Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccat0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccat0 13923
 Description: The concatenation of two words is empty iff the two words are empty. (Contributed by AV, 4-Mar-2022.) (Revised by JJ, 18-Jan-2024.)
Assertion
Ref Expression
ccat0 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) = ∅ ↔ (𝑆 = ∅ ∧ 𝑇 = ∅)))

Proof of Theorem ccat0
StepHypRef Expression
1 ccatlen 13921 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
21eqeq1d 2800 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = 0 ↔ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) = 0))
3 ovex 7169 . . . 4 (𝑆 ++ 𝑇) ∈ V
4 hasheq0 13723 . . . 4 ((𝑆 ++ 𝑇) ∈ V → ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = 0 ↔ (𝑆 ++ 𝑇) = ∅))
53, 4mp1i 13 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = 0 ↔ (𝑆 ++ 𝑇) = ∅))
6 lencl 13879 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
7 nn0re 11897 . . . . . 6 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑆) ∈ ℝ)
8 nn0ge0 11913 . . . . . 6 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (♯‘𝑆))
97, 8jca 515 . . . . 5 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝑆)))
106, 9syl 17 . . . 4 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝑆)))
11 lencl 13879 . . . . 5 (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
12 nn0re 11897 . . . . . 6 ((♯‘𝑇) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
13 nn0ge0 11913 . . . . . 6 ((♯‘𝑇) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (♯‘𝑇))
1412, 13jca 515 . . . . 5 ((♯‘𝑇) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝑇)))
1511, 14syl 17 . . . 4 (𝑇 ∈ Word 𝐵 → ((♯‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝑇)))
16 add20 11144 . . . 4 ((((♯‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ ((♯‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝑇))) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) = 0 ↔ ((♯‘𝑆) = 0 ∧ (♯‘𝑇) = 0)))
1710, 15, 16syl2an 598 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐵) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) = 0 ↔ ((♯‘𝑆) = 0 ∧ (♯‘𝑇) = 0)))
182, 5, 173bitr3d 312 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) = ∅ ↔ ((♯‘𝑆) = 0 ∧ (♯‘𝑇) = 0)))
19 hasheq0 13723 . . 3 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑆) = 0 ↔ 𝑆 = ∅))
20 hasheq0 13723 . . 3 (𝑇 ∈ Word 𝐵 → ((♯‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = ∅))
2119, 20bi2anan9 638 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐵) → (((♯‘𝑆) = 0 ∧ (♯‘𝑇) = 0) ↔ (𝑆 = ∅ ∧ 𝑇 = ∅)))
2218, 21bitrd 282 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) = ∅ ↔ (𝑆 = ∅ ∧ 𝑇 = ∅)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  ∅c0 4243   class class class wbr 5031  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  ℝcr 10528  0cc0 10529   + caddc 10532   ≤ cle 10668  ℕ0cn0 11888  ♯chash 13689  Word cword 13860   ++ cconcat 13916 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-hash 13690  df-word 13861  df-concat 13917 This theorem is referenced by:  clwwlkccat  27785  clwwlkwwlksb  27849
 Copyright terms: Public domain W3C validator