MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mumullem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mumullem2 26552
Description: Lemma for mumul 26553. The product of two coprime squarefree numbers is squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mumullem2 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ((ฮผโ€˜๐ด) โ‰  0 โˆง (ฮผโ€˜๐ต) โ‰  0)) โ†’ (ฮผโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โ‰  0)

Proof of Theorem mumullem2
Dummy variable ๐‘ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26 3111 . . . 4 (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1) โ†” (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1))
2 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
3 simpl1 1192 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
42, 3pccld 16730 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•0)
54nn0red 12482 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„)
6 simpl2 1193 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
72, 6pccld 16730 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„•0)
87nn0red 12482 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„)
9 1red 11164 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
10 le2add 11645 . . . . . . . 8 ((((๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„) โˆง (1 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ‰ค (1 + 1)))
115, 8, 9, 9, 10syl22anc 838 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ‰ค (1 + 1)))
12 ax-1ne0 11128 . . . . . . . . . . . 12 1 โ‰  0
13 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = 1)
1413oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) = (๐‘ pCnt 1))
153nnzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
166nnzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
17 pcgcd 16758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) = if((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต), (๐‘ pCnt ๐ด), (๐‘ pCnt ๐ต)))
182, 15, 16, 17syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) = if((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต), (๐‘ pCnt ๐ด), (๐‘ pCnt ๐ต)))
19 pc1 16735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ pCnt 1) = 0)
2019adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt 1) = 0)
2114, 18, 203eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ if((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต), (๐‘ pCnt ๐ด), (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0)
22 ifid 4530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 if((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต), 1, 1) = 1
23 ifeq12 4508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 = (๐‘ pCnt ๐ด) โˆง 1 = (๐‘ pCnt ๐ต)) โ†’ if((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต), 1, 1) = if((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต), (๐‘ pCnt ๐ด), (๐‘ pCnt ๐ต)))
2422, 23eqtr3id 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 = (๐‘ pCnt ๐ด) โˆง 1 = (๐‘ pCnt ๐ต)) โ†’ 1 = if((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต), (๐‘ pCnt ๐ด), (๐‘ pCnt ๐ต)))
2524eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 = (๐‘ pCnt ๐ด) โˆง 1 = (๐‘ pCnt ๐ต)) โ†’ (1 = 0 โ†” if((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต), (๐‘ pCnt ๐ด), (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0))
2621, 25syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((1 = (๐‘ pCnt ๐ด) โˆง 1 = (๐‘ pCnt ๐ต)) โ†’ 1 = 0))
2726necon3ad 2953 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (1 โ‰  0 โ†’ ยฌ (1 = (๐‘ pCnt ๐ด) โˆง 1 = (๐‘ pCnt ๐ต))))
2812, 27mpi 20 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ยฌ (1 = (๐‘ pCnt ๐ด) โˆง 1 = (๐‘ pCnt ๐ต)))
29 ax-1cn 11117 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„‚
305recnd 11191 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„‚)
31 subeq0 11435 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โ†” 1 = (๐‘ pCnt ๐ด)))
3229, 30, 31sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โ†” 1 = (๐‘ pCnt ๐ด)))
338recnd 11191 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„‚)
34 subeq0 11435 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0 โ†” 1 = (๐‘ pCnt ๐ต)))
3529, 33, 34sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0 โ†” 1 = (๐‘ pCnt ๐ต)))
3632, 35anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0) โ†” (1 = (๐‘ pCnt ๐ด) โˆง 1 = (๐‘ pCnt ๐ต))))
3728, 36mtbird 325 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ยฌ ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0))
3837adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1)) โ†’ ยฌ ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0))
39 eqcom 2740 . . . . . . . . . . 11 ((1 + 1) = ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ†” ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) = (1 + 1))
40 1re 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 โˆˆ โ„
4140, 40readdcli 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) โˆˆ โ„
4241recni 11177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + 1) โˆˆ โ„‚
434, 7nn0addcld 12485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„•0)
4443nn0red 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„)
4544recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
46 subeq0 11435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 + 1) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((1 + 1) โˆ’ ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0 โ†” (1 + 1) = ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต))))
4742, 45, 46sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((1 + 1) โˆ’ ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0 โ†” (1 + 1) = ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต))))
4847, 39bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((1 + 1) โˆ’ ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0 โ†” ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) = (1 + 1)))
499recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
5049, 49, 30, 33addsub4d 11567 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((1 + 1) โˆ’ ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต))) = ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) + (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))))
5150eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((1 + 1) โˆ’ ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0 โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) + (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0))
5248, 51bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) = (1 + 1) โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) + (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0))
5352adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1)) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) = (1 + 1) โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) + (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0))
54 subge0 11676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โ†” (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1))
5540, 5, 54sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โ†” (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1))
56 subge0 11676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) โ†” (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1))
5740, 8, 56sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) โ†” (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1))
5855, 57anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) โ†” ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1)))
59 resubcl 11473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โˆˆ โ„)
6040, 5, 59sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โˆˆ โ„)
61 resubcl 11473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„)
6240, 8, 61sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„)
63 add20 11675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด))) โˆง ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)))) โ†’ (((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) + (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0 โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0)))
6463an4s 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)))) โ†’ (((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) + (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0 โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0)))
6564ex 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) โ†’ (((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) + (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0 โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0))))
6660, 62, 65syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) โ†’ (((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) + (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0 โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0))))
6758, 66sylbird 260 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1) โ†’ (((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) + (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0 โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0))))
6867imp 408 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1)) โ†’ (((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) + (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0 โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0)))
6953, 68bitrd 279 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1)) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) = (1 + 1) โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0)))
7039, 69bitrid 283 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1)) โ†’ ((1 + 1) = ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0)))
7170necon3abid 2977 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1)) โ†’ ((1 + 1) โ‰  ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ†” ยฌ ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0)))
7238, 71mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1)) โ†’ (1 + 1) โ‰  ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)))
7372ex 414 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1) โ†’ (1 + 1) โ‰  ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต))))
7411, 73jcad 514 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ‰ค (1 + 1) โˆง (1 + 1) โ‰  ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)))))
75 nnz 12528 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
76 nnne0 12195 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โ‰  0)
7775, 76jca 513 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0))
783, 77syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0))
79 nnz 12528 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
80 nnne0 12195 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โ‰  0)
8179, 80jca 513 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0))
826, 81syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0))
83 pcmul 16731 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)))
842, 78, 82, 83syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)))
8584breq1d 5119 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค 1 โ†” ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ‰ค 1))
86 1nn0 12437 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•0
87 nn0leltp1 12570 . . . . . . . 8 ((((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„•0 โˆง 1 โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ‰ค 1 โ†” ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) < (1 + 1)))
8843, 86, 87sylancl 587 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ‰ค 1 โ†” ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) < (1 + 1)))
89 ltlen 11264 . . . . . . . 8 ((((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง (1 + 1) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) < (1 + 1) โ†” (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ‰ค (1 + 1) โˆง (1 + 1) โ‰  ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)))))
9044, 41, 89sylancl 587 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) < (1 + 1) โ†” (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ‰ค (1 + 1) โˆง (1 + 1) โ‰  ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)))))
9185, 88, 903bitrd 305 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค 1 โ†” (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ‰ค (1 + 1) โˆง (1 + 1) โ‰  ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)))))
9274, 91sylibrd 259 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1) โ†’ (๐‘ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค 1))
9392ralimdva 3161 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค 1))
941, 93biimtrrid 242 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค 1))
95 issqf 26508 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((ฮผโ€˜๐ด) โ‰  0 โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1))
96 issqf 26508 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ((ฮผโ€˜๐ต) โ‰  0 โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1))
9795, 96bi2anan9 638 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (((ฮผโ€˜๐ด) โ‰  0 โˆง (ฮผโ€˜๐ต) โ‰  0) โ†” (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1)))
98973adant3 1133 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (((ฮผโ€˜๐ด) โ‰  0 โˆง (ฮผโ€˜๐ต) โ‰  0) โ†” (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1)))
99 nnmulcl 12185 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„•)
100993adant3 1133 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„•)
101 issqf 26508 . . . 4 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„• โ†’ ((ฮผโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โ‰  0 โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค 1))
102100, 101syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((ฮผโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โ‰  0 โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค 1))
10394, 98, 1023imtr4d 294 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (((ฮผโ€˜๐ด) โ‰  0 โˆง (ฮผโ€˜๐ต) โ‰  0) โ†’ (ฮผโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โ‰  0))
104103imp 408 1 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ((ฮผโ€˜๐ด) โ‰  0 โˆง (ฮผโ€˜๐ต) โ‰  0)) โ†’ (ฮผโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โ‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  ifcif 4490   class class class wbr 5109  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   < clt 11197   โ‰ค cle 11198   โˆ’ cmin 11393  โ„•cn 12161  โ„•0cn0 12421  โ„คcz 12507   gcd cgcd 16382  โ„™cprime 16555   pCnt cpc 16716  ฮผcmu 26467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-dvds 16145  df-gcd 16383  df-prm 16556  df-pc 16717  df-mu 26473
This theorem is referenced by:  mumul  26553
  Copyright terms: Public domain W3C validator