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Theorem 4sqlem16 16766
Description: Lemma for 4sq 16770. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1 𝑆 = {𝑛 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ βˆƒπ‘§ ∈ β„€ βˆƒπ‘€ ∈ β„€ 𝑛 = (((π‘₯↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑀↑2)))}
4sq.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
4sq.3 (πœ‘ β†’ 𝑃 = ((2 Β· 𝑁) + 1))
4sq.4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
4sq.5 (πœ‘ β†’ (0...(2 Β· 𝑁)) βŠ† 𝑆)
4sq.6 𝑇 = {𝑖 ∈ β„• ∣ (𝑖 Β· 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
4sq.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
4sq.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„€)
4sq.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„€)
4sq.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„€)
4sq.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„€)
4sq.e 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) βˆ’ (𝑀 / 2))
4sq.f 𝐹 = (((𝐡 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) βˆ’ (𝑀 / 2))
4sq.g 𝐺 = (((𝐢 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) βˆ’ (𝑀 / 2))
4sq.h 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) βˆ’ (𝑀 / 2))
4sq.r 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
4sq.p (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) + ((𝐢↑2) + (𝐷↑2))))
Assertion
Ref Expression
4sqlem16 (πœ‘ β†’ (𝑅 ≀ 𝑀 ∧ ((𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ (𝑀 Β· 𝑃))))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑛,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐡,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐺   𝑛,𝐻   𝐴,𝑛   𝐢,𝑛   𝐷,𝑛   𝑛,𝐹   𝑖,𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑖,𝑛   πœ‘,𝑛   𝑆,𝑖,𝑛   𝑅,𝑖
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑖)   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑖)   𝐡(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑖)   𝐢(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑖)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑖)   𝑃(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑛)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀)   𝑇(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑖,𝑛)   𝐸(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑖)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑖)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑖)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑖)   𝑀(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀)   𝑁(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑖)

Proof of Theorem 4sqlem16
StepHypRef Expression
1 4sq.r . . 3 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
2 4sq.a . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„€)
3 4sq.m . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
4 eluz2nn 12737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
6 4sq.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) βˆ’ (𝑀 / 2))
72, 5, 64sqlem5 16748 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ β„€ ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐸) / 𝑀) ∈ β„€))
87simpld 495 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„€)
9 zsqcl 13961 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ β„€ β†’ (𝐸↑2) ∈ β„€)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐸↑2) ∈ β„€)
1110zred 12539 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐸↑2) ∈ ℝ)
12 4sq.b . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„€)
13 4sq.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (((𝐡 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) βˆ’ (𝑀 / 2))
1412, 5, 134sqlem5 16748 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ β„€ ∧ ((𝐡 βˆ’ 𝐹) / 𝑀) ∈ β„€))
1514simpld 495 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ β„€)
16 zsqcl 13961 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ β„€ β†’ (𝐹↑2) ∈ β„€)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹↑2) ∈ β„€)
1817zred 12539 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹↑2) ∈ ℝ)
1911, 18readdcld 11117 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℝ)
20 4sq.c . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„€)
21 4sq.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (((𝐢 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) βˆ’ (𝑀 / 2))
2220, 5, 214sqlem5 16748 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ β„€ ∧ ((𝐢 βˆ’ 𝐺) / 𝑀) ∈ β„€))
2322simpld 495 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ β„€)
24 zsqcl 13961 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ β„€ β†’ (𝐺↑2) ∈ β„€)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐺↑2) ∈ β„€)
2625zred 12539 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺↑2) ∈ ℝ)
27 4sq.d . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„€)
28 4sq.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) βˆ’ (𝑀 / 2))
2927, 5, 284sqlem5 16748 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∈ β„€ ∧ ((𝐷 βˆ’ 𝐻) / 𝑀) ∈ β„€))
3029simpld 495 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ β„€)
31 zsqcl 13961 . . . . . . . . . 10 (𝐻 ∈ β„€ β†’ (𝐻↑2) ∈ β„€)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐻↑2) ∈ β„€)
3332zred 12539 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐻↑2) ∈ ℝ)
3426, 33readdcld 11117 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℝ)
355nnred 12101 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
3635resqcld 14078 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀↑2) ∈ ℝ)
3736rehalfcld 12333 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℝ)
3837rehalfcld 12333 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℝ)
392, 5, 64sqlem7 16750 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐸↑2) ≀ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
4012, 5, 134sqlem7 16750 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹↑2) ≀ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
4111, 18, 38, 38, 39, 40le2addd 11707 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≀ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
4237recnd 11116 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑀↑2) / 2) ∈ β„‚)
43422halvesd 12332 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) = ((𝑀↑2) / 2))
4441, 43breqtrd 5129 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≀ ((𝑀↑2) / 2))
4520, 5, 214sqlem7 16750 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐺↑2) ≀ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
4627, 5, 284sqlem7 16750 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐻↑2) ≀ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
4726, 33, 38, 38, 45, 46le2addd 11707 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ≀ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
4847, 43breqtrd 5129 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ≀ ((𝑀↑2) / 2))
4919, 34, 37, 37, 44, 48le2addd 11707 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≀ (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)))
5036recnd 11116 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑀↑2) ∈ β„‚)
51502halvesd 12332 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)) = (𝑀↑2))
5249, 51breqtrd 5129 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≀ (𝑀↑2))
5335recnd 11116 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
5453sqvald 13974 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀↑2) = (𝑀 Β· 𝑀))
5552, 54breqtrd 5129 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≀ (𝑀 Β· 𝑀))
5619, 34readdcld 11117 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ)
575nngt0d 12135 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑀)
58 ledivmul 11964 . . . . 5 (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) β†’ (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ≀ 𝑀 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≀ (𝑀 Β· 𝑀)))
5956, 35, 35, 57, 58syl112anc 1374 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ≀ 𝑀 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≀ (𝑀 Β· 𝑀)))
6055, 59mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ≀ 𝑀)
611, 60eqbrtrid 5138 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ≀ 𝑀)
62 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 0) β†’ 𝑅 = 0)
631, 62eqtr3id 2791 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 0) β†’ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 0)
6456recnd 11116 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ β„‚)
655nnne0d 12136 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑀 β‰  0)
6664, 53, 65diveq0ad 11874 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 0 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0))
67 zsqcl2 13969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐸 ∈ β„€ β†’ (𝐸↑2) ∈ β„•0)
688, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐸↑2) ∈ β„•0)
69 zsqcl2 13969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ β„€ β†’ (𝐹↑2) ∈ β„•0)
7015, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐹↑2) ∈ β„•0)
7168, 70nn0addcld 12410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ β„•0)
7271nn0ge0d 12409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
73 zsqcl2 13969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺 ∈ β„€ β†’ (𝐺↑2) ∈ β„•0)
7423, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐺↑2) ∈ β„•0)
75 zsqcl2 13969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐻 ∈ β„€ β†’ (𝐻↑2) ∈ β„•0)
7630, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐻↑2) ∈ β„•0)
7774, 76nn0addcld 12410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ β„•0)
7877nn0ge0d 12409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))
79 add20 11600 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∧ (((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) β†’ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0)))
8019, 72, 34, 78, 79syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0)))
8166, 80bitrd 278 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 0 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0)))
8281biimpa 477 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 0) β†’ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0))
8363, 82syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 0) β†’ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0))
8483simpld 495 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 0) β†’ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0)
8568nn0ge0d 12409 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐸↑2))
8670nn0ge0d 12409 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐹↑2))
87 add20 11600 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐸↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐸↑2)) ∧ ((𝐹↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐹↑2))) β†’ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ↔ ((𝐸↑2) = 0 ∧ (𝐹↑2) = 0)))
8811, 85, 18, 86, 87syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ↔ ((𝐸↑2) = 0 ∧ (𝐹↑2) = 0)))
8988biimpa 477 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0) β†’ ((𝐸↑2) = 0 ∧ (𝐹↑2) = 0))
9084, 89syldan 591 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 0) β†’ ((𝐸↑2) = 0 ∧ (𝐹↑2) = 0))
9190simpld 495 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 0) β†’ (𝐸↑2) = 0)
922, 5, 6, 914sqlem9 16752 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 0) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ (𝐴↑2))
9390simprd 496 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 0) β†’ (𝐹↑2) = 0)
9412, 5, 13, 934sqlem9 16752 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 0) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ (𝐡↑2))
955nnsqcld 14072 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑀↑2) ∈ β„•)
9695nnzd 12538 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀↑2) ∈ β„€)
97 zsqcl 13961 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„€ β†’ (𝐴↑2) ∈ β„€)
982, 97syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴↑2) ∈ β„€)
99 zsqcl 13961 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ β„€ β†’ (𝐡↑2) ∈ β„€)
10012, 99syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡↑2) ∈ β„€)
101 dvds2add 16106 . . . . . . . . 9 (((𝑀↑2) ∈ β„€ ∧ (𝐴↑2) ∈ β„€ ∧ (𝐡↑2) ∈ β„€) β†’ (((𝑀↑2) βˆ₯ (𝐴↑2) ∧ (𝑀↑2) βˆ₯ (𝐡↑2)) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ ((𝐴↑2) + (𝐡↑2))))
10296, 98, 100, 101syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝑀↑2) βˆ₯ (𝐴↑2) ∧ (𝑀↑2) βˆ₯ (𝐡↑2)) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ ((𝐴↑2) + (𝐡↑2))))
103102adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 0) β†’ (((𝑀↑2) βˆ₯ (𝐴↑2) ∧ (𝑀↑2) βˆ₯ (𝐡↑2)) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ ((𝐴↑2) + (𝐡↑2))))
10492, 94, 103mp2and 697 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 0) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ ((𝐴↑2) + (𝐡↑2)))
10583simprd 496 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 0) β†’ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0)
10674nn0ge0d 12409 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐺↑2))
10776nn0ge0d 12409 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐻↑2))
108 add20 11600 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐺↑2)) ∧ ((𝐻↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐻↑2))) β†’ (((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0 ↔ ((𝐺↑2) = 0 ∧ (𝐻↑2) = 0)))
10926, 106, 33, 107, 108syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0 ↔ ((𝐺↑2) = 0 ∧ (𝐻↑2) = 0)))
110109biimpa 477 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0) β†’ ((𝐺↑2) = 0 ∧ (𝐻↑2) = 0))
111105, 110syldan 591 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 0) β†’ ((𝐺↑2) = 0 ∧ (𝐻↑2) = 0))
112111simpld 495 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 0) β†’ (𝐺↑2) = 0)
11320, 5, 21, 1124sqlem9 16752 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 0) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ (𝐢↑2))
114111simprd 496 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 0) β†’ (𝐻↑2) = 0)
11527, 5, 28, 1144sqlem9 16752 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 0) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ (𝐷↑2))
116 zsqcl 13961 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ β„€ β†’ (𝐢↑2) ∈ β„€)
11720, 116syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐢↑2) ∈ β„€)
118 zsqcl 13961 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ β„€ β†’ (𝐷↑2) ∈ β„€)
11927, 118syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐷↑2) ∈ β„€)
120 dvds2add 16106 . . . . . . . . 9 (((𝑀↑2) ∈ β„€ ∧ (𝐢↑2) ∈ β„€ ∧ (𝐷↑2) ∈ β„€) β†’ (((𝑀↑2) βˆ₯ (𝐢↑2) ∧ (𝑀↑2) βˆ₯ (𝐷↑2)) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ ((𝐢↑2) + (𝐷↑2))))
12196, 117, 119, 120syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝑀↑2) βˆ₯ (𝐢↑2) ∧ (𝑀↑2) βˆ₯ (𝐷↑2)) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ ((𝐢↑2) + (𝐷↑2))))
122121adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 0) β†’ (((𝑀↑2) βˆ₯ (𝐢↑2) ∧ (𝑀↑2) βˆ₯ (𝐷↑2)) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ ((𝐢↑2) + (𝐷↑2))))
123113, 115, 122mp2and 697 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 0) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ ((𝐢↑2) + (𝐷↑2)))
12498, 100zaddcld 12543 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) ∈ β„€)
125117, 119zaddcld 12543 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐢↑2) + (𝐷↑2)) ∈ β„€)
126 dvds2add 16106 . . . . . . . 8 (((𝑀↑2) ∈ β„€ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) ∈ β„€ ∧ ((𝐢↑2) + (𝐷↑2)) ∈ β„€) β†’ (((𝑀↑2) βˆ₯ ((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) ∧ (𝑀↑2) βˆ₯ ((𝐢↑2) + (𝐷↑2))) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ (((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) + ((𝐢↑2) + (𝐷↑2)))))
12796, 124, 125, 126syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝑀↑2) βˆ₯ ((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) ∧ (𝑀↑2) βˆ₯ ((𝐢↑2) + (𝐷↑2))) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ (((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) + ((𝐢↑2) + (𝐷↑2)))))
128127adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 0) β†’ (((𝑀↑2) βˆ₯ ((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) ∧ (𝑀↑2) βˆ₯ ((𝐢↑2) + (𝐷↑2))) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ (((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) + ((𝐢↑2) + (𝐷↑2)))))
129104, 123, 128mp2and 697 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 0) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ (((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) + ((𝐢↑2) + (𝐷↑2))))
13096adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ (𝑀↑2) ∈ β„€)
131124adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ ((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) ∈ β„€)
13243adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) = ((𝑀↑2) / 2))
133 4sq.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑆 = {𝑛 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ βˆƒπ‘§ ∈ β„€ βˆƒπ‘€ ∈ β„€ 𝑛 = (((π‘₯↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑀↑2)))}
134 4sq.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
135 4sq.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑃 = ((2 Β· 𝑁) + 1))
136 4sq.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
137 4sq.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (0...(2 Β· 𝑁)) βŠ† 𝑆)
138 4sq.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇 = {𝑖 ∈ β„• ∣ (𝑖 Β· 𝑃) ∈ 𝑆}
139 4sq.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
140 4sq.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) + ((𝐢↑2) + (𝐷↑2))))
141133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 3, 2, 12, 20, 27, 6, 13, 21, 28, 1, 1404sqlem15 16765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) βˆ’ (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) βˆ’ (𝐹↑2)) = 0) ∧ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) βˆ’ (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) βˆ’ (𝐻↑2)) = 0)))
142141simpld 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) βˆ’ (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) βˆ’ (𝐹↑2)) = 0))
143142simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) βˆ’ (𝐸↑2)) = 0)
14438recnd 11116 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ β„‚)
14510zcnd 12540 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐸↑2) ∈ β„‚)
146144, 145subeq0ad 11455 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) βˆ’ (𝐸↑2)) = 0 ↔ (((𝑀↑2) / 2) / 2) = (𝐸↑2)))
147146adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) βˆ’ (𝐸↑2)) = 0 ↔ (((𝑀↑2) / 2) / 2) = (𝐸↑2)))
148143, 147mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ (((𝑀↑2) / 2) / 2) = (𝐸↑2))
14910adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ (𝐸↑2) ∈ β„€)
150148, 149eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ β„€)
151150, 150zaddcld 12543 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ β„€)
152132, 151eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ ((𝑀↑2) / 2) ∈ β„€)
153131, 152zsubcld 12544 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ (((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) βˆ’ ((𝑀↑2) / 2)) ∈ β„€)
154125adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ ((𝐢↑2) + (𝐷↑2)) ∈ β„€)
155154, 152zsubcld 12544 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ (((𝐢↑2) + (𝐷↑2)) βˆ’ ((𝑀↑2) / 2)) ∈ β„€)
15698adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ (𝐴↑2) ∈ β„€)
157156, 150zsubcld 12544 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ β„€)
158100adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ (𝐡↑2) ∈ β„€)
159158, 150zsubcld 12544 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ ((𝐡↑2) βˆ’ (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ β„€)
1602, 5, 6, 1434sqlem10 16753 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ ((𝐴↑2) βˆ’ (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
161142simprd 496 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) βˆ’ (𝐹↑2)) = 0)
16212, 5, 13, 1614sqlem10 16753 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ ((𝐡↑2) βˆ’ (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
163130, 157, 159, 160, 162dvds2addd 16108 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ (((𝐴↑2) βˆ’ (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐡↑2) βˆ’ (((𝑀↑2) / 2) / 2))))
16498zcnd 12540 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴↑2) ∈ β„‚)
165100zcnd 12540 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐡↑2) ∈ β„‚)
166164, 165, 144, 144addsub4d 11492 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) βˆ’ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐴↑2) βˆ’ (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐡↑2) βˆ’ (((𝑀↑2) / 2) / 2))))
16743oveq2d 7365 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) βˆ’ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) βˆ’ ((𝑀↑2) / 2)))
168166, 167eqtr3d 2779 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐡↑2) βˆ’ (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) βˆ’ ((𝑀↑2) / 2)))
169168adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐡↑2) βˆ’ (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) βˆ’ ((𝑀↑2) / 2)))
170163, 169breqtrd 5129 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ (((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) βˆ’ ((𝑀↑2) / 2)))
171117adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ (𝐢↑2) ∈ β„€)
172171, 150zsubcld 12544 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ ((𝐢↑2) βˆ’ (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ β„€)
173119adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ (𝐷↑2) ∈ β„€)
174173, 150zsubcld 12544 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ ((𝐷↑2) βˆ’ (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ β„€)
175141simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) βˆ’ (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) βˆ’ (𝐻↑2)) = 0))
176175simpld 495 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) βˆ’ (𝐺↑2)) = 0)
17720, 5, 21, 1764sqlem10 16753 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ ((𝐢↑2) βˆ’ (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
178175simprd 496 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) βˆ’ (𝐻↑2)) = 0)
17927, 5, 28, 1784sqlem10 16753 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ ((𝐷↑2) βˆ’ (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
180130, 172, 174, 177, 179dvds2addd 16108 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ (((𝐢↑2) βˆ’ (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) βˆ’ (((𝑀↑2) / 2) / 2))))
181117zcnd 12540 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐢↑2) ∈ β„‚)
182119zcnd 12540 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐷↑2) ∈ β„‚)
183181, 182, 144, 144addsub4d 11492 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝐢↑2) + (𝐷↑2)) βˆ’ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐢↑2) βˆ’ (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) βˆ’ (((𝑀↑2) / 2) / 2))))
18443oveq2d 7365 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝐢↑2) + (𝐷↑2)) βˆ’ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐢↑2) + (𝐷↑2)) βˆ’ ((𝑀↑2) / 2)))
185183, 184eqtr3d 2779 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((𝐢↑2) βˆ’ (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) βˆ’ (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐢↑2) + (𝐷↑2)) βˆ’ ((𝑀↑2) / 2)))
186185adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ (((𝐢↑2) βˆ’ (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) βˆ’ (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐢↑2) + (𝐷↑2)) βˆ’ ((𝑀↑2) / 2)))
187180, 186breqtrd 5129 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ (((𝐢↑2) + (𝐷↑2)) βˆ’ ((𝑀↑2) / 2)))
188130, 153, 155, 170, 187dvds2addd 16108 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ ((((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) βˆ’ ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐢↑2) + (𝐷↑2)) βˆ’ ((𝑀↑2) / 2))))
189124zcnd 12540 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) ∈ β„‚)
190125zcnd 12540 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐢↑2) + (𝐷↑2)) ∈ β„‚)
191189, 190, 42, 42addsub4d 11492 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) + ((𝐢↑2) + (𝐷↑2))) βˆ’ (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) βˆ’ ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐢↑2) + (𝐷↑2)) βˆ’ ((𝑀↑2) / 2))))
19251oveq2d 7365 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) + ((𝐢↑2) + (𝐷↑2))) βˆ’ (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) + ((𝐢↑2) + (𝐷↑2))) βˆ’ (𝑀↑2)))
193191, 192eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) βˆ’ ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐢↑2) + (𝐷↑2)) βˆ’ ((𝑀↑2) / 2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) + ((𝐢↑2) + (𝐷↑2))) βˆ’ (𝑀↑2)))
194193adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ ((((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) βˆ’ ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐢↑2) + (𝐷↑2)) βˆ’ ((𝑀↑2) / 2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) + ((𝐢↑2) + (𝐷↑2))) βˆ’ (𝑀↑2)))
195188, 194breqtrd 5129 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ ((((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) + ((𝐢↑2) + (𝐷↑2))) βˆ’ (𝑀↑2)))
196124, 125zaddcld 12543 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) + ((𝐢↑2) + (𝐷↑2))) ∈ β„€)
197196adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ (((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) + ((𝐢↑2) + (𝐷↑2))) ∈ β„€)
198 dvdssubr 16121 . . . . . . 7 (((𝑀↑2) ∈ β„€ ∧ (((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) + ((𝐢↑2) + (𝐷↑2))) ∈ β„€) β†’ ((𝑀↑2) βˆ₯ (((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) + ((𝐢↑2) + (𝐷↑2))) ↔ (𝑀↑2) βˆ₯ ((((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) + ((𝐢↑2) + (𝐷↑2))) βˆ’ (𝑀↑2))))
199130, 197, 198syl2anc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ ((𝑀↑2) βˆ₯ (((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) + ((𝐢↑2) + (𝐷↑2))) ↔ (𝑀↑2) βˆ₯ ((((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) + ((𝐢↑2) + (𝐷↑2))) βˆ’ (𝑀↑2))))
200195, 199mpbird 256 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑅 = 𝑀) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ (((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) + ((𝐢↑2) + (𝐷↑2))))
201129, 200jaodan 956 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀)) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ (((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) + ((𝐢↑2) + (𝐷↑2))))
202140adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀)) β†’ (𝑀 Β· 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐡↑2)) + ((𝐢↑2) + (𝐷↑2))))
203201, 202breqtrrd 5131 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀)) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ (𝑀 Β· 𝑃))
204203ex 413 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ (𝑀 Β· 𝑃)))
20561, 204jca 512 1 (πœ‘ β†’ (𝑅 ≀ 𝑀 ∧ ((𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀) β†’ (𝑀↑2) βˆ₯ (𝑀 Β· 𝑃))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2714  βˆƒwrex 3071  {crab 3405   βŠ† wss 3908   class class class wbr 5103  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  infcinf 9310  β„cr 10983  0cc0 10984  1c1 10985   + caddc 10987   Β· cmul 10989   < clt 11122   ≀ cle 11123   βˆ’ cmin 11318   / cdiv 11745  β„•cn 12086  2c2 12141  β„•0cn0 12346  β„€cz 12432  β„€β‰₯cuz 12695  ...cfz 13352   mod cmo 13702  β†‘cexp 13895   βˆ₯ cdvds 16070  β„™cprime 16481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-sup 9311  df-inf 9312  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-n0 12347  df-z 12433  df-uz 12696  df-rp 12844  df-fl 13625  df-mod 13703  df-seq 13835  df-exp 13896  df-cj 14917  df-re 14918  df-im 14919  df-sqrt 15053  df-abs 15054  df-dvds 16071  df-gcd 16309
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