Theorem ondomen 10075

Description: If a set is dominated by an ordinal, then it is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ondomen	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)

Proof of Theorem ondomen

Dummy variables 𝑥 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5152	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ≼ 𝑥 ↔ 𝐵 ≼ 𝐴))
2	1	rspcev 3622	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐵 ≼ 𝑥)
3		ac10ct 10072	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐵 ≼ 𝑥 → ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
5		ween 10073	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom card ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
6	4, 5	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068   class class class wbr 5148   We wwe 5640  dom cdm 5689  Oncon0 6386   ≼ cdom 8982  cardccrd 9973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-en 8985  df-dom 8986  df-card 9977

This theorem is referenced by:  numdom  10076  alephnbtwn2  10110  alephsucdom  10117  fictb  10282  cfslb2n  10306  gchaleph2  10710  hargch  10711  inawinalem  10727  rankcf  10815  tskuni  10821  1stcrestlem  23476  2ndcctbss  23479  2ndcomap  23482  2ndcsep  23483  tx1stc  23674  tx2ndc  23675  met2ndci  24551  rn1st  45219