Theorem ondomen 10040

Description: If a set is dominated by an ordinal, then it is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ondomen	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)

Proof of Theorem ondomen

Dummy variables 𝑥 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5107	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ≼ 𝑥 ↔ 𝐵 ≼ 𝐴))
2	1	rspcev 3576	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐵 ≼ 𝑥)
3		ac10ct 10037	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐵 ≼ 𝑥 → ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
5		ween 10038	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom card ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
6	4, 5	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103   We wwe 5607  dom cdm 5655  Oncon0 6357   ≼ cdom 8950  cardccrd 9940

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-en 8953  df-dom 8954  df-card 9944

This theorem is used by:  numdom  10041  alephnbtwn2  10075  alephsucdom  10082  fictb  10246  cfslb2n  10270  dmct  10526  fimact  10539  fnct  10544  gchaleph2  10681  hargch  10682  inawinalem  10698  rankcf  10786  tskuni  10792  1stcrestlem  23677  2ndcctbss  23681  2ndcomap  23684  2ndcsep  23685  tx1stc  23876  tx2ndc  23877  met2ndci  24748  rn1st  46102  subsaliuncl  47186  smflimlem6  47604