Theorem ply1unit 33635

Description: In a field 𝐹, a polynomial 𝐶 is a unit iff it has degree 0. This corresponds to the nonzero scalars, see ply1asclunit 33634. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1asclunit.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐹)
ply1asclunit.2	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1asclunit.3	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
ply1asclunit.4	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
ply1asclunit.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
ply1unit.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐹)
ply1unit.f	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
ply1unit	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (Unit‘𝑃) ↔ (𝐷‘𝐶) = 0))

Proof of Theorem ply1unit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1asclunit.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
2	1	fldcrngd 20719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ CRing)
3	2	crngringd 20227	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝐹 ∈ Ring)
5		ply1asclunit.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐹)
6	5	ply1ring 22211	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
7	3, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
8		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝑃) = (Unit‘𝑃)
9		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (invr‘𝑃) = (invr‘𝑃)
10	8, 9	unitinvcl 20370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Unit‘𝑃))
11	7, 10	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Unit‘𝑃))
12		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13	12, 8	unitcl 20355	. . . . . . 7 ⊢ (((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Unit‘𝑃) → ((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Base‘𝑃))
14	11, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Base‘𝑃))
15		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
16	1	flddrngd 20718	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
17		drngnzr 20725	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ NzRing)
18	5	ply1nz 26087	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ NzRing)
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝑃 ∈ NzRing)
21	8, 15, 20, 11	unitnz 33300	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((invr‘𝑃)‘𝐶) ≠ (0g‘𝑃))
22		ply1unit.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐹)
23	22, 5, 15, 12	deg1nn0cl 26053	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((invr‘𝑃)‘𝐶) ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℕ0)
24	4, 14, 21, 23	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℕ0)
25	24	nn0red 12499	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℝ)
26	24	nn0ge0d 12501	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 0 ≤ (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)))
27	25, 26	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))))
28		ply1unit.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝑃))
29	28	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝐶 ∈ (Base‘𝑃))
30		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃))
31	8, 15, 20, 30	unitnz 33300	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝐶 ≠ (0g‘𝑃))
32	22, 5, 15, 12	deg1nn0cl 26053	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐷‘𝐶) ∈ ℕ0)
33	4, 29, 31, 32	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘𝐶) ∈ ℕ0)
34	33	nn0red 12499	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘𝐶) ∈ ℝ)
35	33	nn0ge0d 12501	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 0 ≤ (𝐷‘𝐶))
36		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
37		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
38	8, 9, 36, 37	unitlinv 20373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (((invr‘𝑃)‘𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) = (1r‘𝑃))
39	7, 38	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (((invr‘𝑃)‘𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) = (1r‘𝑃))
40	39	fveq2d 6844	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘(((invr‘𝑃)‘𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) = (𝐷‘(1r‘𝑃)))
41		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (RLReg‘𝐹) = (RLReg‘𝐹)
42		drngdomn 20726	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Domn)
43	16, 42	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Domn)
44	43	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝐹 ∈ Domn)
45		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) = (coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))
46		ply1asclunit.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
47	45, 12, 5, 46	coe1fvalcl 22176	. . . . . . 7 ⊢ ((((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℕ0) → ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∈ 𝐵)
48	14, 24, 47	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∈ 𝐵)
49		ply1asclunit.4	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
50	22, 5, 15, 12, 49, 45	deg1ldg 26057	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((invr‘𝑃)‘𝐶) ≠ (0g‘𝑃)) → ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ≠ 0 )
51	4, 14, 21, 50	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ≠ 0 )
52	46, 41, 49	domnrrg 20690	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Domn ∧ ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∈ 𝐵 ∧ ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ≠ 0 ) → ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∈ (RLReg‘𝐹))
53	44, 48, 51, 52	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∈ (RLReg‘𝐹))
54	22, 5, 41, 12, 36, 15, 4, 14, 21, 53, 29, 31	deg1mul2 26079	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘(((invr‘𝑃)‘𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) = ((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) + (𝐷‘𝐶)))
55		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Monic1p‘𝐹) = (Monic1p‘𝐹)
56	5, 37, 55, 22	mon1pid 26119	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ NzRing → ((1r‘𝑃) ∈ (Monic1p‘𝐹) ∧ (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0))
57	56	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ NzRing → (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0)
58	16, 17, 57	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0)
59	58	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0)
60	40, 54, 59	3eqtr3d 2779	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) + (𝐷‘𝐶)) = 0)
61		add20 11662	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∧ ((𝐷‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷‘𝐶))) → (((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) + (𝐷‘𝐶)) = 0 ↔ ((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) = 0 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0)))
62	61	anassrs 467	. . . 4 ⊢ (((((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∧ (𝐷‘𝐶) ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐷‘𝐶)) → (((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) + (𝐷‘𝐶)) = 0 ↔ ((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) = 0 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0)))
63	62	simplbda 499	. . 3 ⊢ ((((((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∧ (𝐷‘𝐶) ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐷‘𝐶)) ∧ ((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) + (𝐷‘𝐶)) = 0) → (𝐷‘𝐶) = 0)
64	27, 34, 35, 60, 63	syl1111anc 841	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘𝐶) = 0)
65	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝐹 ∈ Ring)
66	28	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝐶 ∈ (Base‘𝑃))
67	22, 5, 12	deg1xrcl 26047	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (Base‘𝑃) → (𝐷‘𝐶) ∈ ℝ*)
68	28, 67	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐶) ∈ ℝ*)
69		0xr 11192	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
70		xeqlelt 32849	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐶) = 0 ↔ ((𝐷‘𝐶) ≤ 0 ∧ ¬ (𝐷‘𝐶) < 0)))
71	68, 69, 70	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐶) = 0 ↔ ((𝐷‘𝐶) ≤ 0 ∧ ¬ (𝐷‘𝐶) < 0)))
72	71	simprbda 498	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → (𝐷‘𝐶) ≤ 0)
73		ply1asclunit.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
74	22, 5, 12, 73	deg1le0 26076	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝐷‘𝐶) ≤ 0 ↔ 𝐶 = (𝐴‘((coe1‘𝐶)‘0))))
75	74	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) → 𝐶 = (𝐴‘((coe1‘𝐶)‘0)))
76	65, 66, 72, 75	syl21anc 838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝐶 = (𝐴‘((coe1‘𝐶)‘0)))
77	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝐹 ∈ Field)
78		0nn0 12452	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
79		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘𝐶) = (coe1‘𝐶)
80	79, 12, 5, 46	coe1fvalcl 22176	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐶)‘0) ∈ 𝐵)
81	66, 78, 80	sylancl 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → ((coe1‘𝐶)‘0) ∈ 𝐵)
82		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝜑)
83	71	simplbda 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → ¬ (𝐷‘𝐶) < 0)
84	22, 5, 15, 12	deg1lt0 26056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝐷‘𝐶) < 0 ↔ 𝐶 = (0g‘𝑃)))
85	84	necon3bbid 2969	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑃)) → (¬ (𝐷‘𝐶) < 0 ↔ 𝐶 ≠ (0g‘𝑃)))
86	85	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ ¬ (𝐷‘𝐶) < 0) → 𝐶 ≠ (0g‘𝑃))
87	65, 66, 83, 86	syl21anc 838	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝐶 ≠ (0g‘𝑃))
88	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) → 𝐹 ∈ Ring)
89	28	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) → 𝐶 ∈ (Base‘𝑃))
90		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) → (𝐷‘𝐶) ≤ 0)
91	22, 5, 49, 12, 15, 88, 89, 90	deg1le0eq0 33633	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) → (𝐶 = (0g‘𝑃) ↔ ((coe1‘𝐶)‘0) = 0 ))
92	91	necon3bid 2976	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) → (𝐶 ≠ (0g‘𝑃) ↔ ((coe1‘𝐶)‘0) ≠ 0 ))
93	92	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑃)) → ((coe1‘𝐶)‘0) ≠ 0 )
94	82, 72, 87, 93	syl21anc 838	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → ((coe1‘𝐶)‘0) ≠ 0 )
95	5, 73, 46, 49, 77, 81, 94	ply1asclunit 33634	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → (𝐴‘((coe1‘𝐶)‘0)) ∈ (Unit‘𝑃))
96	76, 95	eqeltrd 2836	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃))
97	64, 96	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (Unit‘𝑃) ↔ (𝐷‘𝐶) = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038   + caddc 11041  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180  ℕ₀cn0 12437  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  Unitcui 20335  inv_rcinvr 20367  NzRingcnzr 20489  RLRegcrlreg 20668  Domncdomn 20669  DivRingcdr 20706  Fieldcfield 20707  algSccascl 21832  Poly₁cpl1 22140  coe₁cco1 22141  deg₁cdg1 26019  Monic_1pcmn1 26091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-rhm 20452  df-nzr 20490  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-rlreg 20671  df-domn 20672  df-drng 20708  df-field 20709  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-cnfld 21353  df-assa 21833  df-ascl 21835  df-psr 21889  df-mvr 21890  df-mpl 21891  df-opsr 21893  df-psr1 22143  df-vr1 22144  df-ply1 22145  df-coe1 22146  df-mdeg 26020  df-deg1 26021  df-mon1 26096

This theorem is referenced by:  ply1dg3rt0irred  33644  m1pmeq  33645