zlmodzxzequa.m = (-g𝑍)
zlmodzxzequa.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzequa.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzequa ((2 𝐴) (3 𝐵)) = 0

Proof of Theorem zlmodzxzequa
StepHypRef Expression
1 3cn 12298 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
212timesi 12355 . . . . . . 7 (2 · 3) = (3 + 3)
3 3p3e6 12369 . . . . . . 7 (3 + 3) = 6
42, 3eqtri 2759 . . . . . 6 (2 · 3) = 6
5 3t2e6 12383 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
64, 5oveq12i 7424 . . . . 5 ((2 · 3) − (3 · 2)) = (6 − 6)
7 6cn 12308 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
87subidi 11536 . . . . 5 (6 − 6) = 0
96, 8eqtri 2759 . . . 4 ((2 · 3) − (3 · 2)) = 0
109opeq2i 4877 . . 3 ⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩ = ⟨0, 0⟩
11 2t6m3t4e0 47113 . . . 4 ((2 · 6) − (3 · 4)) = 0
1211opeq2i 4877 . . 3 ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩ = ⟨1, 0⟩
1310, 12preq12i 4742 . 2 {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
14 zlmodzxzequa.a . . . . . 6 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
1514oveq2i 7423 . . . . 5 (2 𝐴) = (2 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
16 2z 12599 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
17 3z 12600 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
18 6nn 12306 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ
1918nnzi 12591 . . . . . 6 6 ∈ ℤ
20 zlmodzxzequa.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
21 zlmodzxzequa.t . . . . . . 7 = ( ·𝑠𝑍)
2220, 21zlmodzxzscm 47122 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩})
2316, 17, 19, 22mp3an 1460 . . . . 5 (2 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
2415, 23eqtri 2759 . . . 4 (2 𝐴) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
25 zlmodzxzequa.b . . . . . 6 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
2625oveq2i 7423 . . . . 5 (3 𝐵) = (3 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
27 4z 12601 . . . . . 6 4 ∈ ℤ
2820, 21zlmodzxzscm 47122 . . . . . 6 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (3 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩})
2917, 16, 27, 28mp3an 1460 . . . . 5 (3 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}
3026, 29eqtri 2759 . . . 4 (3 𝐵) = {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}
3124, 30oveq12i 7424 . . 3 ((2 𝐴) (3 𝐵)) = ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩})
32 zmulcl 12616 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 · 3) ∈ ℤ)
3316, 17, 32mp2an 689 . . . 4 (2 · 3) ∈ ℤ
34 zmulcl 12616 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 · 2) ∈ ℤ)
3517, 16, 34mp2an 689 . . . 4 (3 · 2) ∈ ℤ
36 zmulcl 12616 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 · 6) ∈ ℤ)
3716, 19, 36mp2an 689 . . . 4 (2 · 6) ∈ ℤ
38 zmulcl 12616 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (3 · 4) ∈ ℤ)
3917, 27, 38mp2an 689 . . . 4 (3 · 4) ∈ ℤ
40 zlmodzxzequa.m . . . . 5 = (-g𝑍)
4120, 40zlmodzxzsub 47125 . . . 4 ((((2 · 3) ∈ ℤ ∧ (3 · 2) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 6) ∈ ℤ ∧ (3 · 4) ∈ ℤ)) → ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩})
4233, 35, 37, 39, 41mp4an 690 . . 3 ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} {⟨0, (3 · 2)⟩, ⟨1, (3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩}
4331, 42eqtri 2759 . 2 ((2 𝐴) (3 𝐵)) = {⟨0, ((2 · 3) − (3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) − (3 · 4))⟩}
44 zlmodzxzequa.o . 2 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
4513, 43, 443eqtr4i 2769 1 ((2 𝐴) (3 𝐵)) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2105  {cpr 4630  cop 4634  cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   · cmul 11119  cmin 11449  2c2 12272  3c3 12273  4c4 12274  6c6 12276  cz 12563   ·𝑠 cvsca 17206  -gcsg 18858  ringczring 21218   freeLMod cfrlm 21521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-cnfld 21146  df-zring 21219  df-dsmm 21507  df-frlm 21522
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator