Theorem ac6mapd 33217

Description: Axiom of choice equivalent, deduction form. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6mapd.1	⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜓 ↔ 𝜒))
ac6mapd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ac6mapd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
ac6mapd.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
ac6mapd	⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴)∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦   𝜒,𝑦   𝜑,𝑓,𝑥   𝜓,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑥, 𝑦)   𝜒(𝑥, 𝑓)   𝐴(𝑦)   𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑓)   𝑊(𝑥, 𝑦, 𝑓)

Proof of Theorem ac6mapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6mapd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		ac6mapd.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓)
3	2	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓)
4		ac6mapd.1	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜓 ↔ 𝜒))
5	4	ac6sg 10566	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)))
6	1, 3, 5	sylc 66	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))
7		ac6mapd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
8	7, 1	elmapd 8860	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴⟶𝐵))
9	8	biimprd 251	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴)))
10	9	anim1d 623	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)))
11	10	eximdv 1949	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒) → ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)))
12	6, 11	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))
13		df-rex 3087	. 2 ⊢ (∃𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴)∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒 ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))
14	12, 13	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴)∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-reg 9586  ax-inf2 9642  ax-ac2 10541

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-map 8849  df-en 8974  df-r1 9768  df-rank 9769  df-scott 9929  df-card 10020  df-ac 10195

This theorem is used by:  elrgspnsubrunlem2  33809  fldextrspunlsplem  34305