Theorem ondomen 10106

Description: If a set is dominated by an ordinal, then it is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ondomen	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)

Proof of Theorem ondomen

Dummy variables 𝑥 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5170	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ≼ 𝑥 ↔ 𝐵 ≼ 𝐴))
2	1	rspcev 3635	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐵 ≼ 𝑥)
3		ac10ct 10103	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐵 ≼ 𝑥 → ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
5		ween 10104	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom card ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
6	4, 5	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166   We wwe 5651  dom cdm 5700  Oncon0 6395   ≼ cdom 9001  cardccrd 10004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-en 9004  df-dom 9005  df-card 10008

This theorem is referenced by:  numdom  10107  alephnbtwn2  10141  alephsucdom  10148  fictb  10313  cfslb2n  10337  gchaleph2  10741  hargch  10742  inawinalem  10758  rankcf  10846  tskuni  10852  1stcrestlem  23481  2ndcctbss  23484  2ndcomap  23487  2ndcsep  23488  tx1stc  23679  tx2ndc  23680  met2ndci  24556  rn1st  45183