Theorem ccat0 14478

Description: The concatenation of two words is empty iff the two words are empty. (Contributed by AV, 4-Mar-2022.) (Revised by JJ, 18-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ccat0	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) = ∅ ↔ (𝑆 = ∅ ∧ 𝑇 = ∅)))

Proof of Theorem ccat0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatlen 14477	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
2	1	eqeq1d 2733	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = 0 ↔ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) = 0))
3		ovex 7374	. . . 4 ⊢ (𝑆 ++ 𝑇) ∈ V
4		hasheq0 14265	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ++ 𝑇) ∈ V → ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = 0 ↔ (𝑆 ++ 𝑇) = ∅))
5	3, 4	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = 0 ↔ (𝑆 ++ 𝑇) = ∅))
6		lencl 14435	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
7		nn0re 12385	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑆) ∈ ℝ)
8		nn0ge0 12401	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (♯‘𝑆))
9	7, 8	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝑆)))
10	6, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝑆)))
11		lencl 14435	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
12		nn0re 12385	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑇) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
13		nn0ge0 12401	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑇) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (♯‘𝑇))
14	12, 13	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑇) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝑇)))
15	11, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → ((♯‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝑇)))
16		add20 11624	. . . 4 ⊢ ((((♯‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ ((♯‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝑇))) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) = 0 ↔ ((♯‘𝑆) = 0 ∧ (♯‘𝑇) = 0)))
17	10, 15, 16	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) = 0 ↔ ((♯‘𝑆) = 0 ∧ (♯‘𝑇) = 0)))
18	2, 5, 17	3bitr3d 309	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) = ∅ ↔ ((♯‘𝑆) = 0 ∧ (♯‘𝑇) = 0)))
19		hasheq0 14265	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑆) = 0 ↔ 𝑆 = ∅))
20		hasheq0 14265	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → ((♯‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = ∅))
21	19, 20	bi2anan9 638	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (((♯‘𝑆) = 0 ∧ (♯‘𝑇) = 0) ↔ (𝑆 = ∅ ∧ 𝑇 = ∅)))
22	18, 21	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) = ∅ ↔ (𝑆 = ∅ ∧ 𝑇 = ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ∅c0 4278   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℝcr 11000  0cc0 11001   + caddc 11004   ≤ cle 11142  ℕ₀cn0 12376  ♯chash 14232  Word cword 14415   ++ cconcat 14472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-hash 14233  df-word 14416  df-concat 14473

This theorem is referenced by:  clwwlkccat  29962  clwwlkwwlksb  30026