Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ac6sf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ac6sf2 30534
Description: Alternate version of ac6 9980 with bound-variable hypothesis. (Contributed by NM, 2-Mar-2008.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6sf2.y 𝑦𝐵
ac6sf2.1 𝑦𝜓
ac6sf2.2 𝐴 ∈ V
ac6sf2.3 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
ac6sf2 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐴   𝑥,𝐵,𝑓   𝜑,𝑓   𝑥,𝑦,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem ac6sf2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ac6sf2.y . . . 4 𝑦𝐵
2 nfcv 2899 . . . 4 𝑧𝐵
3 nfv 1921 . . . 4 𝑧𝜑
4 nfs1v 2161 . . . 4 𝑦[𝑧 / 𝑦]𝜑
5 sbequ12 2253 . . . 4 (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ [𝑧 / 𝑦]𝜑))
61, 2, 3, 4, 5cbvrexfw 3337 . . 3 (∃𝑦𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑧𝐵 [𝑧 / 𝑦]𝜑)
76ralbii 3080 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥𝐴𝑧𝐵 [𝑧 / 𝑦]𝜑)
8 ac6sf2.2 . . 3 𝐴 ∈ V
9 ac6sf2.1 . . . 4 𝑦𝜓
10 ac6sf2.3 . . . 4 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
119, 10sbhypf 3456 . . 3 (𝑧 = (𝑓𝑥) → ([𝑧 / 𝑦]𝜑𝜓))
128, 11ac6s 9984 . 2 (∀𝑥𝐴𝑧𝐵 [𝑧 / 𝑦]𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
137, 12sylbi 220 1 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wex 1786  wnf 1790  [wsb 2074  wcel 2114  wnfc 2879  wral 3053  wrex 3054  Vcvv 3398  wf 6335  cfv 6339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-reg 9129  ax-inf2 9177  ax-ac2 9963
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-om 7600  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-en 8556  df-r1 9266  df-rank 9267  df-card 9441  df-ac 9616
This theorem is referenced by:  acunirnmpt2f  30573
  Copyright terms: Public domain W3C validator