Theorem ac6mapd 32701

Description: Axiom of choice equivalent, deduction form. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6mapd.1	⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜓 ↔ 𝜒))
ac6mapd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ac6mapd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
ac6mapd.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
ac6mapd	⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴)∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦   𝜒,𝑦   𝜑,𝑓,𝑥   𝜓,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦)   𝜒(𝑥,𝑓)   𝐴(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑓)

Proof of Theorem ac6mapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6mapd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		ac6mapd.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓)
3	2	ralrimiva 3128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓)
4		ac6mapd.1	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜓 ↔ 𝜒))
5	4	ac6sg 10398	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)))
6	1, 3, 5	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))
7		ac6mapd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
8	7, 1	elmapd 8777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶𝐵))
9	8	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴)))
10	9	anim1d 611	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)))
11	10	eximdv 1918	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒) → ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)))
12	6, 11	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))
13		df-rex 3061	. 2 ⊢ (∃𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴)∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒 ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))
14	12, 13	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴)∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-reg 9497  ax-inf2 9550  ax-ac2 10373

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-map 8765  df-en 8884  df-r1 9676  df-rank 9677  df-card 9851  df-ac 10026

This theorem is referenced by:  elrgspnsubrunlem2  33330  fldextrspunlsplem  33830