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Theorem mumullem2 25197
Description: Lemma for mumul 25198. The product of two coprime squarefree numbers is squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mumullem2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) ≠ 0)

Proof of Theorem mumullem2
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26 3211 . . . 4 (∀𝑝 ∈ ℙ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1 ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1))
2 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
3 simpl1 1242 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
42, 3pccld 15836 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
54nn0red 11599 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ)
6 simpl2 1244 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℕ)
72, 6pccld 15836 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ0)
87nn0red 11599 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ)
9 1red 10294 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℝ)
10 le2add 10764 . . . . . . . 8 ((((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)) → (((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1) → ((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)) ≤ (1 + 1)))
115, 8, 9, 9, 10syl22anc 867 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1) → ((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)) ≤ (1 + 1)))
12 ax-1ne0 10258 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ 0
13 simpl3 1246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
1413oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) = (𝑝 pCnt 1))
153nnzd 11728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
166nnzd 11728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
17 pcgcd 15863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) = if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), (𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)))
182, 15, 16, 17syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) = if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), (𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)))
19 pc1 15841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 pCnt 1) = 0)
2019adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 1) = 0)
2114, 18, 203eqtr3d 2807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), (𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)) = 0)
22 ifid 4282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), 1, 1) = 1
23 ifeq12 4260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 = (𝑝 pCnt 𝐴) ∧ 1 = (𝑝 pCnt 𝐵)) → if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), 1, 1) = if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), (𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)))
2422, 23syl5eqr 2813 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 = (𝑝 pCnt 𝐴) ∧ 1 = (𝑝 pCnt 𝐵)) → 1 = if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), (𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)))
2524eqeq1d 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 = (𝑝 pCnt 𝐴) ∧ 1 = (𝑝 pCnt 𝐵)) → (1 = 0 ↔ if((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt 𝐵), (𝑝 pCnt 𝐴), (𝑝 pCnt 𝐵)) = 0))
2621, 25syl5ibrcom 238 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((1 = (𝑝 pCnt 𝐴) ∧ 1 = (𝑝 pCnt 𝐵)) → 1 = 0))
2726necon3ad 2950 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (1 ≠ 0 → ¬ (1 = (𝑝 pCnt 𝐴) ∧ 1 = (𝑝 pCnt 𝐵))))
2812, 27mpi 20 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ¬ (1 = (𝑝 pCnt 𝐴) ∧ 1 = (𝑝 pCnt 𝐵)))
29 ax-1cn 10247 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
305recnd 10322 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℂ)
31 subeq0 10561 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℂ) → ((1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) = 0 ↔ 1 = (𝑝 pCnt 𝐴)))
3229, 30, 31sylancr 581 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) = 0 ↔ 1 = (𝑝 pCnt 𝐴)))
338recnd 10322 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℂ)
34 subeq0 10561 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℂ) → ((1 − (𝑝 pCnt 𝐵)) = 0 ↔ 1 = (𝑝 pCnt 𝐵)))
3529, 33, 34sylancr 581 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((1 − (𝑝 pCnt 𝐵)) = 0 ↔ 1 = (𝑝 pCnt 𝐵)))
3632, 35anbi12d 624 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) = 0 ∧ (1 − (𝑝 pCnt 𝐵)) = 0) ↔ (1 = (𝑝 pCnt 𝐴) ∧ 1 = (𝑝 pCnt 𝐵))))
3728, 36mtbird 316 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ¬ ((1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) = 0 ∧ (1 − (𝑝 pCnt 𝐵)) = 0))
3837adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1)) → ¬ ((1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) = 0 ∧ (1 − (𝑝 pCnt 𝐵)) = 0))
39 eqcom 2772 . . . . . . . . . . 11 ((1 + 1) = ((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)) = (1 + 1))
40 1re 10293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ
4140, 40readdcli 10309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) ∈ ℝ
4241recni 10308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + 1) ∈ ℂ
434, 7nn0addcld 11602 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)) ∈ ℕ0)
4443nn0red 11599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)) ∈ ℝ)
4544recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)) ∈ ℂ)
46 subeq0 10561 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 + 1) ∈ ℂ ∧ ((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)) ∈ ℂ) → (((1 + 1) − ((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵))) = 0 ↔ (1 + 1) = ((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵))))
4742, 45, 46sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((1 + 1) − ((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵))) = 0 ↔ (1 + 1) = ((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵))))
4847, 39syl6bb 278 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((1 + 1) − ((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵))) = 0 ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)) = (1 + 1)))
499recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℂ)
5049, 49, 30, 33addsub4d 10693 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((1 + 1) − ((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵))) = ((1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) + (1 − (𝑝 pCnt 𝐵))))
5150eqeq1d 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((1 + 1) − ((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵))) = 0 ↔ ((1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) + (1 − (𝑝 pCnt 𝐵))) = 0))
5248, 51bitr3d 272 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)) = (1 + 1) ↔ ((1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) + (1 − (𝑝 pCnt 𝐵))) = 0))
5352adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1)) → (((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)) = (1 + 1) ↔ ((1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) + (1 − (𝑝 pCnt 𝐵))) = 0))
54 subge0 10795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1))
5540, 5, 54sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (0 ≤ (1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1))
56 subge0 10795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − (𝑝 pCnt 𝐵)) ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1))
5740, 8, 56sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (0 ≤ (1 − (𝑝 pCnt 𝐵)) ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1))
5855, 57anbi12d 624 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((0 ≤ (1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) ∧ 0 ≤ (1 − (𝑝 pCnt 𝐵))) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1)))
59 resubcl 10599 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ) → (1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ)
6040, 5, 59sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ)
61 resubcl 10599 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℝ) → (1 − (𝑝 pCnt 𝐵)) ∈ ℝ)
6240, 8, 61sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (1 − (𝑝 pCnt 𝐵)) ∈ ℝ)
63 add20 10794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − (𝑝 pCnt 𝐴))) ∧ ((1 − (𝑝 pCnt 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − (𝑝 pCnt 𝐵)))) → (((1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) + (1 − (𝑝 pCnt 𝐵))) = 0 ↔ ((1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) = 0 ∧ (1 − (𝑝 pCnt 𝐵)) = 0)))
6463an4s 650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (1 − (𝑝 pCnt 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) ∧ 0 ≤ (1 − (𝑝 pCnt 𝐵)))) → (((1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) + (1 − (𝑝 pCnt 𝐵))) = 0 ↔ ((1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) = 0 ∧ (1 − (𝑝 pCnt 𝐵)) = 0)))
6564ex 401 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (1 − (𝑝 pCnt 𝐵)) ∈ ℝ) → ((0 ≤ (1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) ∧ 0 ≤ (1 − (𝑝 pCnt 𝐵))) → (((1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) + (1 − (𝑝 pCnt 𝐵))) = 0 ↔ ((1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) = 0 ∧ (1 − (𝑝 pCnt 𝐵)) = 0))))
6660, 62, 65syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((0 ≤ (1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) ∧ 0 ≤ (1 − (𝑝 pCnt 𝐵))) → (((1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) + (1 − (𝑝 pCnt 𝐵))) = 0 ↔ ((1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) = 0 ∧ (1 − (𝑝 pCnt 𝐵)) = 0))))
6758, 66sylbird 251 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1) → (((1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) + (1 − (𝑝 pCnt 𝐵))) = 0 ↔ ((1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) = 0 ∧ (1 − (𝑝 pCnt 𝐵)) = 0))))
6867imp 395 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1)) → (((1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) + (1 − (𝑝 pCnt 𝐵))) = 0 ↔ ((1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) = 0 ∧ (1 − (𝑝 pCnt 𝐵)) = 0)))
6953, 68bitrd 270 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1)) → (((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)) = (1 + 1) ↔ ((1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) = 0 ∧ (1 − (𝑝 pCnt 𝐵)) = 0)))
7039, 69syl5bb 274 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1)) → ((1 + 1) = ((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)) ↔ ((1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) = 0 ∧ (1 − (𝑝 pCnt 𝐵)) = 0)))
7170necon3abid 2973 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1)) → ((1 + 1) ≠ ((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)) ↔ ¬ ((1 − (𝑝 pCnt 𝐴)) = 0 ∧ (1 − (𝑝 pCnt 𝐵)) = 0)))
7238, 71mpbird 248 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1)) → (1 + 1) ≠ ((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)))
7372ex 401 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1) → (1 + 1) ≠ ((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵))))
7411, 73jcad 508 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1) → (((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)) ≤ (1 + 1) ∧ (1 + 1) ≠ ((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)))))
75 nnz 11646 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
76 nnne0 11310 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
7775, 76jca 507 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0))
783, 77syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0))
79 nnz 11646 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
80 nnne0 11310 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
8179, 80jca 507 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0))
826, 81syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0))
83 pcmul 15837 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)))
842, 78, 82, 83syl3anc 1490 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)))
8584breq1d 4819 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (𝐴 · 𝐵)) ≤ 1 ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)) ≤ 1))
86 1nn0 11556 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
87 nn0leltp1 11683 . . . . . . . 8 ((((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)) ≤ 1 ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)) < (1 + 1)))
8843, 86, 87sylancl 580 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)) ≤ 1 ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)) < (1 + 1)))
89 ltlen 10392 . . . . . . . 8 ((((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (1 + 1) ∈ ℝ) → (((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)) < (1 + 1) ↔ (((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)) ≤ (1 + 1) ∧ (1 + 1) ≠ ((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)))))
9044, 41, 89sylancl 580 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)) < (1 + 1) ↔ (((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)) ≤ (1 + 1) ∧ (1 + 1) ≠ ((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)))))
9185, 88, 903bitrd 296 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (𝐴 · 𝐵)) ≤ 1 ↔ (((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)) ≤ (1 + 1) ∧ (1 + 1) ≠ ((𝑝 pCnt 𝐴) + (𝑝 pCnt 𝐵)))))
9274, 91sylibrd 250 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1) → (𝑝 pCnt (𝐴 · 𝐵)) ≤ 1))
9392ralimdva 3109 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → (∀𝑝 ∈ ℙ ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (𝐴 · 𝐵)) ≤ 1))
941, 93syl5bir 234 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → ((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1 ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (𝐴 · 𝐵)) ≤ 1))
95 issqf 25153 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1))
96 issqf 25153 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → ((μ‘𝐵) ≠ 0 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1))
9795, 96bi2anan9 629 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1 ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1)))
98973adant3 1162 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → (((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1 ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1)))
99 nnmulcl 11299 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
100993adant3 1162 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
101 issqf 25153 . . . 4 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ → ((μ‘(𝐴 · 𝐵)) ≠ 0 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (𝐴 · 𝐵)) ≤ 1))
102100, 101syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → ((μ‘(𝐴 · 𝐵)) ≠ 0 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (𝐴 · 𝐵)) ≤ 1))
10394, 98, 1023imtr4d 285 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → (((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) ≠ 0))
104103imp 395 1 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ ((μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (μ‘(𝐴 · 𝐵)) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  ifcif 4243   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  cn 11274  0cn0 11538  cz 11624   gcd cgcd 15499  cprime 15667   pCnt cpc 15822  μcmu 25112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-dvds 15268  df-gcd 15500  df-prm 15668  df-pc 15823  df-mu 25118
This theorem is referenced by:  mumul  25198
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