Theorem ac6mapd 32624

Description: Axiom of choice equivalent, deduction form. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6mapd.1	⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜓 ↔ 𝜒))
ac6mapd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ac6mapd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
ac6mapd.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
ac6mapd	⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴)∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦   𝜒,𝑦   𝜑,𝑓,𝑥   𝜓,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦)   𝜒(𝑥,𝑓)   𝐴(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑓)

Proof of Theorem ac6mapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6mapd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		ac6mapd.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓)
3	2	ralrimiva 3145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓)
4		ac6mapd.1	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜓 ↔ 𝜒))
5	4	ac6sg 10524	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)))
6	1, 3, 5	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))
7		ac6mapd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
8	7, 1	elmapd 8876	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶𝐵))
9	8	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴)))
10	9	anim1d 611	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)))
11	10	eximdv 1917	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒) → ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)))
12	6, 11	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))
13		df-rex 3070	. 2 ⊢ (∃𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴)∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒 ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))
14	12, 13	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴)∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  ⟶wf 6555  ‘cfv 6559  (class class class)co 7429   ↑_m cmap 8862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-reg 9628  ax-inf2 9677  ax-ac2 10499

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-isom 6568  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-map 8864  df-en 8982  df-r1 9800  df-rank 9801  df-card 9975  df-ac 10152

This theorem is referenced by:  elrgspnsubrunlem2  33240  fldextrspunlsplem  33708