Theorem ac6sf2 33314

Description: Alternate version of ac6 10597 with bound-variable hypothesis. (Contributed by NM, 2-Mar-2008.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6sf2.y	⊢ Ⅎ𝑦𝐵
ac6sf2.1	⊢ Ⅎ𝑦𝜓
ac6sf2.2	⊢ 𝐴 ∈ V
ac6sf2.3	⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ac6sf2	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐴   𝑥,𝐵,𝑓   𝜑,𝑓   𝑥,𝑦,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑓)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem ac6sf2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6sf2.y	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
2		nfcv 2926	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧𝐵
3		nfv 1949	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧𝜑
4		nfs1v 2196	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦[𝑧 / 𝑦]𝜑
5		sbequ12 2290	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ [𝑧 / 𝑦]𝜑))
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvrexfw 3307	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 [𝑧 / 𝑦]𝜑)
7	6	ralbii 3112	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 [𝑧 / 𝑦]𝜑)
8		ac6sf2.2	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
9		ac6sf2.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝜓
10		ac6sf2.3	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
11	9, 10	sbhypf 3513	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝑓‘𝑥) → ([𝑧 / 𝑦]𝜑 ↔ 𝜓))
12	8, 11	ac6s 10601	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 [𝑧 / 𝑦]𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
13	7, 12	sylbi 220	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812  Ⅎwnf 1816  [wsb 2101   ∈ wcel 2147  Ⅎwnfc 2911  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-reg 9623  ax-inf2 9679  ax-ac2 10580

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-en 9012  df-r1 9805  df-rank 9806  df-scott 9966  df-card 10057  df-ac 10234

This theorem is used by: (None)