Theorem ondomen 9724

Description: If a set is dominated by an ordinal, then it is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ondomen	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)

Proof of Theorem ondomen

Dummy variables 𝑥 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5074	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ≼ 𝑥 ↔ 𝐵 ≼ 𝐴))
2	1	rspcev 3552	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐵 ≼ 𝑥)
3		ac10ct 9721	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐵 ≼ 𝑥 → ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
5		ween 9722	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom card ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
6	4, 5	sylibr 233	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070   We wwe 5534  dom cdm 5580  Oncon0 6251   ≼ cdom 8689  cardccrd 9624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-en 8692  df-dom 8693  df-card 9628

This theorem is referenced by:  numdom  9725  alephnbtwn2  9759  alephsucdom  9766  fictb  9932  cfslb2n  9955  gchaleph2  10359  hargch  10360  inawinalem  10376  rankcf  10464  tskuni  10470  1stcrestlem  22511  2ndcctbss  22514  2ndcomap  22517  2ndcsep  22518  tx1stc  22709  tx2ndc  22710  met2ndci  23584