Proof of Theorem 4sqlem16
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 4sq.r |
. . 3
⊢ 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) |
2 | | 4sq.a |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ) |
3 | | 4sq.m |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈
(ℤ≥‘2)) |
4 | | eluz2nn 12366 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑀 ∈
(ℤ≥‘2) → 𝑀 ∈ ℕ) |
5 | 3, 4 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ) |
6 | | 4sq.e |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) |
7 | 2, 5, 6 | 4sqlem5 16378 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ)) |
8 | 7 | simpld 498 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ) |
9 | | zsqcl 13586 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈
ℤ) |
10 | 8, 9 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℤ) |
11 | 10 | zred 12168 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ) |
12 | | 4sq.b |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ) |
13 | | 4sq.f |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) |
14 | 12, 5, 13 | 4sqlem5 16378 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℤ ∧ ((𝐵 − 𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ)) |
15 | 14 | simpld 498 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ) |
16 | | zsqcl 13586 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈
ℤ) |
17 | 15, 16 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℤ) |
18 | 17 | zred 12168 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℝ) |
19 | 11, 18 | readdcld 10748 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℝ) |
20 | | 4sq.c |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ) |
21 | | 4sq.g |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) |
22 | 20, 5, 21 | 4sqlem5 16378 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℤ ∧ ((𝐶 − 𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ)) |
23 | 22 | simpld 498 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℤ) |
24 | | zsqcl 13586 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺↑2) ∈
ℤ) |
25 | 23, 24 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℤ) |
26 | 25 | zred 12168 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℝ) |
27 | | 4sq.d |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ) |
28 | | 4sq.h |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) |
29 | 27, 5, 28 | 4sqlem5 16378 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ∧ ((𝐷 − 𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ)) |
30 | 29 | simpld 498 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ) |
31 | | zsqcl 13586 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐻 ∈ ℤ → (𝐻↑2) ∈
ℤ) |
32 | 30, 31 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℤ) |
33 | 32 | zred 12168 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℝ) |
34 | 26, 33 | readdcld 10748 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℝ) |
35 | 5 | nnred 11731 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ) |
36 | 35 | resqcld 13703 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℝ) |
37 | 36 | rehalfcld 11963 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) ∈
ℝ) |
38 | 37 | rehalfcld 11963 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈
ℝ) |
39 | 2, 5, 6 | 4sqlem7 16380 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2)) |
40 | 12, 5, 13 | 4sqlem7 16380 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2)) |
41 | 11, 18, 38, 38, 39, 40 | le2addd 11337 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2))) |
42 | 37 | recnd 10747 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) ∈
ℂ) |
43 | 42 | 2halvesd 11962 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) = ((𝑀↑2) / 2)) |
44 | 41, 43 | breqtrd 5056 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2)) |
45 | 20, 5, 21 | 4sqlem7 16380 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2)) |
46 | 27, 5, 28 | 4sqlem7 16380 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2)) |
47 | 26, 33, 38, 38, 45, 46 | le2addd 11337 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2))) |
48 | 47, 43 | breqtrd 5056 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2)) |
49 | 19, 34, 37, 37, 44, 48 | le2addd 11337 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≤ (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2))) |
50 | 36 | recnd 10747 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℂ) |
51 | 50 | 2halvesd 11962 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)) = (𝑀↑2)) |
52 | 49, 51 | breqtrd 5056 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≤ (𝑀↑2)) |
53 | 35 | recnd 10747 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ) |
54 | 53 | sqvald 13599 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀)) |
55 | 52, 54 | breqtrd 5056 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≤ (𝑀 · 𝑀)) |
56 | 19, 34 | readdcld 10748 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ) |
57 | 5 | nngt0d 11765 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀) |
58 | | ledivmul 11594 |
. . . . 5
⊢
(((((𝐸↑2) +
(𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝑀)) → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ≤ 𝑀 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≤ (𝑀 · 𝑀))) |
59 | 56, 35, 35, 57, 58 | syl112anc 1375 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ≤ 𝑀 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≤ (𝑀 · 𝑀))) |
60 | 55, 59 | mpbird 260 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ≤ 𝑀) |
61 | 1, 60 | eqbrtrid 5065 |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ 𝑀) |
62 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → 𝑅 = 0) |
63 | 1, 62 | eqtr3id 2787 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 0) |
64 | 56 | recnd 10747 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℂ) |
65 | 5 | nnne0d 11766 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0) |
66 | 64, 53, 65 | diveq0ad 11504 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 0 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0)) |
67 | | zsqcl2 13594 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈
ℕ0) |
68 | 8, 67 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈
ℕ0) |
69 | | zsqcl2 13594 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈
ℕ0) |
70 | 15, 69 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈
ℕ0) |
71 | 68, 70 | nn0addcld 12040 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈
ℕ0) |
72 | 71 | nn0ge0d 12039 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) |
73 | | zsqcl2 13594 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺↑2) ∈
ℕ0) |
74 | 23, 73 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈
ℕ0) |
75 | | zsqcl2 13594 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝐻 ∈ ℤ → (𝐻↑2) ∈
ℕ0) |
76 | 30, 75 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈
ℕ0) |
77 | 74, 76 | nn0addcld 12040 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈
ℕ0) |
78 | 77 | nn0ge0d 12039 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) |
79 | | add20 11230 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐸↑2) +
(𝐹↑2)) ∈ ℝ
∧ 0 ≤ ((𝐸↑2) +
(𝐹↑2))) ∧ (((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0))) |
80 | 19, 72, 34, 78, 79 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0))) |
81 | 66, 80 | bitrd 282 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 0 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0))) |
82 | 81 | biimpa 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 0) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0)) |
83 | 63, 82 | syldan 594 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0)) |
84 | 83 | simpld 498 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0) |
85 | 68 | nn0ge0d 12039 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐸↑2)) |
86 | 70 | nn0ge0d 12039 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹↑2)) |
87 | | add20 11230 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐸↑2) ∈ ℝ ∧ 0
≤ (𝐸↑2)) ∧
((𝐹↑2) ∈ ℝ
∧ 0 ≤ (𝐹↑2)))
→ (((𝐸↑2) +
(𝐹↑2)) = 0 ↔
((𝐸↑2) = 0 ∧
(𝐹↑2) =
0))) |
88 | 11, 85, 18, 86, 87 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ↔ ((𝐸↑2) = 0 ∧ (𝐹↑2) = 0))) |
89 | 88 | biimpa 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0) → ((𝐸↑2) = 0 ∧ (𝐹↑2) = 0)) |
90 | 84, 89 | syldan 594 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → ((𝐸↑2) = 0 ∧ (𝐹↑2) = 0)) |
91 | 90 | simpld 498 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝐸↑2) = 0) |
92 | 2, 5, 6, 91 | 4sqlem9 16382 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2)) |
93 | 90 | simprd 499 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝐹↑2) = 0) |
94 | 12, 5, 13, 93 | 4sqlem9 16382 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2)) |
95 | 5 | nnsqcld 13697 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℕ) |
96 | 95 | nnzd 12167 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℤ) |
97 | | zsqcl 13586 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈
ℤ) |
98 | 2, 97 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ) |
99 | | zsqcl 13586 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈
ℤ) |
100 | 12, 99 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ) |
101 | | dvds2add 15735 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧
(𝐴↑2) ∈ ℤ
∧ (𝐵↑2) ∈
ℤ) → (((𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))) |
102 | 96, 98, 100, 101 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))) |
103 | 102 | adantr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (((𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))) |
104 | 92, 94, 103 | mp2and 699 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) |
105 | 83 | simprd 499 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0) |
106 | 74 | nn0ge0d 12039 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐺↑2)) |
107 | 76 | nn0ge0d 12039 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐻↑2)) |
108 | | add20 11230 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐺↑2) ∈ ℝ ∧ 0
≤ (𝐺↑2)) ∧
((𝐻↑2) ∈ ℝ
∧ 0 ≤ (𝐻↑2)))
→ (((𝐺↑2) +
(𝐻↑2)) = 0 ↔
((𝐺↑2) = 0 ∧
(𝐻↑2) =
0))) |
109 | 26, 106, 33, 107, 108 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0 ↔ ((𝐺↑2) = 0 ∧ (𝐻↑2) = 0))) |
110 | 109 | biimpa 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0) → ((𝐺↑2) = 0 ∧ (𝐻↑2) = 0)) |
111 | 105, 110 | syldan 594 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → ((𝐺↑2) = 0 ∧ (𝐻↑2) = 0)) |
112 | 111 | simpld 498 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝐺↑2) = 0) |
113 | 20, 5, 21, 112 | 4sqlem9 16382 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ (𝐶↑2)) |
114 | 111 | simprd 499 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝐻↑2) = 0) |
115 | 27, 5, 28, 114 | 4sqlem9 16382 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ (𝐷↑2)) |
116 | | zsqcl 13586 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈
ℤ) |
117 | 20, 116 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ) |
118 | | zsqcl 13586 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷↑2) ∈
ℤ) |
119 | 27, 118 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℤ) |
120 | | dvds2add 15735 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧
(𝐶↑2) ∈ ℤ
∧ (𝐷↑2) ∈
ℤ) → (((𝑀↑2) ∥ (𝐶↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐷↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))) |
121 | 96, 117, 119, 120 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) ∥ (𝐶↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐷↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))) |
122 | 121 | adantr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (((𝑀↑2) ∥ (𝐶↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐷↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))) |
123 | 113, 115,
122 | mp2and 699 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) |
124 | 98, 100 | zaddcld 12172 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℤ) |
125 | 117, 119 | zaddcld 12172 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ) |
126 | | dvds2add 15735 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧
((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℤ ∧
((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ) →
(((𝑀↑2) ∥
((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∧ (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))) |
127 | 96, 124, 125, 126 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∧ (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))) |
128 | 127 | adantr 484 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (((𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∧ (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))) |
129 | 104, 123,
128 | mp2and 699 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))) |
130 | 96 | adantr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∈ ℤ) |
131 | 124 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℤ) |
132 | 43 | adantr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) = ((𝑀↑2) / 2)) |
133 | | 4sq.1 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))} |
134 | | 4sq.2 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) |
135 | | 4sq.3 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1)) |
136 | | 4sq.4 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ) |
137 | | 4sq.5 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆) |
138 | | 4sq.6 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆} |
139 | | 4sq.7 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < ) |
140 | | 4sq.p |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))) |
141 | 133, 134,
135, 136, 137, 138, 139, 3, 2, 12, 20, 27, 6, 13, 21, 28, 1, 140 | 4sqlem15 16395 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) −
(𝐹↑2)) = 0) ∧
(((((𝑀↑2) / 2) / 2)
− (𝐺↑2)) = 0
∧ ((((𝑀↑2) / 2) /
2) − (𝐻↑2)) =
0))) |
142 | 141 | simpld 498 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) −
(𝐹↑2)) =
0)) |
143 | 142 | simpld 498 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0) |
144 | 38 | recnd 10747 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈
ℂ) |
145 | 10 | zcnd 12169 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ) |
146 | 144, 145 | subeq0ad 11085 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ↔ (((𝑀↑2) / 2) / 2) = (𝐸↑2))) |
147 | 146 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ↔ (((𝑀↑2) / 2) / 2) = (𝐸↑2))) |
148 | 143, 147 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝑀↑2) / 2) / 2) = (𝐸↑2)) |
149 | 10 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝐸↑2) ∈ ℤ) |
150 | 148, 149 | eqeltrd 2833 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈
ℤ) |
151 | 150, 150 | zaddcld 12172 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈
ℤ) |
152 | 132, 151 | eqeltrrd 2834 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝑀↑2) / 2) ∈
ℤ) |
153 | 131, 152 | zsubcld 12173 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) ∈
ℤ) |
154 | 125 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ) |
155 | 154, 152 | zsubcld 12173 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) ∈
ℤ) |
156 | 98 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝐴↑2) ∈ ℤ) |
157 | 156, 150 | zsubcld 12173 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈
ℤ) |
158 | 100 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝐵↑2) ∈ ℤ) |
159 | 158, 150 | zsubcld 12173 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈
ℤ) |
160 | 2, 5, 6, 143 | 4sqlem10 16383 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) |
161 | 142 | simprd 499 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0) |
162 | 12, 5, 13, 161 | 4sqlem10 16383 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) |
163 | 130, 157,
159, 160, 162 | dvds2addd 15737 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))) |
164 | 98 | zcnd 12169 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ) |
165 | 100 | zcnd 12169 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ) |
166 | 164, 165,
144, 144 | addsub4d 11122 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))) |
167 | 43 | oveq2d 7186 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))) |
168 | 166, 167 | eqtr3d 2775 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))) |
169 | 168 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))) |
170 | 163, 169 | breqtrd 5056 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))) |
171 | 117 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝐶↑2) ∈ ℤ) |
172 | 171, 150 | zsubcld 12173 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈
ℤ) |
173 | 119 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝐷↑2) ∈ ℤ) |
174 | 173, 150 | zsubcld 12173 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈
ℤ) |
175 | 141 | simprd 499 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) −
(𝐻↑2)) =
0)) |
176 | 175 | simpld 498 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0) |
177 | 20, 5, 21, 176 | 4sqlem10 16383 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) |
178 | 175 | simprd 499 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0) |
179 | 27, 5, 28, 178 | 4sqlem10 16383 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) |
180 | 130, 172,
174, 177, 179 | dvds2addd 15737 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))) |
181 | 117 | zcnd 12169 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ) |
182 | 119 | zcnd 12169 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ) |
183 | 181, 182,
144, 144 | addsub4d 11122 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))) |
184 | 43 | oveq2d 7186 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))) |
185 | 183, 184 | eqtr3d 2775 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))) |
186 | 185 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))) |
187 | 180, 186 | breqtrd 5056 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))) |
188 | 130, 153,
155, 170, 187 | dvds2addd 15737 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))) |
189 | 124 | zcnd 12169 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ) |
190 | 125 | zcnd 12169 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ) |
191 | 189, 190,
42, 42 | addsub4d 11122 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))) |
192 | 51 | oveq2d 7186 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2))) |
193 | 191, 192 | eqtr3d 2775 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2))) |
194 | 193 | adantr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2))) |
195 | 188, 194 | breqtrd 5056 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2))) |
196 | 124, 125 | zaddcld 12172 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ ℤ) |
197 | 196 | adantr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ ℤ) |
198 | | dvdssubr 15750 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧
(((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ ℤ) → ((𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ↔ (𝑀↑2) ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2)))) |
199 | 130, 197,
198 | syl2anc 587 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ↔ (𝑀↑2) ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2)))) |
200 | 195, 199 | mpbird 260 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))) |
201 | 129, 200 | jaodan 957 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀)) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))) |
202 | 140 | adantr 484 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀)) → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))) |
203 | 201, 202 | breqtrrd 5058 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀)) → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃)) |
204 | 203 | ex 416 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃))) |
205 | 61, 204 | jca 515 |
1
⊢ (𝜑 → (𝑅 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃)))) |