Theorem ondomen 10120

Description: If a set is dominated by an ordinal, then it is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ondomen	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)

Proof of Theorem ondomen

Dummy variables 𝑥 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5106	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ≼ 𝑥 ↔ 𝐵 ≼ 𝐴))
2	1	rspcev 3576	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐵 ≼ 𝑥)
3		ac10ct 10117	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐵 ≼ 𝑥 → ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
5		ween 10118	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom card ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
6	4, 5	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102   We wwe 5602  dom cdm 5650  Oncon0 6362   ≼ cdom 8975  cardccrd 10020

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-en 8978  df-dom 8979  df-card 10024

This theorem is used by:  numdom  10121  alephnbtwn2  10155  alephsucdom  10162  fictb  10326  cfslb2n  10350  dmct  10606  fimact  10619  fnct  10624  gchaleph2  10761  hargch  10762  inawinalem  10778  rankcf  10866  tskuni  10872  1stcrestlem  23776  2ndcctbss  23780  2ndcomap  23783  2ndcsep  23784  tx1stc  23975  tx2ndc  23976  met2ndci  24847  rn1st  46379  subsaliuncl  47462  smflimlem6  47880