MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem15 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem15 16838
Description: Lemma for 4sq 16843. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1 ๐‘† = {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ๐‘› = (((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) + ((๐‘งโ†‘2) + (๐‘คโ†‘2)))}
4sq.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
4sq.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((2 ยท ๐‘) + 1))
4sq.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
4sq.5 (๐œ‘ โ†’ (0...(2 ยท ๐‘)) โŠ† ๐‘†)
4sq.6 ๐‘‡ = {๐‘– โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘– ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†}
4sq.7 ๐‘€ = inf(๐‘‡, โ„, < )
4sq.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
4sq.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
4sq.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
4sq.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
4sq.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
4sq.e ๐ธ = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
4sq.f ๐น = (((๐ต + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
4sq.g ๐บ = (((๐ถ + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
4sq.h ๐ป = (((๐ท + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
4sq.r ๐‘… = ((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) / ๐‘€)
4sq.p (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) + ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))))
Assertion
Ref Expression
4sqlem15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ ((((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) = 0 โˆง ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2)) = 0) โˆง (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) = 0 โˆง ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2)) = 0)))
Distinct variable groups:   ๐‘ค,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐ต,๐‘›   ๐‘›,๐ธ   ๐‘›,๐บ   ๐‘›,๐ป   ๐ด,๐‘›   ๐ถ,๐‘›   ๐ท,๐‘›   ๐‘›,๐น   ๐‘–,๐‘›,๐‘€   ๐‘›,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘›   ๐œ‘,๐‘›   ๐‘†,๐‘–,๐‘›   ๐‘…,๐‘–
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐ท(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘…(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘›)   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–,๐‘›)   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐ป(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐‘€(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)

Proof of Theorem 4sqlem15
StepHypRef Expression
1 4sq.m . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
2 eluz2nn 12816 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
43nnred 12175 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
54resqcld 14037 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„)
65rehalfcld 12407 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„)
76rehalfcld 12407 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆˆ โ„)
87recnd 11190 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆˆ โ„‚)
9 4sq.a . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
10 4sq.e . . . . . . . . . . . 12 ๐ธ = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
119, 3, 104sqlem5 16821 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ธ) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
1211simpld 496 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„ค)
13 zsqcl 14041 . . . . . . . . . 10 (๐ธ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
1514zred 12614 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„)
1615recnd 11190 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
17 4sq.b . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
18 4sq.f . . . . . . . . . . . 12 ๐น = (((๐ต + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
1917, 3, 184sqlem5 16821 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ต โˆ’ ๐น) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
2019simpld 496 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„ค)
21 zsqcl 14041 . . . . . . . . . 10 (๐น โˆˆ โ„ค โ†’ (๐นโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2322zred 12614 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ†‘2) โˆˆ โ„)
2423recnd 11190 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
258, 8, 16, 24addsub4d 11566 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) + (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) = (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) + ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2))))
266recnd 11190 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„‚)
27262halvesd 12406 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) + (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)) = ((๐‘€โ†‘2) / 2))
2827oveq1d 7377 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) + (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) = (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))))
2925, 28eqtr3d 2779 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) + ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2))) = (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))))
3029adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) + ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2))) = (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))))
315recnd 11190 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
32312halvesd 12406 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) + ((๐‘€โ†‘2) / 2)) = (๐‘€โ†‘2))
3332adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) + ((๐‘€โ†‘2) / 2)) = (๐‘€โ†‘2))
344recnd 11190 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
3534sqvald 14055 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘2) = (๐‘€ ยท ๐‘€))
3635adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ (๐‘€โ†‘2) = (๐‘€ ยท ๐‘€))
37 4sq.r . . . . . . . . . . 11 ๐‘… = ((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) / ๐‘€)
38 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ ๐‘… = ๐‘€)
3937, 38eqtr3id 2791 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ ((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) / ๐‘€) = ๐‘€)
4039oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ (((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) / ๐‘€) ยท ๐‘€) = (๐‘€ ยท ๐‘€))
4115, 23readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„)
42 4sq.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
43 4sq.g . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ๐บ = (((๐ถ + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
4442, 3, 434sqlem5 16821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐บ) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
4544simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„ค)
46 zsqcl 14041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐บ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐บโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
4847zred 12614 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ†‘2) โˆˆ โ„)
49 4sq.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
50 4sq.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ๐ป = (((๐ท + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
5149, 3, 504sqlem5 16821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐ป โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ท โˆ’ ๐ป) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
5251simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„ค)
53 zsqcl 14041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ป โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ปโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ปโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
5554zred 12614 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ปโ†‘2) โˆˆ โ„)
5648, 55readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)) โˆˆ โ„)
5741, 56readdcld 11191 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) โˆˆ โ„)
5857recnd 11190 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
593nnne0d 12210 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
6058, 34, 59divcan1d 11939 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) / ๐‘€) ยท ๐‘€) = (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))))
6160adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ (((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) / ๐‘€) ยท ๐‘€) = (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))))
6236, 40, 613eqtr2rd 2784 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) = (๐‘€โ†‘2))
6333, 62oveq12d 7380 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) + ((๐‘€โ†‘2) / 2)) โˆ’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)))) = ((๐‘€โ†‘2) โˆ’ (๐‘€โ†‘2)))
6441recnd 11190 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
6556recnd 11190 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
6626, 26, 64, 65addsub4d 11566 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) + ((๐‘€โ†‘2) / 2)) โˆ’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)))) = ((((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) + (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)))))
6766adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) + ((๐‘€โ†‘2) / 2)) โˆ’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)))) = ((((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) + (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)))))
6831subidd 11507 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€โ†‘2) โˆ’ (๐‘€โ†‘2)) = 0)
6968adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ ((๐‘€โ†‘2) โˆ’ (๐‘€โ†‘2)) = 0)
7063, 67, 693eqtr3d 2785 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) + (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)))) = 0)
716, 41resubcld 11590 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) โˆˆ โ„)
729, 3, 104sqlem7 16823 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ†‘2) โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2))
7317, 3, 184sqlem7 16823 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ†‘2) โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2))
7415, 23, 7, 7, 72, 73le2addd 11781 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โ‰ค ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) + (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))
7574, 27breqtrd 5136 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘2) / 2))
766, 41subge0d 11752 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) โ†” ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘2) / 2)))
7775, 76mpbird 257 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))))
786, 56resubcld 11590 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) โˆˆ โ„)
7942, 3, 434sqlem7 16823 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ†‘2) โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2))
8049, 3, 504sqlem7 16823 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ปโ†‘2) โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2))
8148, 55, 7, 7, 79, 80le2addd 11781 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)) โ‰ค ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) + (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))
8281, 27breqtrd 5136 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘2) / 2))
836, 56subge0d 11752 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) โ†” ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘2) / 2)))
8482, 83mpbird 257 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))))
85 add20 11674 . . . . . . . 8 ((((((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)))) โˆง ((((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))))) โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) + (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)))) = 0 โ†” ((((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) = 0 โˆง (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) = 0)))
8671, 77, 78, 84, 85syl22anc 838 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) + (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)))) = 0 โ†” ((((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) = 0 โˆง (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) = 0)))
8786biimpa 478 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) + (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)))) = 0) โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) = 0 โˆง (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) = 0))
8870, 87syldan 592 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) = 0 โˆง (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) = 0))
8988simpld 496 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) = 0)
9030, 89eqtrd 2777 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) + ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2))) = 0)
917, 15resubcld 11590 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) โˆˆ โ„)
927, 15subge0d 11752 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) โ†” (๐ธโ†‘2) โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))
9372, 92mpbird 257 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)))
947, 23resubcld 11590 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„)
957, 23subge0d 11752 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2)) โ†” (๐นโ†‘2) โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))
9673, 95mpbird 257 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2)))
97 add20 11674 . . . . 5 (((((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2))) โˆง (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2)))) โ†’ ((((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) + ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2))) = 0 โ†” (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) = 0 โˆง ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2)) = 0)))
9891, 93, 94, 96, 97syl22anc 838 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) + ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2))) = 0 โ†” (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) = 0 โˆง ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2)) = 0)))
9998biimpa 478 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) + ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2))) = 0) โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) = 0 โˆง ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2)) = 0))
10090, 99syldan 592 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) = 0 โˆง ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2)) = 0))
10148recnd 11190 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
10255recnd 11190 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ปโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
1038, 8, 101, 102addsub4d 11566 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) + (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) = (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) + ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2))))
10427oveq1d 7377 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) + (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) = (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))))
105103, 104eqtr3d 2779 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) + ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2))) = (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))))
106105adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) + ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2))) = (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))))
10788simprd 497 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) = 0)
108106, 107eqtrd 2777 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) + ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2))) = 0)
1097, 48resubcld 11590 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) โˆˆ โ„)
1107, 48subge0d 11752 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) โ†” (๐บโ†‘2) โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))
11179, 110mpbird 257 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)))
1127, 55resubcld 11590 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2)) โˆˆ โ„)
1137, 55subge0d 11752 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2)) โ†” (๐ปโ†‘2) โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))
11480, 113mpbird 257 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2)))
115 add20 11674 . . . . 5 (((((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2))) โˆง (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2)))) โ†’ ((((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) + ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2))) = 0 โ†” (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) = 0 โˆง ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2)) = 0)))
116109, 111, 112, 114, 115syl22anc 838 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) + ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2))) = 0 โ†” (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) = 0 โˆง ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2)) = 0)))
117116biimpa 478 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) + ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2))) = 0) โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) = 0 โˆง ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2)) = 0))
118108, 117syldan 592 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) = 0 โˆง ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2)) = 0))
119100, 118jca 513 1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ ((((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) = 0 โˆง ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2)) = 0) โˆง (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) = 0 โˆง ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2)) = 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {cab 2714  โˆƒwrex 3074  {crab 3410   โŠ† wss 3915   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  infcinf 9384  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  ...cfz 13431   mod cmo 13781  โ†‘cexp 13974  โ„™cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128
This theorem is referenced by:  4sqlem16  16839
  Copyright terms: Public domain W3C validator