Theorem add20 11775

Description: Two nonnegative numbers are zero iff their sum is zero. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
add20	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))

Proof of Theorem add20

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 + 𝐵) = 0) → 0 ≤ 𝐴)
2		simplrl 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 + 𝐵) = 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		simplll 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 + 𝐵) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		addge02 11774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 + 𝐵) = 0) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 + 𝐵) = 0) → 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵))
7		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 + 𝐵) = 0) → (𝐴 + 𝐵) = 0)
8	6, 7	breqtrd 5169	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 + 𝐵) = 0) → 𝐵 ≤ 0)
9		simplrr 778	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 + 𝐵) = 0) → 0 ≤ 𝐵)
10		0red 11264	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 + 𝐵) = 0) → 0 ∈ ℝ)
11	2, 10	letri3d 11403	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 + 𝐵) = 0) → (𝐵 = 0 ↔ (𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
12	8, 9, 11	mpbir2and 713	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 + 𝐵) = 0) → 𝐵 = 0)
13	12	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 + 𝐵) = 0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 0))
14	3	recnd 11289	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 + 𝐵) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14	addridd 11461	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 + 𝐵) = 0) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
16	13, 7, 15	3eqtr3rd 2786	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 + 𝐵) = 0) → 𝐴 = 0)
17	16, 12	jca 511	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ (𝐴 + 𝐵) = 0) → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
18	17	ex 412	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) = 0 → (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
19		oveq12 7440	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 + 𝐵) = (0 + 0))
20		00id 11436	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
21	19, 20	eqtrdi 2793	. 2 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 + 𝐵) = 0)
22	18, 21	impbid1 225	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   ≤ cle 11296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301

This theorem is referenced by:  add20i  11806  xnn0xadd0  13289  sumsqeq0  14218  ccat0  14614  4sqlem15  16997  4sqlem16  16998  ang180lem2  26853  mumullem2  27223  2sqlem7  27468  ply1unit  33600  poimirlem23  37650