Theorem ply1unit 33653

Description: In a field 𝐹, a polynomial 𝐶 is a unit iff it has degree 0. This corresponds to the nonzero scalars, see ply1asclunit 33652. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1asclunit.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐹)
ply1asclunit.2	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1asclunit.3	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
ply1asclunit.4	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
ply1asclunit.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
ply1unit.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐹)
ply1unit.f	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
ply1unit	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (Unit‘𝑃) ↔ (𝐷‘𝐶) = 0))

Proof of Theorem ply1unit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1asclunit.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
2	1	fldcrngd 20713	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ CRing)
3	2	crngringd 20221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝐹 ∈ Ring)
5		ply1asclunit.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐹)
6	5	ply1ring 22224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
7	3, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
8		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝑃) = (Unit‘𝑃)
9		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (invr‘𝑃) = (invr‘𝑃)
10	8, 9	unitinvcl 20364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Unit‘𝑃))
11	7, 10	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Unit‘𝑃))
12		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13	12, 8	unitcl 20349	. . . . . . 7 ⊢ (((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Unit‘𝑃) → ((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Base‘𝑃))
14	11, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Base‘𝑃))
15		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
16	1	flddrngd 20712	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
17		drngnzr 20719	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ NzRing)
18	5	ply1nz 26100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ NzRing)
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝑃 ∈ NzRing)
21	8, 15, 20, 11	unitnz 33318	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((invr‘𝑃)‘𝐶) ≠ (0g‘𝑃))
22		ply1unit.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐹)
23	22, 5, 15, 12	deg1nn0cl 26066	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((invr‘𝑃)‘𝐶) ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℕ0)
24	4, 14, 21, 23	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℕ0)
25	24	nn0red 12493	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℝ)
26	24	nn0ge0d 12495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 0 ≤ (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)))
27	25, 26	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))))
28		ply1unit.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝑃))
29	28	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝐶 ∈ (Base‘𝑃))
30		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃))
31	8, 15, 20, 30	unitnz 33318	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝐶 ≠ (0g‘𝑃))
32	22, 5, 15, 12	deg1nn0cl 26066	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐷‘𝐶) ∈ ℕ0)
33	4, 29, 31, 32	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘𝐶) ∈ ℕ0)
34	33	nn0red 12493	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘𝐶) ∈ ℝ)
35	33	nn0ge0d 12495	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 0 ≤ (𝐷‘𝐶))
36		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
37		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
38	8, 9, 36, 37	unitlinv 20367	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (((invr‘𝑃)‘𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) = (1r‘𝑃))
39	7, 38	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (((invr‘𝑃)‘𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) = (1r‘𝑃))
40	39	fveq2d 6839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘(((invr‘𝑃)‘𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) = (𝐷‘(1r‘𝑃)))
41		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (RLReg‘𝐹) = (RLReg‘𝐹)
42		drngdomn 20720	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Domn)
43	16, 42	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Domn)
44	43	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝐹 ∈ Domn)
45		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) = (coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))
46		ply1asclunit.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
47	45, 12, 5, 46	coe1fvalcl 22189	. . . . . . 7 ⊢ ((((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℕ0) → ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∈ 𝐵)
48	14, 24, 47	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∈ 𝐵)
49		ply1asclunit.4	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
50	22, 5, 15, 12, 49, 45	deg1ldg 26070	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((invr‘𝑃)‘𝐶) ≠ (0g‘𝑃)) → ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ≠ 0 )
51	4, 14, 21, 50	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ≠ 0 )
52	46, 41, 49	domnrrg 20684	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Domn ∧ ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∈ 𝐵 ∧ ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ≠ 0 ) → ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∈ (RLReg‘𝐹))
53	44, 48, 51, 52	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∈ (RLReg‘𝐹))
54	22, 5, 41, 12, 36, 15, 4, 14, 21, 53, 29, 31	deg1mul2 26092	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘(((invr‘𝑃)‘𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) = ((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) + (𝐷‘𝐶)))
55		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Monic1p‘𝐹) = (Monic1p‘𝐹)
56	5, 37, 55, 22	mon1pid 26132	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ NzRing → ((1r‘𝑃) ∈ (Monic1p‘𝐹) ∧ (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0))
57	56	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ NzRing → (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0)
58	16, 17, 57	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0)
59	58	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0)
60	40, 54, 59	3eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) + (𝐷‘𝐶)) = 0)
61		add20 11656	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∧ ((𝐷‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷‘𝐶))) → (((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) + (𝐷‘𝐶)) = 0 ↔ ((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) = 0 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0)))
62	61	anassrs 467	. . . 4 ⊢ (((((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∧ (𝐷‘𝐶) ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐷‘𝐶)) → (((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) + (𝐷‘𝐶)) = 0 ↔ ((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) = 0 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0)))
63	62	simplbda 499	. . 3 ⊢ ((((((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∧ (𝐷‘𝐶) ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐷‘𝐶)) ∧ ((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) + (𝐷‘𝐶)) = 0) → (𝐷‘𝐶) = 0)
64	27, 34, 35, 60, 63	syl1111anc 841	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘𝐶) = 0)
65	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝐹 ∈ Ring)
66	28	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝐶 ∈ (Base‘𝑃))
67	22, 5, 12	deg1xrcl 26060	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (Base‘𝑃) → (𝐷‘𝐶) ∈ ℝ*)
68	28, 67	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐶) ∈ ℝ*)
69		0xr 11186	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
70		xeqlelt 32867	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐶) = 0 ↔ ((𝐷‘𝐶) ≤ 0 ∧ ¬ (𝐷‘𝐶) < 0)))
71	68, 69, 70	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐶) = 0 ↔ ((𝐷‘𝐶) ≤ 0 ∧ ¬ (𝐷‘𝐶) < 0)))
72	71	simprbda 498	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → (𝐷‘𝐶) ≤ 0)
73		ply1asclunit.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
74	22, 5, 12, 73	deg1le0 26089	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝐷‘𝐶) ≤ 0 ↔ 𝐶 = (𝐴‘((coe1‘𝐶)‘0))))
75	74	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) → 𝐶 = (𝐴‘((coe1‘𝐶)‘0)))
76	65, 66, 72, 75	syl21anc 838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝐶 = (𝐴‘((coe1‘𝐶)‘0)))
77	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝐹 ∈ Field)
78		0nn0 12446	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
79		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘𝐶) = (coe1‘𝐶)
80	79, 12, 5, 46	coe1fvalcl 22189	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐶)‘0) ∈ 𝐵)
81	66, 78, 80	sylancl 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → ((coe1‘𝐶)‘0) ∈ 𝐵)
82		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝜑)
83	71	simplbda 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → ¬ (𝐷‘𝐶) < 0)
84	22, 5, 15, 12	deg1lt0 26069	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝐷‘𝐶) < 0 ↔ 𝐶 = (0g‘𝑃)))
85	84	necon3bbid 2970	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑃)) → (¬ (𝐷‘𝐶) < 0 ↔ 𝐶 ≠ (0g‘𝑃)))
86	85	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ ¬ (𝐷‘𝐶) < 0) → 𝐶 ≠ (0g‘𝑃))
87	65, 66, 83, 86	syl21anc 838	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝐶 ≠ (0g‘𝑃))
88	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) → 𝐹 ∈ Ring)
89	28	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) → 𝐶 ∈ (Base‘𝑃))
90		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) → (𝐷‘𝐶) ≤ 0)
91	22, 5, 49, 12, 15, 88, 89, 90	deg1le0eq0 33651	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) → (𝐶 = (0g‘𝑃) ↔ ((coe1‘𝐶)‘0) = 0 ))
92	91	necon3bid 2977	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) → (𝐶 ≠ (0g‘𝑃) ↔ ((coe1‘𝐶)‘0) ≠ 0 ))
93	92	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑃)) → ((coe1‘𝐶)‘0) ≠ 0 )
94	82, 72, 87, 93	syl21anc 838	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → ((coe1‘𝐶)‘0) ≠ 0 )
95	5, 73, 46, 49, 77, 81, 94	ply1asclunit 33652	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → (𝐴‘((coe1‘𝐶)‘0)) ∈ (Unit‘𝑃))
96	76, 95	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃))
97	64, 96	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (Unit‘𝑃) ↔ (𝐷‘𝐶) = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  0cc0 11032   + caddc 11035  ℝ^*cxr 11172   < clt 11173   ≤ cle 11174  ℕ₀cn0 12431  Basecbs 17173  ._rcmulr 17215  0_gc0g 17396  1_rcur 20156  Ringcrg 20208  Unitcui 20329  inv_rcinvr 20361  NzRingcnzr 20483  RLRegcrlreg 20662  Domncdomn 20663  DivRingcdr 20700  Fieldcfield 20701  algSccascl 21845  Poly₁cpl1 22153  coe₁cco1 22154  deg₁cdg1 26032  Monic_1pcmn1 26104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-ofr 7626  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-hash 14287  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-prds 17404  df-pws 17406  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-ghm 19182  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-rhm 20446  df-nzr 20484  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-rlreg 20665  df-domn 20666  df-drng 20702  df-field 20703  df-lmod 20851  df-lss 20921  df-cnfld 21348  df-assa 21846  df-ascl 21848  df-psr 21902  df-mvr 21903  df-mpl 21904  df-opsr 21906  df-psr1 22156  df-vr1 22157  df-ply1 22158  df-coe1 22159  df-mdeg 26033  df-deg1 26034  df-mon1 26109

This theorem is referenced by:  ply1dg3rt0irred  33662  m1pmeq  33663