Theorem ply1unit 34210

Description: In a field 𝐹, a polynomial 𝐶 is a unit iff it has degree 0. This corresponds to the nonzero scalars, see ply1asclunit 34209. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1asclunit.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐹)
ply1asclunit.2	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1asclunit.3	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
ply1asclunit.4	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
ply1asclunit.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
ply1unit.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐹)
ply1unit.f	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
ply1unit	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (Unit‘𝑃) ↔ (𝐷‘𝐶) = 0))

Proof of Theorem ply1unit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1asclunit.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
2	1	fldcrngd 21046	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ CRing)
3	2	crngringd 20524	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
4	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝐹 ∈ Ring)
5		ply1asclunit.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐹)
6	5	ply1ring 22620	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
7	3, 6	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
8		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝑃) = (Unit‘𝑃)
9		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (invr‘𝑃) = (invr‘𝑃)
10	8, 9	unitinvcl 20671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Unit‘𝑃))
11	7, 10	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Unit‘𝑃))
12		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13	12, 8	unitcl 20656	. . . . . . 7 ⊢ (((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Unit‘𝑃) → ((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Base‘𝑃))
14	11, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Base‘𝑃))
15		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
16	1	flddrngd 21045	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
17		drngnzr 21053	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ NzRing)
18	5	ply1nz 26495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
19	16, 17, 18	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ NzRing)
20	19	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝑃 ∈ NzRing)
21	8, 15, 20, 11	unitnz 33898	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((invr‘𝑃)‘𝐶) ≠ (0g‘𝑃))
22		ply1unit.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐹)
23	22, 5, 15, 12	deg1nn0cl 26461	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((invr‘𝑃)‘𝐶) ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℕ0)
24	4, 14, 21, 23	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℕ0)
25	24	nn0red 12708	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℝ)
26	24	nn0ge0d 12710	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 0 ≤ (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)))
27	25, 26	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))))
28		ply1unit.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝑃))
29	28	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝐶 ∈ (Base‘𝑃))
30		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃))
31	8, 15, 20, 30	unitnz 33898	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝐶 ≠ (0g‘𝑃))
32	22, 5, 15, 12	deg1nn0cl 26461	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐷‘𝐶) ∈ ℕ0)
33	4, 29, 31, 32	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘𝐶) ∈ ℕ0)
34	33	nn0red 12708	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘𝐶) ∈ ℝ)
35	33	nn0ge0d 12710	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 0 ≤ (𝐷‘𝐶))
36		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
37		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
38	8, 9, 36, 37	unitlinv 20674	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (((invr‘𝑃)‘𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) = (1r‘𝑃))
39	7, 38	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (((invr‘𝑃)‘𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) = (1r‘𝑃))
40	39	fveq2d 6920	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘(((invr‘𝑃)‘𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) = (𝐷‘(1r‘𝑃)))
41		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (RLReg‘𝐹) = (RLReg‘𝐹)
42		drngdomn 21054	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Domn)
43	16, 42	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Domn)
44	43	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝐹 ∈ Domn)
45		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) = (coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))
46		ply1asclunit.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
47	45, 12, 5, 46	coe1fvalcl 22585	. . . . . . 7 ⊢ ((((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℕ0) → ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∈ 𝐵)
48	14, 24, 47	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∈ 𝐵)
49		ply1asclunit.4	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
50	22, 5, 15, 12, 49, 45	deg1ldg 26465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((invr‘𝑃)‘𝐶) ≠ (0g‘𝑃)) → ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ≠ 0 )
51	4, 14, 21, 50	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ≠ 0 )
52	46, 41, 49	domnrrg 21015	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Domn ∧ ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∈ 𝐵 ∧ ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ≠ 0 ) → ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∈ (RLReg‘𝐹))
53	44, 48, 51, 52	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∈ (RLReg‘𝐹))
54	22, 5, 41, 12, 36, 15, 4, 14, 21, 53, 29, 31	deg1mul2 26487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘(((invr‘𝑃)‘𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) = ((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) + (𝐷‘𝐶)))
55		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Monic1p‘𝐹) = (Monic1p‘𝐹)
56	5, 37, 55, 22	mon1pid 26527	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ NzRing → ((1r‘𝑃) ∈ (Monic1p‘𝐹) ∧ (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0))
57	56	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ NzRing → (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0)
58	16, 17, 57	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0)
59	58	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0)
60	40, 54, 59	3eqtr3d 2806	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) + (𝐷‘𝐶)) = 0)
61		add20 11868	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∧ ((𝐷‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷‘𝐶))) → (((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) + (𝐷‘𝐶)) = 0 ↔ ((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) = 0 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0)))
62	61	anassrs 473	. . . 4 ⊢ (((((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∧ (𝐷‘𝐶) ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐷‘𝐶)) → (((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) + (𝐷‘𝐶)) = 0 ↔ ((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) = 0 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0)))
63	62	simplbda 505	. . 3 ⊢ ((((((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∧ (𝐷‘𝐶) ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐷‘𝐶)) ∧ ((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) + (𝐷‘𝐶)) = 0) → (𝐷‘𝐶) = 0)
64	27, 34, 35, 60, 63	syl1111anc 854	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘𝐶) = 0)
65	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝐹 ∈ Ring)
66	28	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝐶 ∈ (Base‘𝑃))
67	22, 5, 12	deg1xrcl 26455	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (Base‘𝑃) → (𝐷‘𝐶) ∈ ℝ*)
68	28, 67	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐶) ∈ ℝ*)
69		0xr 11395	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
70		xeqlelt 33464	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐶) = 0 ↔ ((𝐷‘𝐶) ≤ 0 ∧ ¬ (𝐷‘𝐶) < 0)))
71	68, 69, 70	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐶) = 0 ↔ ((𝐷‘𝐶) ≤ 0 ∧ ¬ (𝐷‘𝐶) < 0)))
72	71	simprbda 504	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → (𝐷‘𝐶) ≤ 0)
73		ply1asclunit.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
74	22, 5, 12, 73	deg1le0 26484	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝐷‘𝐶) ≤ 0 ↔ 𝐶 = (𝐴‘((coe1‘𝐶)‘0))))
75	74	biimpa 482	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) → 𝐶 = (𝐴‘((coe1‘𝐶)‘0)))
76	65, 66, 72, 75	syl21anc 851	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝐶 = (𝐴‘((coe1‘𝐶)‘0)))
77	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝐹 ∈ Field)
78		0nn0 12661	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
79		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘𝐶) = (coe1‘𝐶)
80	79, 12, 5, 46	coe1fvalcl 22585	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐶)‘0) ∈ 𝐵)
81	66, 78, 80	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → ((coe1‘𝐶)‘0) ∈ 𝐵)
82		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝜑)
83	71	simplbda 505	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → ¬ (𝐷‘𝐶) < 0)
84	22, 5, 15, 12	deg1lt0 26464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝐷‘𝐶) < 0 ↔ 𝐶 = (0g‘𝑃)))
85	84	necon3bbid 2996	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑃)) → (¬ (𝐷‘𝐶) < 0 ↔ 𝐶 ≠ (0g‘𝑃)))
86	85	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ ¬ (𝐷‘𝐶) < 0) → 𝐶 ≠ (0g‘𝑃))
87	65, 66, 83, 86	syl21anc 851	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝐶 ≠ (0g‘𝑃))
88	3	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) → 𝐹 ∈ Ring)
89	28	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) → 𝐶 ∈ (Base‘𝑃))
90		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) → (𝐷‘𝐶) ≤ 0)
91	22, 5, 49, 12, 15, 88, 89, 90	deg1le0eq0 34208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) → (𝐶 = (0g‘𝑃) ↔ ((coe1‘𝐶)‘0) = 0 ))
92	91	necon3bid 3003	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) → (𝐶 ≠ (0g‘𝑃) ↔ ((coe1‘𝐶)‘0) ≠ 0 ))
93	92	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑃)) → ((coe1‘𝐶)‘0) ≠ 0 )
94	82, 72, 87, 93	syl21anc 851	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → ((coe1‘𝐶)‘0) ≠ 0 )
95	5, 73, 46, 49, 77, 81, 94	ply1asclunit 34209	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → (𝐴‘((coe1‘𝐶)‘0)) ∈ (Unit‘𝑃))
96	76, 95	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃))
97	64, 96	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (Unit‘𝑃) ↔ (𝐷‘𝐶) = 0))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239   + caddc 11242  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ≤ cle 11383  ℕ₀cn0 12646  Basecbs 17431  ._rcmulr 17473  0_gc0g 17660  1_rcur 20458  Ringcrg 20510  Unitcui 20636  inv_rcinvr 20668  NzRingcnzr 20813  RLRegcrlreg 20994  Domncdomn 20995  DivRingcdr 21031  Fieldcfield 21032  algSccascl 22215  Poly₁cpl1 22550  coe₁cco1 22551  deg₁cdg1 26427  Monic_1pcmn1 26499

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-ofr 7726  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-hash 14516  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-prds 17668  df-pws 17670  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-rhm 20753  df-nzr 20814  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-rlreg 20997  df-domn 20998  df-drng 21033  df-field 21034  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-cnfld 21730  df-assa 22216  df-ascl 22218  df-psr 22272  df-mvr 22273  df-mpl 22274  df-opsr 22276  df-psr1 22553  df-vr1 22554  df-ply1 22555  df-coe1 22556  df-mdeg 26428  df-deg1 26429  df-mon1 26504

This theorem is used by:  ply1dg3rt0irred  34219  m1pmeq  34220