MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mumullem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mumullem2 27067
Description: Lemma for mumul 27068. The product of two coprime squarefree numbers is squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mumullem2 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ((ฮผโ€˜๐ด) โ‰  0 โˆง (ฮผโ€˜๐ต) โ‰  0)) โ†’ (ฮผโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โ‰  0)

Proof of Theorem mumullem2
Dummy variable ๐‘ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26 3105 . . . 4 (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1) โ†” (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1))
2 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
3 simpl1 1188 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
42, 3pccld 16792 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•0)
54nn0red 12537 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„)
6 simpl2 1189 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
72, 6pccld 16792 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„•0)
87nn0red 12537 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„)
9 1red 11219 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
10 le2add 11700 . . . . . . . 8 ((((๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„) โˆง (1 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ‰ค (1 + 1)))
115, 8, 9, 9, 10syl22anc 836 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ‰ค (1 + 1)))
12 ax-1ne0 11181 . . . . . . . . . . . 12 1 โ‰  0
13 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = 1)
1413oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) = (๐‘ pCnt 1))
153nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
166nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
17 pcgcd 16820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) = if((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต), (๐‘ pCnt ๐ด), (๐‘ pCnt ๐ต)))
182, 15, 16, 17syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) = if((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต), (๐‘ pCnt ๐ด), (๐‘ pCnt ๐ต)))
19 pc1 16797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ pCnt 1) = 0)
2019adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt 1) = 0)
2114, 18, 203eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ if((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต), (๐‘ pCnt ๐ด), (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0)
22 ifid 4563 . . . . . . . . . . . . . . . 16 if((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต), 1, 1) = 1
23 ifeq12 4541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 = (๐‘ pCnt ๐ด) โˆง 1 = (๐‘ pCnt ๐ต)) โ†’ if((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต), 1, 1) = if((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต), (๐‘ pCnt ๐ด), (๐‘ pCnt ๐ต)))
2422, 23eqtr3id 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 = (๐‘ pCnt ๐ด) โˆง 1 = (๐‘ pCnt ๐ต)) โ†’ 1 = if((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต), (๐‘ pCnt ๐ด), (๐‘ pCnt ๐ต)))
2524eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 = (๐‘ pCnt ๐ด) โˆง 1 = (๐‘ pCnt ๐ต)) โ†’ (1 = 0 โ†” if((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต), (๐‘ pCnt ๐ด), (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0))
2621, 25syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((1 = (๐‘ pCnt ๐ด) โˆง 1 = (๐‘ pCnt ๐ต)) โ†’ 1 = 0))
2726necon3ad 2947 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (1 โ‰  0 โ†’ ยฌ (1 = (๐‘ pCnt ๐ด) โˆง 1 = (๐‘ pCnt ๐ต))))
2812, 27mpi 20 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ยฌ (1 = (๐‘ pCnt ๐ด) โˆง 1 = (๐‘ pCnt ๐ต)))
29 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„‚
305recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„‚)
31 subeq0 11490 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โ†” 1 = (๐‘ pCnt ๐ด)))
3229, 30, 31sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โ†” 1 = (๐‘ pCnt ๐ด)))
338recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„‚)
34 subeq0 11490 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0 โ†” 1 = (๐‘ pCnt ๐ต)))
3529, 33, 34sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0 โ†” 1 = (๐‘ pCnt ๐ต)))
3632, 35anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0) โ†” (1 = (๐‘ pCnt ๐ด) โˆง 1 = (๐‘ pCnt ๐ต))))
3728, 36mtbird 325 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ยฌ ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0))
3837adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1)) โ†’ ยฌ ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0))
39 eqcom 2733 . . . . . . . . . . 11 ((1 + 1) = ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ†” ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) = (1 + 1))
40 1re 11218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 โˆˆ โ„
4140, 40readdcli 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) โˆˆ โ„
4241recni 11232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + 1) โˆˆ โ„‚
434, 7nn0addcld 12540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„•0)
4443nn0red 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„)
4544recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
46 subeq0 11490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 + 1) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((1 + 1) โˆ’ ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0 โ†” (1 + 1) = ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต))))
4742, 45, 46sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((1 + 1) โˆ’ ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0 โ†” (1 + 1) = ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต))))
4847, 39bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((1 + 1) โˆ’ ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0 โ†” ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) = (1 + 1)))
499recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
5049, 49, 30, 33addsub4d 11622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((1 + 1) โˆ’ ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต))) = ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) + (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))))
5150eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((1 + 1) โˆ’ ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0 โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) + (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0))
5248, 51bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) = (1 + 1) โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) + (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0))
5352adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1)) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) = (1 + 1) โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) + (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0))
54 subge0 11731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โ†” (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1))
5540, 5, 54sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โ†” (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1))
56 subge0 11731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) โ†” (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1))
5740, 8, 56sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) โ†” (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1))
5855, 57anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) โ†” ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1)))
59 resubcl 11528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โˆˆ โ„)
6040, 5, 59sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โˆˆ โ„)
61 resubcl 11528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„)
6240, 8, 61sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„)
63 add20 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด))) โˆง ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)))) โ†’ (((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) + (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0 โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0)))
6463an4s 657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)))) โ†’ (((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) + (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0 โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0)))
6564ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) โ†’ (((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) + (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0 โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0))))
6660, 62, 65syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) โ†’ (((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) + (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0 โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0))))
6758, 66sylbird 260 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1) โ†’ (((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) + (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0 โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0))))
6867imp 406 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1)) โ†’ (((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) + (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0 โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0)))
6953, 68bitrd 279 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1)) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) = (1 + 1) โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0)))
7039, 69bitrid 283 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1)) โ†’ ((1 + 1) = ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0)))
7170necon3abid 2971 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1)) โ†’ ((1 + 1) โ‰  ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ†” ยฌ ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0)))
7238, 71mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1)) โ†’ (1 + 1) โ‰  ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)))
7372ex 412 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1) โ†’ (1 + 1) โ‰  ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต))))
7411, 73jcad 512 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ‰ค (1 + 1) โˆง (1 + 1) โ‰  ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)))))
75 nnz 12583 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
76 nnne0 12250 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โ‰  0)
7775, 76jca 511 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0))
783, 77syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0))
79 nnz 12583 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
80 nnne0 12250 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โ‰  0)
8179, 80jca 511 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0))
826, 81syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0))
83 pcmul 16793 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)))
842, 78, 82, 83syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)))
8584breq1d 5151 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค 1 โ†” ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ‰ค 1))
86 1nn0 12492 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•0
87 nn0leltp1 12625 . . . . . . . 8 ((((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„•0 โˆง 1 โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ‰ค 1 โ†” ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) < (1 + 1)))
8843, 86, 87sylancl 585 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ‰ค 1 โ†” ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) < (1 + 1)))
89 ltlen 11319 . . . . . . . 8 ((((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง (1 + 1) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) < (1 + 1) โ†” (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ‰ค (1 + 1) โˆง (1 + 1) โ‰  ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)))))
9044, 41, 89sylancl 585 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) < (1 + 1) โ†” (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ‰ค (1 + 1) โˆง (1 + 1) โ‰  ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)))))
9185, 88, 903bitrd 305 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค 1 โ†” (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ‰ค (1 + 1) โˆง (1 + 1) โ‰  ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)))))
9274, 91sylibrd 259 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1) โ†’ (๐‘ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค 1))
9392ralimdva 3161 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค 1))
941, 93biimtrrid 242 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค 1))
95 issqf 27023 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((ฮผโ€˜๐ด) โ‰  0 โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1))
96 issqf 27023 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ((ฮผโ€˜๐ต) โ‰  0 โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1))
9795, 96bi2anan9 636 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (((ฮผโ€˜๐ด) โ‰  0 โˆง (ฮผโ€˜๐ต) โ‰  0) โ†” (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1)))
98973adant3 1129 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (((ฮผโ€˜๐ด) โ‰  0 โˆง (ฮผโ€˜๐ต) โ‰  0) โ†” (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1)))
99 nnmulcl 12240 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„•)
100993adant3 1129 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„•)
101 issqf 27023 . . . 4 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„• โ†’ ((ฮผโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โ‰  0 โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค 1))
102100, 101syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((ฮผโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โ‰  0 โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค 1))
10394, 98, 1023imtr4d 294 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (((ฮผโ€˜๐ด) โ‰  0 โˆง (ฮผโ€˜๐ต) โ‰  0) โ†’ (ฮผโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โ‰  0))
104103imp 406 1 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ((ฮผโ€˜๐ด) โ‰  0 โˆง (ฮผโ€˜๐ต) โ‰  0)) โ†’ (ฮผโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โ‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆ€wral 3055  ifcif 4523   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562   gcd cgcd 16442  โ„™cprime 16615   pCnt cpc 16778  ฮผcmu 26982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-pc 16779  df-mu 26988
This theorem is referenced by:  mumul  27068
  Copyright terms: Public domain W3C validator