Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | r19.26 3111 |
. . . 4
โข
(โ๐ โ
โ ((๐ pCnt ๐ด) โค 1 โง (๐ pCnt ๐ต) โค 1) โ (โ๐ โ โ (๐ pCnt ๐ด) โค 1 โง โ๐ โ โ (๐ pCnt ๐ต) โค 1)) |
2 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ ๐ โ โ) |
3 | | simpl1 1192 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ ๐ด โ โ) |
4 | 2, 3 | pccld 16730 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ (๐ pCnt ๐ด) โ
โ0) |
5 | 4 | nn0red 12482 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ (๐ pCnt ๐ด) โ โ) |
6 | | simpl2 1193 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ ๐ต โ โ) |
7 | 2, 6 | pccld 16730 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ (๐ pCnt ๐ต) โ
โ0) |
8 | 7 | nn0red 12482 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ (๐ pCnt ๐ต) โ โ) |
9 | | 1red 11164 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ 1 โ
โ) |
10 | | le2add 11645 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ pCnt ๐ด) โ โ โง (๐ pCnt ๐ต) โ โ) โง (1 โ โ
โง 1 โ โ)) โ (((๐ pCnt ๐ด) โค 1 โง (๐ pCnt ๐ต) โค 1) โ ((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต)) โค (1 + 1))) |
11 | 5, 8, 9, 9, 10 | syl22anc 838 |
. . . . . . 7
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ (((๐ pCnt ๐ด) โค 1 โง (๐ pCnt ๐ต) โค 1) โ ((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต)) โค (1 + 1))) |
12 | | ax-1ne0 11128 |
. . . . . . . . . . . 12
โข 1 โ
0 |
13 | | simpl3 1194 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ (๐ด gcd ๐ต) = 1) |
14 | 13 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ (๐ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) = (๐ pCnt 1)) |
15 | 3 | nnzd 12534 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ ๐ด โ โค) |
16 | 6 | nnzd 12534 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ ๐ต โ โค) |
17 | | pcgcd 16758 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ (๐ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) = if((๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต), (๐ pCnt ๐ด), (๐ pCnt ๐ต))) |
18 | 2, 15, 16, 17 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ (๐ pCnt (๐ด gcd ๐ต)) = if((๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต), (๐ pCnt ๐ด), (๐ pCnt ๐ต))) |
19 | | pc1 16735 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ โ โ (๐ pCnt 1) = 0) |
20 | 19 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ (๐ pCnt 1) = 0) |
21 | 14, 18, 20 | 3eqtr3d 2781 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ if((๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต), (๐ pCnt ๐ด), (๐ pCnt ๐ต)) = 0) |
22 | | ifid 4530 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข if((๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต), 1, 1) = 1 |
23 | | ifeq12 4508 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((1 =
(๐ pCnt ๐ด) โง 1 = (๐ pCnt ๐ต)) โ if((๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต), 1, 1) = if((๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต), (๐ pCnt ๐ด), (๐ pCnt ๐ต))) |
24 | 22, 23 | eqtr3id 2787 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((1 =
(๐ pCnt ๐ด) โง 1 = (๐ pCnt ๐ต)) โ 1 = if((๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต), (๐ pCnt ๐ด), (๐ pCnt ๐ต))) |
25 | 24 | eqeq1d 2735 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((1 =
(๐ pCnt ๐ด) โง 1 = (๐ pCnt ๐ต)) โ (1 = 0 โ if((๐ pCnt ๐ด) โค (๐ pCnt ๐ต), (๐ pCnt ๐ด), (๐ pCnt ๐ต)) = 0)) |
26 | 21, 25 | syl5ibrcom 247 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ ((1 = (๐ pCnt ๐ด) โง 1 = (๐ pCnt ๐ต)) โ 1 = 0)) |
27 | 26 | necon3ad 2953 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ (1 โ 0 โ
ยฌ (1 = (๐ pCnt ๐ด) โง 1 = (๐ pCnt ๐ต)))) |
28 | 12, 27 | mpi 20 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ ยฌ (1 = (๐ pCnt ๐ด) โง 1 = (๐ pCnt ๐ต))) |
29 | | ax-1cn 11117 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข 1 โ
โ |
30 | 5 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ (๐ pCnt ๐ด) โ โ) |
31 | | subeq0 11435 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((1
โ โ โง (๐
pCnt ๐ด) โ โ)
โ ((1 โ (๐ pCnt
๐ด)) = 0 โ 1 = (๐ pCnt ๐ด))) |
32 | 29, 30, 31 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ ((1 โ (๐ pCnt ๐ด)) = 0 โ 1 = (๐ pCnt ๐ด))) |
33 | 8 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ (๐ pCnt ๐ต) โ โ) |
34 | | subeq0 11435 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((1
โ โ โง (๐
pCnt ๐ต) โ โ)
โ ((1 โ (๐ pCnt
๐ต)) = 0 โ 1 = (๐ pCnt ๐ต))) |
35 | 29, 33, 34 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ ((1 โ (๐ pCnt ๐ต)) = 0 โ 1 = (๐ pCnt ๐ต))) |
36 | 32, 35 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ (((1 โ (๐ pCnt ๐ด)) = 0 โง (1 โ (๐ pCnt ๐ต)) = 0) โ (1 = (๐ pCnt ๐ด) โง 1 = (๐ pCnt ๐ต)))) |
37 | 28, 36 | mtbird 325 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ ยฌ ((1 โ
(๐ pCnt ๐ด)) = 0 โง (1 โ (๐ pCnt ๐ต)) = 0)) |
38 | 37 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โง ((๐ pCnt ๐ด) โค 1 โง (๐ pCnt ๐ต) โค 1)) โ ยฌ ((1 โ (๐ pCnt ๐ด)) = 0 โง (1 โ (๐ pCnt ๐ต)) = 0)) |
39 | | eqcom 2740 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((1 + 1)
= ((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต)) โ ((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต)) = (1 + 1)) |
40 | | 1re 11163 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข 1 โ
โ |
41 | 40, 40 | readdcli 11178 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (1 + 1)
โ โ |
42 | 41 | recni 11177 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (1 + 1)
โ โ |
43 | 4, 7 | nn0addcld 12485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ ((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต)) โ
โ0) |
44 | 43 | nn0red 12482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ ((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต)) โ โ) |
45 | 44 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ ((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต)) โ โ) |
46 | | subeq0 11435 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (((1 + 1)
โ โ โง ((๐
pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต)) โ โ) โ (((1 + 1) โ
((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต))) = 0 โ (1 + 1) = ((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต)))) |
47 | 42, 45, 46 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ (((1 + 1) โ
((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต))) = 0 โ (1 + 1) = ((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต)))) |
48 | 47, 39 | bitrdi 287 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ (((1 + 1) โ
((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต))) = 0 โ ((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต)) = (1 + 1))) |
49 | 9 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ 1 โ
โ) |
50 | 49, 49, 30, 33 | addsub4d 11567 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ ((1 + 1) โ
((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต))) = ((1 โ (๐ pCnt ๐ด)) + (1 โ (๐ pCnt ๐ต)))) |
51 | 50 | eqeq1d 2735 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ (((1 + 1) โ
((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต))) = 0 โ ((1 โ (๐ pCnt ๐ด)) + (1 โ (๐ pCnt ๐ต))) = 0)) |
52 | 48, 51 | bitr3d 281 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ (((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต)) = (1 + 1) โ ((1 โ (๐ pCnt ๐ด)) + (1 โ (๐ pCnt ๐ต))) = 0)) |
53 | 52 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โง ((๐ pCnt ๐ด) โค 1 โง (๐ pCnt ๐ต) โค 1)) โ (((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต)) = (1 + 1) โ ((1 โ (๐ pCnt ๐ด)) + (1 โ (๐ pCnt ๐ต))) = 0)) |
54 | | subge0 11676 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((1
โ โ โง (๐
pCnt ๐ด) โ โ)
โ (0 โค (1 โ (๐ pCnt ๐ด)) โ (๐ pCnt ๐ด) โค 1)) |
55 | 40, 5, 54 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ (0 โค (1 โ
(๐ pCnt ๐ด)) โ (๐ pCnt ๐ด) โค 1)) |
56 | | subge0 11676 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((1
โ โ โง (๐
pCnt ๐ต) โ โ)
โ (0 โค (1 โ (๐ pCnt ๐ต)) โ (๐ pCnt ๐ต) โค 1)) |
57 | 40, 8, 56 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ (0 โค (1 โ
(๐ pCnt ๐ต)) โ (๐ pCnt ๐ต) โค 1)) |
58 | 55, 57 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ ((0 โค (1 โ
(๐ pCnt ๐ด)) โง 0 โค (1 โ (๐ pCnt ๐ต))) โ ((๐ pCnt ๐ด) โค 1 โง (๐ pCnt ๐ต) โค 1))) |
59 | | resubcl 11473 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((1
โ โ โง (๐
pCnt ๐ด) โ โ)
โ (1 โ (๐ pCnt
๐ด)) โ
โ) |
60 | 40, 5, 59 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ (1 โ (๐ pCnt ๐ด)) โ โ) |
61 | | resubcl 11473 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((1
โ โ โง (๐
pCnt ๐ต) โ โ)
โ (1 โ (๐ pCnt
๐ต)) โ
โ) |
62 | 40, 8, 61 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ (1 โ (๐ pCnt ๐ต)) โ โ) |
63 | | add20 11675 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((((1
โ (๐ pCnt ๐ด)) โ โ โง 0 โค
(1 โ (๐ pCnt ๐ด))) โง ((1 โ (๐ pCnt ๐ต)) โ โ โง 0 โค (1 โ
(๐ pCnt ๐ต)))) โ (((1 โ (๐ pCnt ๐ด)) + (1 โ (๐ pCnt ๐ต))) = 0 โ ((1 โ (๐ pCnt ๐ด)) = 0 โง (1 โ (๐ pCnt ๐ต)) = 0))) |
64 | 63 | an4s 659 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((((1
โ (๐ pCnt ๐ด)) โ โ โง (1
โ (๐ pCnt ๐ต)) โ โ) โง (0 โค
(1 โ (๐ pCnt ๐ด)) โง 0 โค (1 โ
(๐ pCnt ๐ต)))) โ (((1 โ (๐ pCnt ๐ด)) + (1 โ (๐ pCnt ๐ต))) = 0 โ ((1 โ (๐ pCnt ๐ด)) = 0 โง (1 โ (๐ pCnt ๐ต)) = 0))) |
65 | 64 | ex 414 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((1
โ (๐ pCnt ๐ด)) โ โ โง (1
โ (๐ pCnt ๐ต)) โ โ) โ ((0
โค (1 โ (๐ pCnt
๐ด)) โง 0 โค (1 โ
(๐ pCnt ๐ต))) โ (((1 โ (๐ pCnt ๐ด)) + (1 โ (๐ pCnt ๐ต))) = 0 โ ((1 โ (๐ pCnt ๐ด)) = 0 โง (1 โ (๐ pCnt ๐ต)) = 0)))) |
66 | 60, 62, 65 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ ((0 โค (1 โ
(๐ pCnt ๐ด)) โง 0 โค (1 โ (๐ pCnt ๐ต))) โ (((1 โ (๐ pCnt ๐ด)) + (1 โ (๐ pCnt ๐ต))) = 0 โ ((1 โ (๐ pCnt ๐ด)) = 0 โง (1 โ (๐ pCnt ๐ต)) = 0)))) |
67 | 58, 66 | sylbird 260 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ (((๐ pCnt ๐ด) โค 1 โง (๐ pCnt ๐ต) โค 1) โ (((1 โ (๐ pCnt ๐ด)) + (1 โ (๐ pCnt ๐ต))) = 0 โ ((1 โ (๐ pCnt ๐ด)) = 0 โง (1 โ (๐ pCnt ๐ต)) = 0)))) |
68 | 67 | imp 408 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โง ((๐ pCnt ๐ด) โค 1 โง (๐ pCnt ๐ต) โค 1)) โ (((1 โ (๐ pCnt ๐ด)) + (1 โ (๐ pCnt ๐ต))) = 0 โ ((1 โ (๐ pCnt ๐ด)) = 0 โง (1 โ (๐ pCnt ๐ต)) = 0))) |
69 | 53, 68 | bitrd 279 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โง ((๐ pCnt ๐ด) โค 1 โง (๐ pCnt ๐ต) โค 1)) โ (((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต)) = (1 + 1) โ ((1 โ (๐ pCnt ๐ด)) = 0 โง (1 โ (๐ pCnt ๐ต)) = 0))) |
70 | 39, 69 | bitrid 283 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โง ((๐ pCnt ๐ด) โค 1 โง (๐ pCnt ๐ต) โค 1)) โ ((1 + 1) = ((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต)) โ ((1 โ (๐ pCnt ๐ด)) = 0 โง (1 โ (๐ pCnt ๐ต)) = 0))) |
71 | 70 | necon3abid 2977 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โง ((๐ pCnt ๐ด) โค 1 โง (๐ pCnt ๐ต) โค 1)) โ ((1 + 1) โ ((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต)) โ ยฌ ((1 โ (๐ pCnt ๐ด)) = 0 โง (1 โ (๐ pCnt ๐ต)) = 0))) |
72 | 38, 71 | mpbird 257 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โง ((๐ pCnt ๐ด) โค 1 โง (๐ pCnt ๐ต) โค 1)) โ (1 + 1) โ ((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต))) |
73 | 72 | ex 414 |
. . . . . . 7
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ (((๐ pCnt ๐ด) โค 1 โง (๐ pCnt ๐ต) โค 1) โ (1 + 1) โ ((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต)))) |
74 | 11, 73 | jcad 514 |
. . . . . 6
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ (((๐ pCnt ๐ด) โค 1 โง (๐ pCnt ๐ต) โค 1) โ (((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต)) โค (1 + 1) โง (1 + 1) โ ((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต))))) |
75 | | nnz 12528 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ
โค) |
76 | | nnne0 12195 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ 0) |
77 | 75, 76 | jca 513 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ด โ โ โ (๐ด โ โค โง ๐ด โ 0)) |
78 | 3, 77 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ (๐ด โ โค โง ๐ด โ 0)) |
79 | | nnz 12528 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ต โ โ โ ๐ต โ
โค) |
80 | | nnne0 12195 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ต โ โ โ ๐ต โ 0) |
81 | 79, 80 | jca 513 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ต โ โ โ (๐ต โ โค โง ๐ต โ 0)) |
82 | 6, 81 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ (๐ต โ โค โง ๐ต โ 0)) |
83 | | pcmul 16731 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โ โ โง (๐ด โ โค โง ๐ด โ 0) โง (๐ต โ โค โง ๐ต โ 0)) โ (๐ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต))) |
84 | 2, 78, 82, 83 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ (๐ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต))) |
85 | 84 | breq1d 5119 |
. . . . . . 7
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ ((๐ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) โค 1 โ ((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต)) โค 1)) |
86 | | 1nn0 12437 |
. . . . . . . 8
โข 1 โ
โ0 |
87 | | nn0leltp1 12570 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต)) โ โ0 โง 1 โ
โ0) โ (((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต)) โค 1 โ ((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต)) < (1 + 1))) |
88 | 43, 86, 87 | sylancl 587 |
. . . . . . 7
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ (((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต)) โค 1 โ ((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต)) < (1 + 1))) |
89 | | ltlen 11264 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต)) โ โ โง (1 + 1) โ
โ) โ (((๐ pCnt
๐ด) + (๐ pCnt ๐ต)) < (1 + 1) โ (((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต)) โค (1 + 1) โง (1 + 1) โ ((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต))))) |
90 | 44, 41, 89 | sylancl 587 |
. . . . . . 7
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ (((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต)) < (1 + 1) โ (((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต)) โค (1 + 1) โง (1 + 1) โ ((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต))))) |
91 | 85, 88, 90 | 3bitrd 305 |
. . . . . 6
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ ((๐ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) โค 1 โ (((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต)) โค (1 + 1) โง (1 + 1) โ ((๐ pCnt ๐ด) + (๐ pCnt ๐ต))))) |
92 | 74, 91 | sylibrd 259 |
. . . . 5
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ๐ โ โ) โ (((๐ pCnt ๐ด) โค 1 โง (๐ pCnt ๐ต) โค 1) โ (๐ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) โค 1)) |
93 | 92 | ralimdva 3161 |
. . . 4
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ (โ๐ โ โ ((๐ pCnt ๐ด) โค 1 โง (๐ pCnt ๐ต) โค 1) โ โ๐ โ โ (๐ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) โค 1)) |
94 | 1, 93 | biimtrrid 242 |
. . 3
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ ((โ๐ โ โ (๐ pCnt ๐ด) โค 1 โง โ๐ โ โ (๐ pCnt ๐ต) โค 1) โ โ๐ โ โ (๐ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) โค 1)) |
95 | | issqf 26508 |
. . . . 5
โข (๐ด โ โ โ
((ฮผโ๐ด) โ 0
โ โ๐ โ
โ (๐ pCnt ๐ด) โค 1)) |
96 | | issqf 26508 |
. . . . 5
โข (๐ต โ โ โ
((ฮผโ๐ต) โ 0
โ โ๐ โ
โ (๐ pCnt ๐ต) โค 1)) |
97 | 95, 96 | bi2anan9 638 |
. . . 4
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ
(((ฮผโ๐ด) โ 0
โง (ฮผโ๐ต) โ
0) โ (โ๐ โ
โ (๐ pCnt ๐ด) โค 1 โง โ๐ โ โ (๐ pCnt ๐ต) โค 1))) |
98 | 97 | 3adant3 1133 |
. . 3
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ (((ฮผโ๐ด) โ 0 โง (ฮผโ๐ต) โ 0) โ (โ๐ โ โ (๐ pCnt ๐ด) โค 1 โง โ๐ โ โ (๐ pCnt ๐ต) โค 1))) |
99 | | nnmulcl 12185 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท ๐ต) โ โ) |
100 | 99 | 3adant3 1133 |
. . . 4
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ (๐ด ยท ๐ต) โ โ) |
101 | | issqf 26508 |
. . . 4
โข ((๐ด ยท ๐ต) โ โ โ ((ฮผโ(๐ด ยท ๐ต)) โ 0 โ โ๐ โ โ (๐ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) โค 1)) |
102 | 100, 101 | syl 17 |
. . 3
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ ((ฮผโ(๐ด ยท ๐ต)) โ 0 โ โ๐ โ โ (๐ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) โค 1)) |
103 | 94, 98, 102 | 3imtr4d 294 |
. 2
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ (((ฮผโ๐ด) โ 0 โง (ฮผโ๐ต) โ 0) โ
(ฮผโ(๐ด ยท
๐ต)) โ
0)) |
104 | 103 | imp 408 |
1
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โง ((ฮผโ๐ด) โ 0 โง (ฮผโ๐ต) โ 0)) โ (ฮผโ(๐ด ยท ๐ต)) โ 0) |