4sqlem16 - Metamath Proof Explorer

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Theorem 4sqlem16 16042

Description: Lemma for 4sq 16046. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
4sq.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5	⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6	⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7	⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
4sq.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2))
4sq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
4sq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
4sq.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
4sq.e	⊢ 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.f	⊢ 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.g	⊢ 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.h	⊢ 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.r	⊢ 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
4sq.p	⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))

**Assertion**
Ref	Expression
4sqlem16	⊢ (𝜑 → (𝑅 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃))))

Distinct variable groups: 𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧 𝐵,𝑛 𝑛,𝐸 𝑛,𝐺 𝑛,𝐻 𝐴,𝑛 𝐶,𝑛 𝐷,𝑛 𝑛,𝐹 𝑖,𝑛,𝑀 𝑛,𝑁 𝑃,𝑖,𝑛 𝜑,𝑛 𝑆,𝑖,𝑛 𝑅,𝑖 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) 𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑛) 𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) 𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛) 𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) 𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

**Proof of Theorem 4sqlem16**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
2		4sq.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3		4sq.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2))
4		eluz2nn 12015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑀 ∈ ℕ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
6		4sq.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
7	2, 5, 6	4sqlem5 16024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ))
8	7	simpld 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
9		zsqcl 13235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
11	10	zred 11817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
12		4sq.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
13		4sq.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
14	12, 5, 13	4sqlem5 16024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℤ ∧ ((𝐵 − 𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ))
15	14	simpld 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
16		zsqcl 13235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
18	17	zred 11817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℝ)
19	11, 18	readdcld 10393	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℝ)
20		4sq.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
21		4sq.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
22	20, 5, 21	4sqlem5 16024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℤ ∧ ((𝐶 − 𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ))
23	22	simpld 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℤ)
24		zsqcl 13235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺↑2) ∈ ℤ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℤ)
26	25	zred 11817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℝ)
27		4sq.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
28		4sq.h	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
29	27, 5, 28	4sqlem5 16024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ∧ ((𝐷 − 𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ))
30	29	simpld 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
31		zsqcl 13235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ∈ ℤ → (𝐻↑2) ∈ ℤ)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℤ)
33	32	zred 11817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℝ)
34	26, 33	readdcld 10393	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℝ)
35	5	nnred 11374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
36	35	resqcld 13338	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℝ)
37	36	rehalfcld 11612	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℝ)
38	37	rehalfcld 11612	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℝ)
39	2, 5, 6	4sqlem7 16026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
40	12, 5, 13	4sqlem7 16026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
41	11, 18, 38, 38, 39, 40	le2addd 10978	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
42	37	recnd 10392	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℂ)
43	42	2halvesd 11611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) = ((𝑀↑2) / 2))
44	41, 43	breqtrd 4901	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2))
45	20, 5, 21	4sqlem7 16026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
46	27, 5, 28	4sqlem7 16026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
47	26, 33, 38, 38, 45, 46	le2addd 10978	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
48	47, 43	breqtrd 4901	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2))
49	19, 34, 37, 37, 44, 48	le2addd 10978	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≤ (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)))
50	36	recnd 10392	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
51	50	2halvesd 11611	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)) = (𝑀↑2))
52	49, 51	breqtrd 4901	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≤ (𝑀↑2))
53	35	recnd 10392	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
54	53	sqvald 13306	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
55	52, 54	breqtrd 4901	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≤ (𝑀 · 𝑀))
56	19, 34	readdcld 10393	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ)
57	5	nngt0d 11407	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
58		ledivmul 11236	. . . . 5 ⊢ (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ≤ 𝑀 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≤ (𝑀 · 𝑀)))
59	56, 35, 35, 57, 58	syl112anc 1497	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ≤ 𝑀 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≤ (𝑀 · 𝑀)))
60	55, 59	mpbird 249	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ≤ 𝑀)
61	1, 60	syl5eqbr 4910	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ 𝑀)
62		simpr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → 𝑅 = 0)
63	1, 62	syl5eqr 2875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 0)
64	56	recnd 10392	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℂ)
65	5	nnne0d 11408	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
66	64, 53, 65	diveq0ad 11144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 0 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0))
67		zsqcl2 13242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈ ℕ₀)
68	8, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℕ₀)
69		zsqcl2 13242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈ ℕ₀)
70	15, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℕ₀)
71	68, 70	nn0addcld 11689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℕ₀)
72	71	nn0ge0d 11688	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
73		zsqcl2 13242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺↑2) ∈ ℕ₀)
74	23, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℕ₀)
75		zsqcl2 13242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐻 ∈ ℤ → (𝐻↑2) ∈ ℕ₀)
76	30, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℕ₀)
77	74, 76	nn0addcld 11689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℕ₀)
78	77	nn0ge0d 11688	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))
79		add20 10871	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∧ (((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0)))
80	19, 72, 34, 78, 79	syl22anc 872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0)))
81	66, 80	bitrd 271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 0 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0)))
82	81	biimpa 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 0) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0))
83	63, 82	syldan 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0))
84	83	simpld 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0)
85	68	nn0ge0d 11688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐸↑2))
86	70	nn0ge0d 11688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹↑2))
87		add20 10871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐸↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐸↑2)) ∧ ((𝐹↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹↑2))) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ↔ ((𝐸↑2) = 0 ∧ (𝐹↑2) = 0)))
88	11, 85, 18, 86, 87	syl22anc 872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ↔ ((𝐸↑2) = 0 ∧ (𝐹↑2) = 0)))
89	88	biimpa 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0) → ((𝐸↑2) = 0 ∧ (𝐹↑2) = 0))
90	84, 89	syldan 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → ((𝐸↑2) = 0 ∧ (𝐹↑2) = 0))
91	90	simpld 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝐸↑2) = 0)
92	2, 5, 6, 91	4sqlem9 16028	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2))
93	90	simprd 491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝐹↑2) = 0)
94	12, 5, 13, 93	4sqlem9 16028	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2))
95	5	nnsqcld 13332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℕ)
96	95	nnzd 11816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
97		zsqcl 13235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
98	2, 97	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
99		zsqcl 13235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
100	12, 99	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
101		dvds2add 15399	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℤ) → (((𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
102	96, 98, 100, 101	syl3anc 1494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
103	102	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (((𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
104	92, 94, 103	mp2and 690	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
105	83	simprd 491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0)
106	74	nn0ge0d 11688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐺↑2))
107	76	nn0ge0d 11688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐻↑2))
108		add20 10871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐺↑2)) ∧ ((𝐻↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐻↑2))) → (((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0 ↔ ((𝐺↑2) = 0 ∧ (𝐻↑2) = 0)))
109	26, 106, 33, 107, 108	syl22anc 872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0 ↔ ((𝐺↑2) = 0 ∧ (𝐻↑2) = 0)))
110	109	biimpa 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0) → ((𝐺↑2) = 0 ∧ (𝐻↑2) = 0))
111	105, 110	syldan 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → ((𝐺↑2) = 0 ∧ (𝐻↑2) = 0))
112	111	simpld 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝐺↑2) = 0)
113	20, 5, 21, 112	4sqlem9 16028	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ (𝐶↑2))
114	111	simprd 491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝐻↑2) = 0)
115	27, 5, 28, 114	4sqlem9 16028	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ (𝐷↑2))
116		zsqcl 13235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
117	20, 116	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
118		zsqcl 13235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
119	27, 118	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
120		dvds2add 15399	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐷↑2) ∈ ℤ) → (((𝑀↑2) ∥ (𝐶↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐷↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
121	96, 117, 119, 120	syl3anc 1494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) ∥ (𝐶↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐷↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
122	121	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (((𝑀↑2) ∥ (𝐶↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐷↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
123	113, 115, 122	mp2and 690	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
124	98, 100	zaddcld 11821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
125	117, 119	zaddcld 11821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ)
126		dvds2add 15399	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℤ ∧ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ) → (((𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∧ (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))))
127	96, 124, 125, 126	syl3anc 1494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∧ (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))))
128	127	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (((𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∧ (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))))
129	104, 123, 128	mp2and 690	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
130		4sq.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
131		4sq.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
132		4sq.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
133		4sq.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
134		4sq.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
135		4sq.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
136		4sq.7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
137		4sq.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
138	130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 3, 2, 12, 20, 27, 6, 13, 21, 28, 1, 137	4sqlem15 16041	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0) ∧ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0)))
139	138	simpld 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0))
140	139	simpld 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0)
141	2, 5, 6, 140	4sqlem10 16029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
142	139	simprd 491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0)
143	12, 5, 13, 142	4sqlem10 16029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
144	96	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
145	98	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
146	38	recnd 10392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℂ)
147	10	zcnd 11818	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
148	146, 147	subeq0ad 10730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ↔ (((𝑀↑2) / 2) / 2) = (𝐸↑2)))
149	148	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ↔ (((𝑀↑2) / 2) / 2) = (𝐸↑2)))
150	140, 149	mpbid 224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝑀↑2) / 2) / 2) = (𝐸↑2))
151	10	adantr 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
152	150, 151	eqeltrd 2906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℤ)
153	145, 152	zsubcld 11822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ)
154	100	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
155	154, 152	zsubcld 11822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ)
156		dvds2add 15399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ ∧ ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ) → (((𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∧ (𝑀↑2) ∥ ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))))
157	144, 153, 155, 156	syl3anc 1494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∧ (𝑀↑2) ∥ ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))))
158	141, 143, 157	mp2and 690	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))))
159	98	zcnd 11818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
160	100	zcnd 11818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
161	159, 160, 146, 146	addsub4d 10767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))))
162	43	oveq2d 6926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
163	161, 162	eqtr3d 2863	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
164	163	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
165	158, 164	breqtrd 4901	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
166	138	simprd 491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0))
167	166	simpld 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0)
168	20, 5, 21, 167	4sqlem10 16029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
169	166	simprd 491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0)
170	27, 5, 28, 169	4sqlem10 16029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
171	117	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
172	171, 152	zsubcld 11822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ)
173	119	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
174	173, 152	zsubcld 11822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ)
175		dvds2add 15399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ ∧ ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ) → (((𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∧ (𝑀↑2) ∥ ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))))
176	144, 172, 174, 175	syl3anc 1494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∧ (𝑀↑2) ∥ ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))))
177	168, 170, 176	mp2and 690	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))))
178	117	zcnd 11818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
179	119	zcnd 11818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
180	178, 179, 146, 146	addsub4d 10767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))))
181	43	oveq2d 6926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
182	180, 181	eqtr3d 2863	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
183	182	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
184	177, 183	breqtrd 4901	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
185	124	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
186	43	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) = ((𝑀↑2) / 2))
187	152, 152	zaddcld 11821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ)
188	186, 187	eqeltrrd 2907	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℤ)
189	185, 188	zsubcld 11822	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) ∈ ℤ)
190	125	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ)
191	190, 188	zsubcld 11822	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) ∈ ℤ)
192		dvds2add 15399	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) ∈ ℤ ∧ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) ∈ ℤ) → (((𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) ∧ (𝑀↑2) ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))) → (𝑀↑2) ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))))
193	144, 189, 191, 192	syl3anc 1494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) ∧ (𝑀↑2) ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))) → (𝑀↑2) ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))))
194	165, 184, 193	mp2and 690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))))
195	124	zcnd 11818	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
196	125	zcnd 11818	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
197	195, 196, 42, 42	addsub4d 10767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))))
198	51	oveq2d 6926	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2)))
199	197, 198	eqtr3d 2863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2)))
200	199	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2)))
201	194, 200	breqtrd 4901	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2)))
202	124, 125	zaddcld 11821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ ℤ)
203	202	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ ℤ)
204		dvdssubr 15411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ ℤ) → ((𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ↔ (𝑀↑2) ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2))))
205	144, 203, 204	syl2anc 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ↔ (𝑀↑2) ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2))))
206	201, 205	mpbird 249	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
207	129, 206	jaodan 985	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀)) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
208	137	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀)) → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
209	207, 208	breqtrrd 4903	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀)) → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃))
210	209	ex 403	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃)))
211	61, 210	jca 507	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 198 ∧ wa 386 ∨ wo 878 = wceq 1656 ∈ wcel 2164 {cab 2811 ∃wrex 3118 {crab 3121 ⊆ wss 3798 class class class wbr 4875 ‘cfv 6127 (class class class)co 6910 infcinf 8622 ℝcr 10258 0cc0 10259 1c1 10260 + caddc 10262 · cmul 10264 < clt 10398 ≤ cle 10399 − cmin 10592 / cdiv 11016 ℕcn 11357 2c2 11413 ℕ₀cn0 11625 ℤcz 11711 ℤ_≥cuz 11975 ...cfz 12626 mod cmo 12970 ↑cexp 13161 ∥ cdvds 15364 ℙcprime 15764

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1894 ax-4 1908 ax-5 2009 ax-6 2075 ax-7 2112 ax-8 2166 ax-9 2173 ax-10 2192 ax-11 2207 ax-12 2220 ax-13 2389 ax-ext 2803 ax-sep 5007 ax-nul 5015 ax-pow 5067 ax-pr 5129 ax-un 7214 ax-cnex 10315 ax-resscn 10316 ax-1cn 10317 ax-icn 10318 ax-addcl 10319 ax-addrcl 10320 ax-mulcl 10321 ax-mulrcl 10322 ax-mulcom 10323 ax-addass 10324 ax-mulass 10325 ax-distr 10326 ax-i2m1 10327 ax-1ne0 10328 ax-1rid 10329 ax-rnegex 10330 ax-rrecex 10331 ax-cnre 10332 ax-pre-lttri 10333 ax-pre-lttrn 10334 ax-pre-ltadd 10335 ax-pre-mulgt0 10336 ax-pre-sup 10337

This theorem depends on definitions: df-bi 199 df-an 387 df-or 879 df-3or 1112 df-3an 1113 df-tru 1660 df-ex 1879 df-nf 1883 df-sb 2068 df-mo 2605 df-eu 2640 df-clab 2812 df-cleq 2818 df-clel 2821 df-nfc 2958 df-ne 3000 df-nel 3103 df-ral 3122 df-rex 3123 df-reu 3124 df-rmo 3125 df-rab 3126 df-v 3416 df-sbc 3663 df-csb 3758 df-dif 3801 df-un 3803 df-in 3805 df-ss 3812 df-pss 3814 df-nul 4147 df-if 4309 df-pw 4382 df-sn 4400 df-pr 4402 df-tp 4404 df-op 4406 df-uni 4661 df-iun 4744 df-br 4876 df-opab 4938 df-mpt 4955 df-tr 4978 df-id 5252 df-eprel 5257 df-po 5265 df-so 5266 df-fr 5305 df-we 5307 df-xp 5352 df-rel 5353 df-cnv 5354 df-co 5355 df-dm 5356 df-rn 5357 df-res 5358 df-ima 5359 df-pred 5924 df-ord 5970 df-on 5971 df-lim 5972 df-suc 5973 df-iota 6090 df-fun 6129 df-fn 6130 df-f 6131 df-f1 6132 df-fo 6133 df-f1o 6134 df-fv 6135 df-riota 6871 df-ov 6913 df-oprab 6914 df-mpt2 6915 df-om 7332 df-2nd 7434 df-wrecs 7677 df-recs 7739 df-rdg 7777 df-er 8014 df-en 8229 df-dom 8230 df-sdom 8231 df-sup 8623 df-inf 8624 df-pnf 10400 df-mnf 10401 df-xr 10402 df-ltxr 10403 df-le 10404 df-sub 10594 df-neg 10595 df-div 11017 df-nn 11358 df-2 11421 df-3 11422 df-n0 11626 df-z 11712 df-uz 11976 df-rp 12120 df-fl 12895 df-mod 12971 df-seq 13103 df-exp 13162 df-cj 14223 df-re 14224 df-im 14225 df-sqrt 14359 df-abs 14360 df-dvds 15365 df-gcd 15597

This theorem is referenced by: 4sqlem17 16043

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