Theorem ac6mapd 33083

Description: Axiom of choice equivalent, deduction form. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6mapd.1	⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜓 ↔ 𝜒))
ac6mapd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ac6mapd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
ac6mapd.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
ac6mapd	⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴)∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦   𝜒,𝑦   𝜑,𝑓,𝑥   𝜓,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑥, 𝑦)   𝜒(𝑥, 𝑓)   𝐴(𝑦)   𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑓)   𝑊(𝑥, 𝑦, 𝑓)

Proof of Theorem ac6mapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6mapd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		ac6mapd.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓)
3	2	ralrimiva 3156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓)
4		ac6mapd.1	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜓 ↔ 𝜒))
5	4	ac6sg 10493	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)))
6	1, 3, 5	sylc 66	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))
7		ac6mapd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
8	7, 1	elmapd 8842	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶𝐵))
9	8	biimprd 251	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴)))
10	9	anim1d 623	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)))
11	10	eximdv 1950	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒) → ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)))
12	6, 11	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))
13		df-rex 3089	. 2 ⊢ (∃𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴)∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒 ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))
14	12, 13	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴)∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-reg 9567  ax-inf2 9623  ax-ac2 10468

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-map 8831  df-en 8956  df-r1 9749  df-rank 9750  df-scott 9871  df-card 9947  df-ac 10122

This theorem is used by:  elrgspnsubrunlem2  33675  fldextrspunlsplem  34170