4sqlem16 - Metamath Proof Explorer

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Theorem 4sqlem16 17007

Description: Lemma for 4sq 17011. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
4sq.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5	⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6	⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7	⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
4sq.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2))
4sq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
4sq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
4sq.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
4sq.e	⊢ 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.f	⊢ 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.g	⊢ 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.h	⊢ 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.r	⊢ 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
4sq.p	⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))

**Assertion**
Ref	Expression
4sqlem16	⊢ (𝜑 → (𝑅 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃))))

Distinct variable groups: 𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧 𝐵,𝑛 𝑛,𝐸 𝑛,𝐺 𝑛,𝐻 𝐴,𝑛 𝐶,𝑛 𝐷,𝑛 𝑛,𝐹 𝑖,𝑛,𝑀 𝑛,𝑁 𝑃,𝑖,𝑛 𝜑,𝑛 𝑆,𝑖,𝑛 𝑅,𝑖 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) 𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑛) 𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) 𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛) 𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) 𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

**Proof of Theorem 4sqlem16**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
2		4sq.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3		4sq.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2))
4		eluz2nn 12949	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑀 ∈ ℕ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
6		4sq.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
7	2, 5, 6	4sqlem5 16989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ))
8	7	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
9		zsqcl 14179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
11	10	zred 12747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
12		4sq.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
13		4sq.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
14	12, 5, 13	4sqlem5 16989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℤ ∧ ((𝐵 − 𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ))
15	14	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
16		zsqcl 14179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
18	17	zred 12747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℝ)
19	11, 18	readdcld 11319	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℝ)
20		4sq.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
21		4sq.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
22	20, 5, 21	4sqlem5 16989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℤ ∧ ((𝐶 − 𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ))
23	22	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℤ)
24		zsqcl 14179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺↑2) ∈ ℤ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℤ)
26	25	zred 12747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℝ)
27		4sq.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
28		4sq.h	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
29	27, 5, 28	4sqlem5 16989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ∧ ((𝐷 − 𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ))
30	29	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
31		zsqcl 14179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ∈ ℤ → (𝐻↑2) ∈ ℤ)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℤ)
33	32	zred 12747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℝ)
34	26, 33	readdcld 11319	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℝ)
35	5	nnred 12308	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
36	35	resqcld 14175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℝ)
37	36	rehalfcld 12540	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℝ)
38	37	rehalfcld 12540	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℝ)
39	2, 5, 6	4sqlem7 16991	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
40	12, 5, 13	4sqlem7 16991	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
41	11, 18, 38, 38, 39, 40	le2addd 11909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
42	37	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℂ)
43	42	2halvesd 12539	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) = ((𝑀↑2) / 2))
44	41, 43	breqtrd 5192	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2))
45	20, 5, 21	4sqlem7 16991	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
46	27, 5, 28	4sqlem7 16991	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
47	26, 33, 38, 38, 45, 46	le2addd 11909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
48	47, 43	breqtrd 5192	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2))
49	19, 34, 37, 37, 44, 48	le2addd 11909	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≤ (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)))
50	36	recnd 11318	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
51	50	2halvesd 12539	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)) = (𝑀↑2))
52	49, 51	breqtrd 5192	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≤ (𝑀↑2))
53	35	recnd 11318	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
54	53	sqvald 14193	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
55	52, 54	breqtrd 5192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≤ (𝑀 · 𝑀))
56	19, 34	readdcld 11319	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ)
57	5	nngt0d 12342	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
58		ledivmul 12171	. . . . 5 ⊢ (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ≤ 𝑀 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≤ (𝑀 · 𝑀)))
59	56, 35, 35, 57, 58	syl112anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ≤ 𝑀 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ≤ (𝑀 · 𝑀)))
60	55, 59	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ≤ 𝑀)
61	1, 60	eqbrtrid 5201	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ 𝑀)
62		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → 𝑅 = 0)
63	1, 62	eqtr3id 2794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 0)
64	56	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℂ)
65	5	nnne0d 12343	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
66	64, 53, 65	diveq0ad 12080	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 0 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0))
67		zsqcl2 14188	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈ ℕ₀)
68	8, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℕ₀)
69		zsqcl2 14188	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈ ℕ₀)
70	15, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℕ₀)
71	68, 70	nn0addcld 12617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℕ₀)
72	71	nn0ge0d 12616	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
73		zsqcl2 14188	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺↑2) ∈ ℕ₀)
74	23, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℕ₀)
75		zsqcl2 14188	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐻 ∈ ℤ → (𝐻↑2) ∈ ℕ₀)
76	30, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℕ₀)
77	74, 76	nn0addcld 12617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℕ₀)
78	77	nn0ge0d 12616	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))
79		add20 11802	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∧ (((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0)))
80	19, 72, 34, 78, 79	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0)))
81	66, 80	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 0 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0)))
82	81	biimpa 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 0) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0))
83	63, 82	syldan 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0))
84	83	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0)
85	68	nn0ge0d 12616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐸↑2))
86	70	nn0ge0d 12616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹↑2))
87		add20 11802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐸↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐸↑2)) ∧ ((𝐹↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹↑2))) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ↔ ((𝐸↑2) = 0 ∧ (𝐹↑2) = 0)))
88	11, 85, 18, 86, 87	syl22anc 838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0 ↔ ((𝐸↑2) = 0 ∧ (𝐹↑2) = 0)))
89	88	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = 0) → ((𝐸↑2) = 0 ∧ (𝐹↑2) = 0))
90	84, 89	syldan 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → ((𝐸↑2) = 0 ∧ (𝐹↑2) = 0))
91	90	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝐸↑2) = 0)
92	2, 5, 6, 91	4sqlem9 16993	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2))
93	90	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝐹↑2) = 0)
94	12, 5, 13, 93	4sqlem9 16993	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2))
95	5	nnsqcld 14293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℕ)
96	95	nnzd 12666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
97		zsqcl 14179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
98	2, 97	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
99		zsqcl 14179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
100	12, 99	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
101		dvds2add 16338	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℤ) → (((𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
102	96, 98, 100, 101	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
103	102	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (((𝑀↑2) ∥ (𝐴↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐵↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
104	92, 94, 103	mp2and 698	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
105	83	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0)
106	74	nn0ge0d 12616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐺↑2))
107	76	nn0ge0d 12616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐻↑2))
108		add20 11802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐺↑2)) ∧ ((𝐻↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐻↑2))) → (((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0 ↔ ((𝐺↑2) = 0 ∧ (𝐻↑2) = 0)))
109	26, 106, 33, 107, 108	syl22anc 838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0 ↔ ((𝐺↑2) = 0 ∧ (𝐻↑2) = 0)))
110	109	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) = 0) → ((𝐺↑2) = 0 ∧ (𝐻↑2) = 0))
111	105, 110	syldan 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → ((𝐺↑2) = 0 ∧ (𝐻↑2) = 0))
112	111	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝐺↑2) = 0)
113	20, 5, 21, 112	4sqlem9 16993	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ (𝐶↑2))
114	111	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝐻↑2) = 0)
115	27, 5, 28, 114	4sqlem9 16993	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ (𝐷↑2))
116		zsqcl 14179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
117	20, 116	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
118		zsqcl 14179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
119	27, 118	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
120		dvds2add 16338	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐷↑2) ∈ ℤ) → (((𝑀↑2) ∥ (𝐶↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐷↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
121	96, 117, 119, 120	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) ∥ (𝐶↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐷↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
122	121	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (((𝑀↑2) ∥ (𝐶↑2) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝐷↑2)) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
123	113, 115, 122	mp2and 698	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
124	98, 100	zaddcld 12751	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
125	117, 119	zaddcld 12751	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ)
126		dvds2add 16338	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℤ ∧ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ) → (((𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∧ (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))))
127	96, 124, 125, 126	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∧ (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))))
128	127	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (((𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∧ (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))))
129	104, 123, 128	mp2and 698	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 0) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
130	96	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
131	124	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
132	43	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) = ((𝑀↑2) / 2))
133		4sq.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
134		4sq.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
135		4sq.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
136		4sq.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
137		4sq.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
138		4sq.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
139		4sq.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
140		4sq.p	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
141	133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 3, 2, 12, 20, 27, 6, 13, 21, 28, 1, 140	4sqlem15 17006	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0) ∧ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0)))
142	141	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0))
143	142	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0)
144	38	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℂ)
145	10	zcnd 12748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
146	144, 145	subeq0ad 11657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ↔ (((𝑀↑2) / 2) / 2) = (𝐸↑2)))
147	146	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ↔ (((𝑀↑2) / 2) / 2) = (𝐸↑2)))
148	143, 147	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝑀↑2) / 2) / 2) = (𝐸↑2))
149	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
150	148, 149	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℤ)
151	150, 150	zaddcld 12751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ)
152	132, 151	eqeltrrd 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℤ)
153	131, 152	zsubcld 12752	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) ∈ ℤ)
154	125	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ)
155	154, 152	zsubcld 12752	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) ∈ ℤ)
156	98	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
157	156, 150	zsubcld 12752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ)
158	100	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
159	158, 150	zsubcld 12752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ)
160	2, 5, 6, 143	4sqlem10 16994	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
161	142	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0)
162	12, 5, 13, 161	4sqlem10 16994	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
163	130, 157, 159, 160, 162	dvds2addd 16340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))))
164	98	zcnd 12748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
165	100	zcnd 12748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
166	164, 165, 144, 144	addsub4d 11694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))))
167	43	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
168	166, 167	eqtr3d 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
169	168	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐵↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
170	163, 169	breqtrd 5192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
171	117	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
172	171, 150	zsubcld 12752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ)
173	119	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
174	173, 150	zsubcld 12752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) ∈ ℤ)
175	141	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0))
176	175	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0)
177	20, 5, 21, 176	4sqlem10 16994	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
178	175	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0)
179	27, 5, 28, 178	4sqlem10 16994	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
180	130, 172, 174, 177, 179	dvds2addd 16340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))))
181	117	zcnd 12748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
182	119	zcnd 12748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
183	181, 182, 144, 144	addsub4d 11694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))))
184	43	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
185	183, 184	eqtr3d 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
186	185	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝐶↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)) + ((𝐷↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2))) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
187	180, 186	breqtrd 5192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)))
188	130, 153, 155, 170, 187	dvds2addd 16340	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))))
189	124	zcnd 12748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
190	125	zcnd 12748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
191	189, 190, 42, 42	addsub4d 11694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))))
192	51	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2)))
193	191, 192	eqtr3d 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2)))
194	193	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝑀↑2) / 2)) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝑀↑2) / 2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2)))
195	188, 194	breqtrd 5192	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2)))
196	124, 125	zaddcld 12751	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ ℤ)
197	196	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ ℤ)
198		dvdssubr 16353	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ ℤ) → ((𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ↔ (𝑀↑2) ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2))))
199	130, 197, 198	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ↔ (𝑀↑2) ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (𝑀↑2))))
200	195, 199	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
201	129, 200	jaodan 958	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀)) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
202	140	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀)) → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
203	201, 202	breqtrrd 5194	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀)) → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃))
204	203	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃)))
205	61, 204	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) ∥ (𝑀 · 𝑃))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 846 = wceq 1537 ∈ wcel 2108 {cab 2717 ∃wrex 3076 {crab 3443 ⊆ wss 3976 class class class wbr 5166 ‘cfv 6573 (class class class)co 7448 infcinf 9510 ℝcr 11183 0cc0 11184 1c1 11185 + caddc 11187 · cmul 11189 < clt 11324 ≤ cle 11325 − cmin 11520 / cdiv 11947 ℕcn 12293 2c2 12348 ℕ₀cn0 12553 ℤcz 12639 ℤ_≥cuz 12903 ...cfz 13567 mod cmo 13920 ↑cexp 14112 ∥ cdvds 16302 ℙcprime 16718

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1793 ax-4 1807 ax-5 1909 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2711 ax-sep 5317 ax-nul 5324 ax-pow 5383 ax-pr 5447 ax-un 7770 ax-cnex 11240 ax-resscn 11241 ax-1cn 11242 ax-icn 11243 ax-addcl 11244 ax-addrcl 11245 ax-mulcl 11246 ax-mulrcl 11247 ax-mulcom 11248 ax-addass 11249 ax-mulass 11250 ax-distr 11251 ax-i2m1 11252 ax-1ne0 11253 ax-1rid 11254 ax-rnegex 11255 ax-rrecex 11256 ax-cnre 11257 ax-pre-lttri 11258 ax-pre-lttrn 11259 ax-pre-ltadd 11260 ax-pre-mulgt0 11261 ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 847 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1778 df-nf 1782 df-sb 2065 df-mo 2543 df-eu 2572 df-clab 2718 df-cleq 2732 df-clel 2819 df-nfc 2895 df-ne 2947 df-nel 3053 df-ral 3068 df-rex 3077 df-rmo 3388 df-reu 3389 df-rab 3444 df-v 3490 df-sbc 3805 df-csb 3922 df-dif 3979 df-un 3981 df-in 3983 df-ss 3993 df-pss 3996 df-nul 4353 df-if 4549 df-pw 4624 df-sn 4649 df-pr 4651 df-op 4655 df-uni 4932 df-iun 5017 df-br 5167 df-opab 5229 df-mpt 5250 df-tr 5284 df-id 5593 df-eprel 5599 df-po 5607 df-so 5608 df-fr 5652 df-we 5654 df-xp 5706 df-rel 5707 df-cnv 5708 df-co 5709 df-dm 5710 df-rn 5711 df-res 5712 df-ima 5713 df-pred 6332 df-ord 6398 df-on 6399 df-lim 6400 df-suc 6401 df-iota 6525 df-fun 6575 df-fn 6576 df-f 6577 df-f1 6578 df-fo 6579 df-f1o 6580 df-fv 6581 df-riota 7404 df-ov 7451 df-oprab 7452 df-mpo 7453 df-om 7904 df-2nd 8031 df-frecs 8322 df-wrecs 8353 df-recs 8427 df-rdg 8466 df-er 8763 df-en 9004 df-dom 9005 df-sdom 9006 df-sup 9511 df-inf 9512 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-xr 11328 df-ltxr 11329 df-le 11330 df-sub 11522 df-neg 11523 df-div 11948 df-nn 12294 df-2 12356 df-3 12357 df-n0 12554 df-z 12640 df-uz 12904 df-rp 13058 df-fl 13843 df-mod 13921 df-seq 14053 df-exp 14113 df-cj 15148 df-re 15149 df-im 15150 df-sqrt 15284 df-abs 15285 df-dvds 16303 df-gcd 16541

This theorem is referenced by: 4sqlem17 17008

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