MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mumullem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mumullem2 27140
Description: Lemma for mumul 27141. The product of two coprime squarefree numbers is squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mumullem2 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ((ฮผโ€˜๐ด) โ‰  0 โˆง (ฮผโ€˜๐ต) โ‰  0)) โ†’ (ฮผโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โ‰  0)

Proof of Theorem mumullem2
Dummy variable ๐‘ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26 3108 . . . 4 (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1) โ†” (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1))
2 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
3 simpl1 1188 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
42, 3pccld 16828 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•0)
54nn0red 12573 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„)
6 simpl2 1189 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
72, 6pccld 16828 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„•0)
87nn0red 12573 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„)
9 1red 11255 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
10 le2add 11736 . . . . . . . 8 ((((๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„) โˆง (1 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ‰ค (1 + 1)))
115, 8, 9, 9, 10syl22anc 837 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ‰ค (1 + 1)))
12 ax-1ne0 11217 . . . . . . . . . . . 12 1 โ‰  0
13 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = 1)
1413oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) = (๐‘ pCnt 1))
153nnzd 12625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
166nnzd 12625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
17 pcgcd 16856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) = if((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต), (๐‘ pCnt ๐ด), (๐‘ pCnt ๐ต)))
182, 15, 16, 17syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) = if((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต), (๐‘ pCnt ๐ด), (๐‘ pCnt ๐ต)))
19 pc1 16833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ pCnt 1) = 0)
2019adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt 1) = 0)
2114, 18, 203eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ if((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต), (๐‘ pCnt ๐ด), (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0)
22 ifid 4572 . . . . . . . . . . . . . . . 16 if((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต), 1, 1) = 1
23 ifeq12 4550 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 = (๐‘ pCnt ๐ด) โˆง 1 = (๐‘ pCnt ๐ต)) โ†’ if((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต), 1, 1) = if((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต), (๐‘ pCnt ๐ด), (๐‘ pCnt ๐ต)))
2422, 23eqtr3id 2782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 = (๐‘ pCnt ๐ด) โˆง 1 = (๐‘ pCnt ๐ต)) โ†’ 1 = if((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต), (๐‘ pCnt ๐ด), (๐‘ pCnt ๐ต)))
2524eqeq1d 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 = (๐‘ pCnt ๐ด) โˆง 1 = (๐‘ pCnt ๐ต)) โ†’ (1 = 0 โ†” if((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ต), (๐‘ pCnt ๐ด), (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0))
2621, 25syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((1 = (๐‘ pCnt ๐ด) โˆง 1 = (๐‘ pCnt ๐ต)) โ†’ 1 = 0))
2726necon3ad 2950 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (1 โ‰  0 โ†’ ยฌ (1 = (๐‘ pCnt ๐ด) โˆง 1 = (๐‘ pCnt ๐ต))))
2812, 27mpi 20 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ยฌ (1 = (๐‘ pCnt ๐ด) โˆง 1 = (๐‘ pCnt ๐ต)))
29 ax-1cn 11206 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„‚
305recnd 11282 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„‚)
31 subeq0 11526 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โ†” 1 = (๐‘ pCnt ๐ด)))
3229, 30, 31sylancr 585 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โ†” 1 = (๐‘ pCnt ๐ด)))
338recnd 11282 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„‚)
34 subeq0 11526 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0 โ†” 1 = (๐‘ pCnt ๐ต)))
3529, 33, 34sylancr 585 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0 โ†” 1 = (๐‘ pCnt ๐ต)))
3632, 35anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0) โ†” (1 = (๐‘ pCnt ๐ด) โˆง 1 = (๐‘ pCnt ๐ต))))
3728, 36mtbird 324 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ยฌ ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0))
3837adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1)) โ†’ ยฌ ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0))
39 eqcom 2735 . . . . . . . . . . 11 ((1 + 1) = ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ†” ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) = (1 + 1))
40 1re 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 โˆˆ โ„
4140, 40readdcli 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) โˆˆ โ„
4241recni 11268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + 1) โˆˆ โ„‚
434, 7nn0addcld 12576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„•0)
4443nn0red 12573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„)
4544recnd 11282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
46 subeq0 11526 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 + 1) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((1 + 1) โˆ’ ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0 โ†” (1 + 1) = ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต))))
4742, 45, 46sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((1 + 1) โˆ’ ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0 โ†” (1 + 1) = ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต))))
4847, 39bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((1 + 1) โˆ’ ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0 โ†” ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) = (1 + 1)))
499recnd 11282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
5049, 49, 30, 33addsub4d 11658 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((1 + 1) โˆ’ ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต))) = ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) + (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))))
5150eqeq1d 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((1 + 1) โˆ’ ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0 โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) + (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0))
5248, 51bitr3d 280 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) = (1 + 1) โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) + (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0))
5352adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1)) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) = (1 + 1) โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) + (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0))
54 subge0 11767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โ†” (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1))
5540, 5, 54sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โ†” (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1))
56 subge0 11767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) โ†” (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1))
5740, 8, 56sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) โ†” (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1))
5855, 57anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) โ†” ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1)))
59 resubcl 11564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โˆˆ โ„)
6040, 5, 59sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โˆˆ โ„)
61 resubcl 11564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„)
6240, 8, 61sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„)
63 add20 11766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด))) โˆง ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)))) โ†’ (((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) + (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0 โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0)))
6463an4s 658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)))) โ†’ (((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) + (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0 โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0)))
6564ex 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) โ†’ (((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) + (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0 โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0))))
6660, 62, 65syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) โˆง 0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) โ†’ (((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) + (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0 โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0))))
6758, 66sylbird 259 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1) โ†’ (((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) + (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0 โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0))))
6867imp 405 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1)) โ†’ (((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) + (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต))) = 0 โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0)))
6953, 68bitrd 278 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1)) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) = (1 + 1) โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0)))
7039, 69bitrid 282 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1)) โ†’ ((1 + 1) = ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ†” ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0)))
7170necon3abid 2974 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1)) โ†’ ((1 + 1) โ‰  ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ†” ยฌ ((1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ด)) = 0 โˆง (1 โˆ’ (๐‘ pCnt ๐ต)) = 0)))
7238, 71mpbird 256 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โˆง ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1)) โ†’ (1 + 1) โ‰  ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)))
7372ex 411 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1) โ†’ (1 + 1) โ‰  ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต))))
7411, 73jcad 511 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ‰ค (1 + 1) โˆง (1 + 1) โ‰  ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)))))
75 nnz 12619 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
76 nnne0 12286 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โ‰  0)
7775, 76jca 510 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0))
783, 77syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0))
79 nnz 12619 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
80 nnne0 12286 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โ‰  0)
8179, 80jca 510 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0))
826, 81syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0))
83 pcmul 16829 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)))
842, 78, 82, 83syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)))
8584breq1d 5162 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค 1 โ†” ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ‰ค 1))
86 1nn0 12528 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•0
87 nn0leltp1 12661 . . . . . . . 8 ((((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„•0 โˆง 1 โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ‰ค 1 โ†” ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) < (1 + 1)))
8843, 86, 87sylancl 584 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ‰ค 1 โ†” ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) < (1 + 1)))
89 ltlen 11355 . . . . . . . 8 ((((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง (1 + 1) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) < (1 + 1) โ†” (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ‰ค (1 + 1) โˆง (1 + 1) โ‰  ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)))))
9044, 41, 89sylancl 584 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) < (1 + 1) โ†” (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ‰ค (1 + 1) โˆง (1 + 1) โ‰  ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)))))
9185, 88, 903bitrd 304 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค 1 โ†” (((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)) โ‰ค (1 + 1) โˆง (1 + 1) โ‰  ((๐‘ pCnt ๐ด) + (๐‘ pCnt ๐ต)))))
9274, 91sylibrd 258 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1) โ†’ (๐‘ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค 1))
9392ralimdva 3164 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค 1))
941, 93biimtrrid 242 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค 1))
95 issqf 27096 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((ฮผโ€˜๐ด) โ‰  0 โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1))
96 issqf 27096 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ((ฮผโ€˜๐ต) โ‰  0 โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1))
9795, 96bi2anan9 636 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (((ฮผโ€˜๐ด) โ‰  0 โˆง (ฮผโ€˜๐ต) โ‰  0) โ†” (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1)))
98973adant3 1129 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (((ฮผโ€˜๐ด) โ‰  0 โˆง (ฮผโ€˜๐ต) โ‰  0) โ†” (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค 1 โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ต) โ‰ค 1)))
99 nnmulcl 12276 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„•)
100993adant3 1129 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„•)
101 issqf 27096 . . . 4 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„• โ†’ ((ฮผโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โ‰  0 โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค 1))
102100, 101syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ((ฮผโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โ‰  0 โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค 1))
10394, 98, 1023imtr4d 293 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ (((ฮผโ€˜๐ด) โ‰  0 โˆง (ฮผโ€˜๐ต) โ‰  0) โ†’ (ฮผโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โ‰  0))
104103imp 405 1 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โˆง ((ฮผโ€˜๐ด) โ‰  0 โˆง (ฮผโ€˜๐ต) โ‰  0)) โ†’ (ฮผโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โ‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  โˆ€wral 3058  ifcif 4532   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11146  โ„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   ยท cmul 11153   < clt 11288   โ‰ค cle 11289   โˆ’ cmin 11484  โ„•cn 12252  โ„•0cn0 12512  โ„คcz 12598   gcd cgcd 16478  โ„™cprime 16651   pCnt cpc 16814  ฮผcmu 27055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-dvds 16241  df-gcd 16479  df-prm 16652  df-pc 16815  df-mu 27061
This theorem is referenced by:  mumul  27141
  Copyright terms: Public domain W3C validator