Theorem ply1unit 33511

Description: In a field 𝐹, a polynomial 𝐶 is a unit iff it has degree 0. This corresponds to the nonzero scalars, see ply1asclunit 33510. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1asclunit.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐹)
ply1asclunit.2	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1asclunit.3	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
ply1asclunit.4	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
ply1asclunit.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
ply1unit.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐹)
ply1unit.f	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
ply1unit	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (Unit‘𝑃) ↔ (𝐷‘𝐶) = 0))

Proof of Theorem ply1unit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1asclunit.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
2	1	fldcrngd 20627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ CRing)
3	2	crngringd 20131	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝐹 ∈ Ring)
5		ply1asclunit.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐹)
6	5	ply1ring 22130	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
7	3, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
8		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝑃) = (Unit‘𝑃)
9		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (invr‘𝑃) = (invr‘𝑃)
10	8, 9	unitinvcl 20275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Unit‘𝑃))
11	7, 10	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Unit‘𝑃))
12		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13	12, 8	unitcl 20260	. . . . . . 7 ⊢ (((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Unit‘𝑃) → ((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Base‘𝑃))
14	11, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Base‘𝑃))
15		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
16	1	flddrngd 20626	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
17		drngnzr 20633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ NzRing)
18	5	ply1nz 26025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ NzRing)
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝑃 ∈ NzRing)
21	8, 15, 20, 11	unitnz 33180	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((invr‘𝑃)‘𝐶) ≠ (0g‘𝑃))
22		ply1unit.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐹)
23	22, 5, 15, 12	deg1nn0cl 25991	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((invr‘𝑃)‘𝐶) ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℕ0)
24	4, 14, 21, 23	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℕ0)
25	24	nn0red 12446	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℝ)
26	24	nn0ge0d 12448	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 0 ≤ (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)))
27	25, 26	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))))
28		ply1unit.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝑃))
29	28	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝐶 ∈ (Base‘𝑃))
30		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃))
31	8, 15, 20, 30	unitnz 33180	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝐶 ≠ (0g‘𝑃))
32	22, 5, 15, 12	deg1nn0cl 25991	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐷‘𝐶) ∈ ℕ0)
33	4, 29, 31, 32	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘𝐶) ∈ ℕ0)
34	33	nn0red 12446	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘𝐶) ∈ ℝ)
35	33	nn0ge0d 12448	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 0 ≤ (𝐷‘𝐶))
36		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
37		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
38	8, 9, 36, 37	unitlinv 20278	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (((invr‘𝑃)‘𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) = (1r‘𝑃))
39	7, 38	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (((invr‘𝑃)‘𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) = (1r‘𝑃))
40	39	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘(((invr‘𝑃)‘𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) = (𝐷‘(1r‘𝑃)))
41		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (RLReg‘𝐹) = (RLReg‘𝐹)
42		drngdomn 20634	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Domn)
43	16, 42	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Domn)
44	43	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝐹 ∈ Domn)
45		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) = (coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))
46		ply1asclunit.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
47	45, 12, 5, 46	coe1fvalcl 22095	. . . . . . 7 ⊢ ((((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℕ0) → ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∈ 𝐵)
48	14, 24, 47	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∈ 𝐵)
49		ply1asclunit.4	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
50	22, 5, 15, 12, 49, 45	deg1ldg 25995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑃)‘𝐶) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((invr‘𝑃)‘𝐶) ≠ (0g‘𝑃)) → ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ≠ 0 )
51	4, 14, 21, 50	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ≠ 0 )
52	46, 41, 49	domnrrg 20598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Domn ∧ ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∈ 𝐵 ∧ ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ≠ 0 ) → ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∈ (RLReg‘𝐹))
53	44, 48, 51, 52	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((coe1‘((invr‘𝑃)‘𝐶))‘(𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∈ (RLReg‘𝐹))
54	22, 5, 41, 12, 36, 15, 4, 14, 21, 53, 29, 31	deg1mul2 26017	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘(((invr‘𝑃)‘𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) = ((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) + (𝐷‘𝐶)))
55		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Monic1p‘𝐹) = (Monic1p‘𝐹)
56	5, 37, 55, 22	mon1pid 26057	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ NzRing → ((1r‘𝑃) ∈ (Monic1p‘𝐹) ∧ (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0))
57	56	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ NzRing → (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0)
58	16, 17, 57	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0)
59	58	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0)
60	40, 54, 59	3eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → ((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) + (𝐷‘𝐶)) = 0)
61		add20 11632	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∧ ((𝐷‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷‘𝐶))) → (((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) + (𝐷‘𝐶)) = 0 ↔ ((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) = 0 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0)))
62	61	anassrs 467	. . . 4 ⊢ (((((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∧ (𝐷‘𝐶) ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐷‘𝐶)) → (((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) + (𝐷‘𝐶)) = 0 ↔ ((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) = 0 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0)))
63	62	simplbda 499	. . 3 ⊢ ((((((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶))) ∧ (𝐷‘𝐶) ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐷‘𝐶)) ∧ ((𝐷‘((invr‘𝑃)‘𝐶)) + (𝐷‘𝐶)) = 0) → (𝐷‘𝐶) = 0)
64	27, 34, 35, 60, 63	syl1111anc 840	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐷‘𝐶) = 0)
65	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝐹 ∈ Ring)
66	28	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝐶 ∈ (Base‘𝑃))
67	22, 5, 12	deg1xrcl 25985	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (Base‘𝑃) → (𝐷‘𝐶) ∈ ℝ*)
68	28, 67	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐶) ∈ ℝ*)
69		0xr 11162	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
70		xeqlelt 32720	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐶) = 0 ↔ ((𝐷‘𝐶) ≤ 0 ∧ ¬ (𝐷‘𝐶) < 0)))
71	68, 69, 70	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐶) = 0 ↔ ((𝐷‘𝐶) ≤ 0 ∧ ¬ (𝐷‘𝐶) < 0)))
72	71	simprbda 498	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → (𝐷‘𝐶) ≤ 0)
73		ply1asclunit.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
74	22, 5, 12, 73	deg1le0 26014	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝐷‘𝐶) ≤ 0 ↔ 𝐶 = (𝐴‘((coe1‘𝐶)‘0))))
75	74	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) → 𝐶 = (𝐴‘((coe1‘𝐶)‘0)))
76	65, 66, 72, 75	syl21anc 837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝐶 = (𝐴‘((coe1‘𝐶)‘0)))
77	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝐹 ∈ Field)
78		0nn0 12399	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
79		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘𝐶) = (coe1‘𝐶)
80	79, 12, 5, 46	coe1fvalcl 22095	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐶)‘0) ∈ 𝐵)
81	66, 78, 80	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → ((coe1‘𝐶)‘0) ∈ 𝐵)
82		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝜑)
83	71	simplbda 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → ¬ (𝐷‘𝐶) < 0)
84	22, 5, 15, 12	deg1lt0 25994	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝐷‘𝐶) < 0 ↔ 𝐶 = (0g‘𝑃)))
85	84	necon3bbid 2962	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑃)) → (¬ (𝐷‘𝐶) < 0 ↔ 𝐶 ≠ (0g‘𝑃)))
86	85	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ ¬ (𝐷‘𝐶) < 0) → 𝐶 ≠ (0g‘𝑃))
87	65, 66, 83, 86	syl21anc 837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝐶 ≠ (0g‘𝑃))
88	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) → 𝐹 ∈ Ring)
89	28	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) → 𝐶 ∈ (Base‘𝑃))
90		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) → (𝐷‘𝐶) ≤ 0)
91	22, 5, 49, 12, 15, 88, 89, 90	deg1le0eq0 33509	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) → (𝐶 = (0g‘𝑃) ↔ ((coe1‘𝐶)‘0) = 0 ))
92	91	necon3bid 2969	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) → (𝐶 ≠ (0g‘𝑃) ↔ ((coe1‘𝐶)‘0) ≠ 0 ))
93	92	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) ≤ 0) ∧ 𝐶 ≠ (0g‘𝑃)) → ((coe1‘𝐶)‘0) ≠ 0 )
94	82, 72, 87, 93	syl21anc 837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → ((coe1‘𝐶)‘0) ≠ 0 )
95	5, 73, 46, 49, 77, 81, 94	ply1asclunit 33510	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → (𝐴‘((coe1‘𝐶)‘0)) ∈ (Unit‘𝑃))
96	76, 95	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷‘𝐶) = 0) → 𝐶 ∈ (Unit‘𝑃))
97	64, 96	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (Unit‘𝑃) ↔ (𝐷‘𝐶) = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  0cc0 11009   + caddc 11012  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149   ≤ cle 11150  ℕ₀cn0 12384  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162  0_gc0g 17343  1_rcur 20066  Ringcrg 20118  Unitcui 20240  inv_rcinvr 20272  NzRingcnzr 20397  RLRegcrlreg 20576  Domncdomn 20577  DivRingcdr 20614  Fieldcfield 20615  algSccascl 21759  Poly₁cpl1 22059  coe₁cco1 22060  deg₁cdg1 25957  Monic_1pcmn1 26029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-ofr 7614  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-mulg 18947  df-subg 19002  df-ghm 19092  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-rhm 20357  df-nzr 20398  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-rlreg 20579  df-domn 20580  df-drng 20616  df-field 20617  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-cnfld 21262  df-assa 21760  df-ascl 21762  df-psr 21816  df-mvr 21817  df-mpl 21818  df-opsr 21820  df-psr1 22062  df-vr1 22063  df-ply1 22064  df-coe1 22065  df-mdeg 25958  df-deg1 25959  df-mon1 26034

This theorem is referenced by:  ply1dg3rt0irred  33519  m1pmeq  33520