MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccat0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccat0 14524
Description: The concatenation of two words is empty iff the two words are empty. (Contributed by AV, 4-Mar-2022.) (Revised by JJ, 18-Jan-2024.)
Assertion
Ref Expression
ccat0 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) = ∅ ↔ (𝑆 = ∅ ∧ 𝑇 = ∅)))

Proof of Theorem ccat0
StepHypRef Expression
1 ccatlen 14523 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
21eqeq1d 2726 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = 0 ↔ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) = 0))
3 ovex 7435 . . . 4 (𝑆 ++ 𝑇) ∈ V
4 hasheq0 14321 . . . 4 ((𝑆 ++ 𝑇) ∈ V → ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = 0 ↔ (𝑆 ++ 𝑇) = ∅))
53, 4mp1i 13 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = 0 ↔ (𝑆 ++ 𝑇) = ∅))
6 lencl 14481 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
7 nn0re 12479 . . . . . 6 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑆) ∈ ℝ)
8 nn0ge0 12495 . . . . . 6 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (♯‘𝑆))
97, 8jca 511 . . . . 5 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝑆)))
106, 9syl 17 . . . 4 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝑆)))
11 lencl 14481 . . . . 5 (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
12 nn0re 12479 . . . . . 6 ((♯‘𝑇) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
13 nn0ge0 12495 . . . . . 6 ((♯‘𝑇) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (♯‘𝑇))
1412, 13jca 511 . . . . 5 ((♯‘𝑇) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝑇)))
1511, 14syl 17 . . . 4 (𝑇 ∈ Word 𝐵 → ((♯‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝑇)))
16 add20 11724 . . . 4 ((((♯‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ ((♯‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝑇))) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) = 0 ↔ ((♯‘𝑆) = 0 ∧ (♯‘𝑇) = 0)))
1710, 15, 16syl2an 595 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐵) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) = 0 ↔ ((♯‘𝑆) = 0 ∧ (♯‘𝑇) = 0)))
182, 5, 173bitr3d 309 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) = ∅ ↔ ((♯‘𝑆) = 0 ∧ (♯‘𝑇) = 0)))
19 hasheq0 14321 . . 3 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑆) = 0 ↔ 𝑆 = ∅))
20 hasheq0 14321 . . 3 (𝑇 ∈ Word 𝐵 → ((♯‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = ∅))
2119, 20bi2anan9 636 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐵) → (((♯‘𝑆) = 0 ∧ (♯‘𝑇) = 0) ↔ (𝑆 = ∅ ∧ 𝑇 = ∅)))
2218, 21bitrd 279 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) = ∅ ↔ (𝑆 = ∅ ∧ 𝑇 = ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3466  c0 4315   class class class wbr 5139  cfv 6534  (class class class)co 7402  cr 11106  0cc0 11107   + caddc 11110  cle 11247  0cn0 12470  chash 14288  Word cword 14462   ++ cconcat 14518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-hash 14289  df-word 14463  df-concat 14519
This theorem is referenced by:  clwwlkccat  29715  clwwlkwwlksb  29779
  Copyright terms: Public domain W3C validator