Theorem sumsqeq0 14145

Description: The sum of two squres of reals is zero if and only if both reals are zero. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sumsqeq0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) ↔ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 0))

Proof of Theorem sumsqeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcl 14091	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
2		sqge0 14103	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴↑2))
3	1, 2	jca 512	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑2)))
4		resqcl 14091	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
5		sqge0 14103	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐵↑2))
6	4, 5	jca 512	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2)))
7		add20 11728	. . 3 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑2)) ∧ ((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2))) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 0 ↔ ((𝐴↑2) = 0 ∧ (𝐵↑2) = 0)))
8	3, 6, 7	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 0 ↔ ((𝐴↑2) = 0 ∧ (𝐵↑2) = 0)))
9		recn 11202	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
10		sqeq0 14087	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
12		recn 11202	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
13		sqeq0 14087	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵↑2) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐵↑2) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
15	11, 14	bi2anan9 637	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴↑2) = 0 ∧ (𝐵↑2) = 0) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
16	8, 15	bitr2d 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) ↔ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   ≤ cle 11251  2c2 12269  ↑cexp 14029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-seq 13969  df-exp 14030

This theorem is referenced by:  crreczi  14193  diophin  41592