Theorem ply1unit 33605

Description: In a field 𝐹, a polynomial 𝐶 is a unit iff it has degree 0. This corresponds to the nonzero scalars, see ply1asclunit 33604. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1asclunit.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐹)
ply1asclunit.2	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1asclunit.3	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
ply1asclunit.4	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
ply1asclunit.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
ply1unit.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐹)
ply1unit.f	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
ply1unit	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (Unit‘𝑃) ↔ (𝐷‘𝐶) = 0))

Proof of Theorem ply1unit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1asclunit.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
2	1	fldcrngd 20673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ CRing)
3	2	crngringd 20179	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝐹 ∈ Ring)
5		ply1asclunit.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐹)
6	5	ply1ring 22186	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
7	3, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
8		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝑃) = (Unit‘𝑃)
9		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (invr‘𝑃) = (invr‘𝑃)
10	8, 9	unitinvcl 20324	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Unit‘𝑃))
11	7, 10	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Unit‘𝑃))
12		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13	12, 8	unitcl 20309	. . . . . . 7 ⊢ (((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Unit‘𝑃) → ((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Base‘𝑃))
14	11, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Base‘𝑃))
15		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
16	1	flddrngd 20672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
17		drngnzr 20679	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ NzRing)
18	5	ply1nz 26081	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ NzRing)
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝑃 ∈ NzRing)
21	8, 15, 20, 11	unitnz 33270	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((invr‘𝑃)‘𝐶) ≠ (0g‘𝑃))
22		ply1unit.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐹)
23	22, 5, 15, 12	deg1nn0cl 26047	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((invr‘𝑃)‘𝐶) ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℕ0)
24	4, 14, 21, 23	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℕ0)
25	24	nn0red 12461	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℝ)
26	24	nn0ge0d 12463	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 0 ≤ (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)))
27	25, 26	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))))
28		ply1unit.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝑃))
29	28	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝐶 ∈ (Base‘𝑃))
30		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃))
31	8, 15, 20, 30	unitnz 33270	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝐶 ≠ (0g‘𝑃))
32	22, 5, 15, 12	deg1nn0cl 26047	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐷‘𝐶) ∈ ℕ0)
33	4, 29, 31, 32	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘𝐶) ∈ ℕ0)
34	33	nn0red 12461	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘𝐶) ∈ ℝ)
35	33	nn0ge0d 12463	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 0 ≤ (𝐷‘𝐶))
36		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
37		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
38	8, 9, 36, 37	unitlinv 20327	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (((invr‘𝑃)‘𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) = (1r‘𝑃))
39	7, 38	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (((invr‘𝑃)‘𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) = (1r‘𝑃))
40	39	fveq2d 6836	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘(((invr‘𝑃)‘𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) = (𝐷‘(1r‘𝑃)))
41		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (RLReg‘𝐹) = (RLReg‘𝐹)
42		drngdomn 20680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Domn)
43	16, 42	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Domn)
44	43	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝐹 ∈ Domn)
45		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) = (coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))
46		ply1asclunit.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
47	45, 12, 5, 46	coe1fvalcl 22151	. . . . . . 7 ⊢ ((((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℕ0) → ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∈ 𝐵)
48	14, 24, 47	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∈ 𝐵)
49		ply1asclunit.4	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
50	22, 5, 15, 12, 49, 45	deg1ldg 26051	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((invr‘𝑃)‘𝐶) ≠ (0g‘𝑃)) → ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ≠ 0 )
51	4, 14, 21, 50	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ≠ 0 )
52	46, 41, 49	domnrrg 20644	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Domn ∧ ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∈ 𝐵 ∧ ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ≠ 0 ) → ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∈ (RLReg‘𝐹))
53	44, 48, 51, 52	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∈ (RLReg‘𝐹))
54	22, 5, 41, 12, 36, 15, 4, 14, 21, 53, 29, 31	deg1mul2 26073	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘(((invr‘𝑃)‘𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) = ((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) + (𝐷‘𝐶)))
55		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (Monic1p‘𝐹) = (Monic1p‘𝐹)
56	5, 37, 55, 22	mon1pid 26113	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ NzRing → ((1r‘𝑃) ∈ (Monic1p‘𝐹) ∧ (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0))
57	56	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ NzRing → (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0)
58	16, 17, 57	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0)
59	58	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0)
60	40, 54, 59	3eqtr3d 2777	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) + (𝐷‘𝐶)) = 0)
61		add20 11647	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∧ ((𝐷‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷‘𝐶))) → (((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) + (𝐷‘𝐶)) = 0 ↔ ((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) = 0 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0)))
62	61	anassrs 467	. . . 4 ⊢ (((((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∧ (𝐷‘𝐶) ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐷‘𝐶)) → (((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) + (𝐷‘𝐶)) = 0 ↔ ((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) = 0 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0)))
63	62	simplbda 499	. . 3 ⊢ ((((((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∧ (𝐷‘𝐶) ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐷‘𝐶)) ∧ ((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) + (𝐷‘𝐶)) = 0) → (𝐷‘𝐶) = 0)
64	27, 34, 35, 60, 63	syl1111anc 840	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘𝐶) = 0)
65	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝐹 ∈ Ring)
66	28	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝐶 ∈ (Base‘𝑃))
67	22, 5, 12	deg1xrcl 26041	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (Base‘𝑃) → (𝐷‘𝐶) ∈ ℝ*)
68	28, 67	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐶) ∈ ℝ*)
69		0xr 11177	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
70		xeqlelt 32805	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐶) = 0 ↔ ((𝐷‘𝐶) ≤ 0 ∧ ¬ (𝐷‘𝐶) < 0)))
71	68, 69, 70	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐶) = 0 ↔ ((𝐷‘𝐶) ≤ 0 ∧ ¬ (𝐷‘𝐶) < 0)))
72	71	simprbda 498	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → (𝐷‘𝐶) ≤ 0)
73		ply1asclunit.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
74	22, 5, 12, 73	deg1le0 26070	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝐷‘𝐶) ≤ 0 ↔ 𝐶 = (𝐴‘((coe1‘𝐶)‘0))))
75	74	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) → 𝐶 = (𝐴‘((coe1‘𝐶)‘0)))
76	65, 66, 72, 75	syl21anc 837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝐶 = (𝐴‘((coe1‘𝐶)‘0)))
77	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝐹 ∈ Field)
78		0nn0 12414	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
79		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘𝐶) = (coe1‘𝐶)
80	79, 12, 5, 46	coe1fvalcl 22151	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐶)‘0) ∈ 𝐵)
81	66, 78, 80	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → ((coe1‘𝐶)‘0) ∈ 𝐵)
82		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝜑)
83	71	simplbda 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → ¬ (𝐷‘𝐶) < 0)
84	22, 5, 15, 12	deg1lt0 26050	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝐷‘𝐶) < 0 ↔ 𝐶 = (0g‘𝑃)))
85	84	necon3bbid 2967	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑃)) → (¬ (𝐷‘𝐶) < 0 ↔ 𝐶 ≠ (0g‘𝑃)))
86	85	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ ¬ (𝐷‘𝐶) < 0) → 𝐶 ≠ (0g‘𝑃))
87	65, 66, 83, 86	syl21anc 837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝐶 ≠ (0g‘𝑃))
88	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) → 𝐹 ∈ Ring)
89	28	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) → 𝐶 ∈ (Base‘𝑃))
90		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) → (𝐷‘𝐶) ≤ 0)
91	22, 5, 49, 12, 15, 88, 89, 90	deg1le0eq0 33603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) → (𝐶 = (0g‘𝑃) ↔ ((coe1‘𝐶)‘0) = 0 ))
92	91	necon3bid 2974	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) → (𝐶 ≠ (0g‘𝑃) ↔ ((coe1‘𝐶)‘0) ≠ 0 ))
93	92	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑃)) → ((coe1‘𝐶)‘0) ≠ 0 )
94	82, 72, 87, 93	syl21anc 837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → ((coe1‘𝐶)‘0) ≠ 0 )
95	5, 73, 46, 49, 77, 81, 94	ply1asclunit 33604	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → (𝐴‘((coe1‘𝐶)‘0)) ∈ (Unit‘𝑃))
96	76, 95	eqeltrd 2834	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃))
97	64, 96	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (Unit‘𝑃) ↔ (𝐷‘𝐶) = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  0cc0 11024   + caddc 11027  ℝ^*cxr 11163   < clt 11164   ≤ cle 11165  ℕ₀cn0 12399  Basecbs 17134  ._rcmulr 17176  0_gc0g 17357  1_rcur 20114  Ringcrg 20166  Unitcui 20289  inv_rcinvr 20321  NzRingcnzr 20443  RLRegcrlreg 20622  Domncdomn 20623  DivRingcdr 20660  Fieldcfield 20661  algSccascl 21805  Poly₁cpl1 22115  coe₁cco1 22116  deg₁cdg1 26013  Monic_1pcmn1 26085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-sup 9343  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-hash 14252  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-prds 17365  df-pws 17367  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-ghm 19140  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-invr 20322  df-rhm 20406  df-nzr 20444  df-subrng 20477  df-subrg 20501  df-rlreg 20625  df-domn 20626  df-drng 20662  df-field 20663  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-cnfld 21308  df-assa 21806  df-ascl 21808  df-psr 21863  df-mvr 21864  df-mpl 21865  df-opsr 21867  df-psr1 22118  df-vr1 22119  df-ply1 22120  df-coe1 22121  df-mdeg 26014  df-deg1 26015  df-mon1 26090

This theorem is referenced by:  ply1dg3rt0irred  33614  m1pmeq  33615