MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ondomen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ondomen 9448
Description: If a set is dominated by an ordinal, then it is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
ondomen ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)

Proof of Theorem ondomen
Dummy variables 𝑥 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5034 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝐵𝑥𝐵𝐴))
21rspcev 3571 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐵𝑥)
3 ac10ct 9445 . . 3 (∃𝑥 ∈ On 𝐵𝑥 → ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
42, 3syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
5 ween 9446 . 2 (𝐵 ∈ dom card ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
64, 5sylibr 237 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wex 1781  wcel 2111  wrex 3107   class class class wbr 5030   We wwe 5477  dom cdm 5519  Oncon0 6159  cdom 8490  cardccrd 9348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-en 8493  df-dom 8494  df-card 9352
This theorem is referenced by:  numdom  9449  alephnbtwn2  9483  alephsucdom  9490  fictb  9656  cfslb2n  9679  gchaleph2  10083  hargch  10084  inawinalem  10100  rankcf  10188  tskuni  10194  1stcrestlem  22057  2ndcctbss  22060  2ndcomap  22063  2ndcsep  22064  tx1stc  22255  tx2ndc  22256  met2ndci  23129
  Copyright terms: Public domain W3C validator