Theorem ac6mapd 32558

Description: Axiom of choice equivalent, deduction form. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6mapd.1	⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜓 ↔ 𝜒))
ac6mapd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ac6mapd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
ac6mapd.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
ac6mapd	⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴)∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦   𝜒,𝑦   𝜑,𝑓,𝑥   𝜓,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦)   𝜒(𝑥,𝑓)   𝐴(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑓)

Proof of Theorem ac6mapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6mapd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		ac6mapd.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓)
3	2	ralrimiva 3121	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓)
4		ac6mapd.1	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜓 ↔ 𝜒))
5	4	ac6sg 10370	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)))
6	1, 3, 5	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))
7		ac6mapd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
8	7, 1	elmapd 8758	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶𝐵))
9	8	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴)))
10	9	anim1d 611	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)))
11	10	eximdv 1917	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒) → ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)))
12	6, 11	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))
13		df-rex 3054	. 2 ⊢ (∃𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴)∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒 ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))
14	12, 13	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴)∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340   ↑_m cmap 8744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-reg 9472  ax-inf2 9525  ax-ac2 10345

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-se 5567  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-map 8746  df-en 8864  df-r1 9648  df-rank 9649  df-card 9823  df-ac 9998

This theorem is referenced by:  elrgspnsubrunlem2  33183  fldextrspunlsplem  33654