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Theorem 4sqlem16 16396
Description: Lemma for 4sq 16400. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5 (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
4sq.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
4sq.a (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sq.b (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
4sq.c (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
4sq.d (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
4sq.e 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.f 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.g 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.h 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.r 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
4sq.p (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
Assertion
Ref Expression
4sqlem16 (𝜑 → (𝑅𝑀 ∧ ((𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃))))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐺   𝑛,𝐻   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛   𝐷,𝑛   𝑛,𝐹   𝑖,𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   𝑆,𝑖,𝑛   𝑅,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

Proof of Theorem 4sqlem16
StepHypRef Expression
1 4sq.r . . 3 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
2 4sq.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
3 4sq.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
4 eluz2nn 12366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) → 𝑀 ∈ ℕ)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
6 4sq.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
72, 5, 64sqlem5 16378 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ))
87simpld 498 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
9 zsqcl 13586 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
1110zred 12168 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
12 4sq.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
13 4sq.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
1412, 5, 134sqlem5 16378 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ∈ ℤ ∧ ((𝐵𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ))
1514simpld 498 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
16 zsqcl 13586 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
1817zred 12168 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℝ)
1911, 18readdcld 10748 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℝ)
20 4sq.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
21 4sq.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
2220, 5, 214sqlem5 16378 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺 ∈ ℤ ∧ ((𝐶𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ))
2322simpld 498 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ ℤ)
24 zsqcl 13586 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺↑2) ∈ ℤ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℤ)
2625zred 12168 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℝ)
27 4sq.d . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
28 4sq.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
2927, 5, 284sqlem5 16378 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ∧ ((𝐷𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ))
3029simpld 498 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ∈ ℤ)
31 zsqcl 13586 . . . . . . . . . 10 (𝐻 ∈ ℤ → (𝐻↑2) ∈ ℤ)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℤ)
3332zred 12168 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℝ)
3426, 33readdcld 10748 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℝ)
355nnred 11731 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
3635resqcld 13703 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℝ)
3736rehalfcld 11963 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℝ)
3837rehalfcld 11963 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℝ)
392, 5, 64sqlem7 16380 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
4012, 5, 134sqlem7 16380 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
4111, 18, 38, 38, 39, 40le2addd 11337 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
4237recnd 10747 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℂ)
43422halvesd 11962 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) = ((𝑀↑2) / 2))
4441, 43breqtrd 5056 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2))
4520, 5, 214sqlem7 16380 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
4627, 5, 284sqlem7 16380 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐻↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
4726, 33, 38, 38, 45, 46le2addd 11337 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
4847, 43breqtrd 5056 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2))
4919, 34, 37, 37, 44, 48le2addd 11337 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≤ (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)))
5036recnd 10747 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
51502halvesd 11962 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)) = (𝑀↑2))
5249, 51breqtrd 5056 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≤ (𝑀↑2))
5335recnd 10747 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
5453sqvald 13599 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
5552, 54breqtrd 5056 . . . 4 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≤ (𝑀 · 𝑀))
5619, 34readdcld 10748 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ)
575nngt0d 11765 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 𝑀)
58 ledivmul 11594 . . . . 5 (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ≤ 𝑀 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≤ (𝑀 · 𝑀)))
5956, 35, 35, 57, 58syl112anc 1375 . . . 4 (𝜑 → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ≤ 𝑀 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≤ (𝑀 · 𝑀)))
6055, 59mpbird 260 . . 3 (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ≤ 𝑀)
611, 60eqbrtrid 5065 . 2 (𝜑𝑅𝑀)
62 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑅 = 0) → 𝑅 = 0)
631, 62eqtr3id 2787 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑅 = 0) → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 0)
6456recnd 10747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℂ)
655nnne0d 11766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ≠ 0)
6664, 53, 65diveq0ad 11504 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 0 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0))
67 zsqcl2 13594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈ ℕ0)
688, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℕ0)
69 zsqcl2 13594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈ ℕ0)
7015, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℕ0)
7168, 70nn0addcld 12040 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℕ0)
7271nn0ge0d 12039 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
73 zsqcl2 13594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺↑2) ∈ ℕ0)
7423, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℕ0)
75 zsqcl2 13594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐻 ∈ ℤ → (𝐻↑2) ∈ ℕ0)
7630, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℕ0)
7774, 76nn0addcld 12040 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℕ0)
7877nn0ge0d 12039 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))
79 add20 11230 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∧ (((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0)))
8019, 72, 34, 78, 79syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0)))
8166, 80bitrd 282 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 0 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0)))
8281biimpa 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 0) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0))
8363, 82syldan 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 = 0) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0))
8483simpld 498 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 = 0) → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0)
8568nn0ge0d 12039 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝐸↑2))
8670nn0ge0d 12039 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝐹↑2))
87 add20 11230 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐸↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐸↑2)) ∧ ((𝐹↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹↑2))) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ↔ ((𝐸↑2) = 0 ∧ (𝐹↑2) = 0)))
8811, 85, 18, 86, 87syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ↔ ((𝐸↑2) = 0 ∧ (𝐹↑2) = 0)))
8988biimpa 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0) → ((𝐸↑2) = 0 ∧ (𝐹↑2) = 0))
9084, 89syldan 594 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 = 0) → ((𝐸↑2) = 0 ∧ (𝐹↑2) = 0))
9190simpld 498 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 = 0) → (𝐸↑2) = 0)
922, 5, 6, 914sqlem9 16382 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2))
9390simprd 499 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 = 0) → (𝐹↑2) = 0)
9412, 5, 13, 934sqlem9 16382 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2))
955nnsqcld 13697 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℕ)
9695nnzd 12167 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
97 zsqcl 13586 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
982, 97syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
99 zsqcl 13586 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
10012, 99syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
101 dvds2add 15735 . . . . . . . . 9 (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℤ) → (((𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
10296, 98, 100, 101syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
103102adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅 = 0) → (((𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
10492, 94, 103mp2and 699 . . . . . 6 ((𝜑𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
10583simprd 499 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 = 0) → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0)
10674nn0ge0d 12039 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝐺↑2))
10776nn0ge0d 12039 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝐻↑2))
108 add20 11230 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐺↑2)) ∧ ((𝐻↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐻↑2))) → (((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0 ↔ ((𝐺↑2) = 0 ∧ (𝐻↑2) = 0)))
10926, 106, 33, 107, 108syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0 ↔ ((𝐺↑2) = 0 ∧ (𝐻↑2) = 0)))
110109biimpa 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0) → ((𝐺↑2) = 0 ∧ (𝐻↑2) = 0))
111105, 110syldan 594 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 = 0) → ((𝐺↑2) = 0 ∧ (𝐻↑2) = 0))
112111simpld 498 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 = 0) → (𝐺↑2) = 0)
11320, 5, 21, 1124sqlem9 16382 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ (𝐶↑2))
114111simprd 499 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 = 0) → (𝐻↑2) = 0)
11527, 5, 28, 1144sqlem9 16382 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ (𝐷↑2))
116 zsqcl 13586 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
11720, 116syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
118 zsqcl 13586 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
11927, 118syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
120 dvds2add 15735 . . . . . . . . 9 (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐷↑2) ∈ ℤ) → (((𝑀↑2) ∥ (𝐶↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐷↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
12196, 117, 119, 120syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑀↑2) ∥ (𝐶↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐷↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
122121adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅 = 0) → (((𝑀↑2) ∥ (𝐶↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐷↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
123113, 115, 122mp2and 699 . . . . . 6 ((𝜑𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
12498, 100zaddcld 12172 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
125117, 119zaddcld 12172 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ)
126 dvds2add 15735 . . . . . . . 8 (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℤ ∧ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ) → (((𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∧ (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))))
12796, 124, 125, 126syl3anc 1372 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∧ (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))))
128127adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑅 = 0) → (((𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∧ (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))))
129104, 123, 128mp2and 699 . . . . 5 ((𝜑𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
13096adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
131124adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
13243adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) = ((𝑀↑2) / 2))
133 4sq.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
134 4sq.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
135 4sq.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
136 4sq.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
137 4sq.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
138 4sq.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
139 4sq.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
140 4sq.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
141133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 3, 2, 12, 20, 27, 6, 13, 21, 28, 1, 1404sqlem15 16395 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0) ∧ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0)))
142141simpld 498 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0))
143142simpld 498 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0)
14438recnd 10747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℂ)
14510zcnd 12169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
146144, 145subeq0ad 11085 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ↔ (((𝑀↑2) / 2) / 2) = (𝐸↑2)))
147146adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ↔ (((𝑀↑2) / 2) / 2) = (𝐸↑2)))
148143, 147mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((𝑀↑2) / 2) / 2) = (𝐸↑2))
14910adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
150148, 149eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℤ)
151150, 150zaddcld 12172 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ)
152132, 151eqeltrrd 2834 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℤ)
153131, 152zsubcld 12173 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) ∈ ℤ)
154125adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ)
155154, 152zsubcld 12173 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) ∈ ℤ)
15698adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
157156, 150zsubcld 12173 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ)
158100adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
159158, 150zsubcld 12173 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ)
1602, 5, 6, 1434sqlem10 16383 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
161142simprd 499 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0)
16212, 5, 13, 1614sqlem10 16383 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
163130, 157, 159, 160, 162dvds2addd 15737 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))))
16498zcnd 12169 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
165100zcnd 12169 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
166164, 165, 144, 144addsub4d 11122 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))))
16743oveq2d 7186 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
168166, 167eqtr3d 2775 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
169168adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
170163, 169breqtrd 5056 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
171117adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
172171, 150zsubcld 12173 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ)
173119adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
174173, 150zsubcld 12173 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ)
175141simprd 499 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0))
176175simpld 498 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0)
17720, 5, 21, 1764sqlem10 16383 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
178175simprd 499 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0)
17927, 5, 28, 1784sqlem10 16383 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
180130, 172, 174, 177, 179dvds2addd 15737 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))))
181117zcnd 12169 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
182119zcnd 12169 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
183181, 182, 144, 144addsub4d 11122 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))))
18443oveq2d 7186 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
185183, 184eqtr3d 2775 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
186185adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
187180, 186breqtrd 5056 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
188130, 153, 155, 170, 187dvds2addd 15737 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))))
189124zcnd 12169 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
190125zcnd 12169 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
191189, 190, 42, 42addsub4d 11122 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))))
19251oveq2d 7186 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2)))
193191, 192eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2)))
194193adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2)))
195188, 194breqtrd 5056 . . . . . 6 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2)))
196124, 125zaddcld 12172 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ ℤ)
197196adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ ℤ)
198 dvdssubr 15750 . . . . . . 7 (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ ℤ) → ((𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ↔ (𝑀↑2) ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2))))
199130, 197, 198syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ↔ (𝑀↑2) ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2))))
200195, 199mpbird 260 . . . . 5 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
201129, 200jaodan 957 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀)) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
202140adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀)) → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
203201, 202breqtrrd 5058 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀)) → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃))
204203ex 416 . 2 (𝜑 → ((𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃)))
20561, 204jca 515 1 (𝜑 → (𝑅𝑀 ∧ ((𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846   = wceq 1542  wcel 2114  {cab 2716  wrex 3054  {crab 3057  wss 3843   class class class wbr 5030  cfv 6339  (class class class)co 7170  infcinf 8978  cr 10614  0cc0 10615  1c1 10616   + caddc 10618   · cmul 10620   < clt 10753  cle 10754  cmin 10948   / cdiv 11375  cn 11716  2c2 11771  0cn0 11976  cz 12062  cuz 12324  ...cfz 12981   mod cmo 13328  cexp 13521  cdvds 15699  cprime 16112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-sup 8979  df-inf 8980  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-fl 13253  df-mod 13329  df-seq 13461  df-exp 13522  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-dvds 15700  df-gcd 15938
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