MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem15 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem15 16901
Description: Lemma for 4sq 16906. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1 ๐‘† = {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ๐‘› = (((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) + ((๐‘งโ†‘2) + (๐‘คโ†‘2)))}
4sq.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
4sq.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((2 ยท ๐‘) + 1))
4sq.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
4sq.5 (๐œ‘ โ†’ (0...(2 ยท ๐‘)) โІ ๐‘†)
4sq.6 ๐‘‡ = {๐‘– โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘– ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†}
4sq.7 ๐‘€ = inf(๐‘‡, โ„, < )
4sq.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
4sq.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
4sq.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
4sq.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
4sq.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
4sq.e ๐ธ = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
4sq.f ๐น = (((๐ต + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
4sq.g ๐บ = (((๐ถ + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
4sq.h ๐ป = (((๐ท + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
4sq.r ๐‘… = ((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) / ๐‘€)
4sq.p (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ƒ) = (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) + ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))))
Assertion
Ref Expression
4sqlem15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ ((((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) = 0 โˆง ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2)) = 0) โˆง (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) = 0 โˆง ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2)) = 0)))
Distinct variable groups:   ๐‘ค,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐ต,๐‘›   ๐‘›,๐ธ   ๐‘›,๐บ   ๐‘›,๐ป   ๐ด,๐‘›   ๐ถ,๐‘›   ๐ท,๐‘›   ๐‘›,๐น   ๐‘–,๐‘›,๐‘€   ๐‘›,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘›   ๐œ‘,๐‘›   ๐‘†,๐‘–,๐‘›   ๐‘…,๐‘–
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐ท(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘…(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘›)   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–,๐‘›)   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐ป(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐‘€(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)

Proof of Theorem 4sqlem15
StepHypRef Expression
1 4sq.m . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
2 eluz2nn 12872 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
43nnred 12231 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
54resqcld 14095 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„)
65rehalfcld 12463 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„)
76rehalfcld 12463 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆˆ โ„)
87recnd 11246 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆˆ โ„‚)
9 4sq.a . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
10 4sq.e . . . . . . . . . . . 12 ๐ธ = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
119, 3, 104sqlem5 16884 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ธ) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
1211simpld 494 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„ค)
13 zsqcl 14099 . . . . . . . . . 10 (๐ธ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
1514zred 12670 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„)
1615recnd 11246 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
17 4sq.b . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
18 4sq.f . . . . . . . . . . . 12 ๐น = (((๐ต + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
1917, 3, 184sqlem5 16884 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ต โˆ’ ๐น) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
2019simpld 494 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„ค)
21 zsqcl 14099 . . . . . . . . . 10 (๐น โˆˆ โ„ค โ†’ (๐นโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2322zred 12670 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ†‘2) โˆˆ โ„)
2423recnd 11246 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
258, 8, 16, 24addsub4d 11622 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) + (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) = (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) + ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2))))
266recnd 11246 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„‚)
27262halvesd 12462 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) + (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)) = ((๐‘€โ†‘2) / 2))
2827oveq1d 7420 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) + (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) = (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))))
2925, 28eqtr3d 2768 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) + ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2))) = (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))))
3029adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) + ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2))) = (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))))
315recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
32312halvesd 12462 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) + ((๐‘€โ†‘2) / 2)) = (๐‘€โ†‘2))
3332adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) + ((๐‘€โ†‘2) / 2)) = (๐‘€โ†‘2))
344recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
3534sqvald 14113 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘2) = (๐‘€ ยท ๐‘€))
3635adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ (๐‘€โ†‘2) = (๐‘€ ยท ๐‘€))
37 4sq.r . . . . . . . . . . 11 ๐‘… = ((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) / ๐‘€)
38 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ ๐‘… = ๐‘€)
3937, 38eqtr3id 2780 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ ((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) / ๐‘€) = ๐‘€)
4039oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ (((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) / ๐‘€) ยท ๐‘€) = (๐‘€ ยท ๐‘€))
4115, 23readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„)
42 4sq.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
43 4sq.g . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ๐บ = (((๐ถ + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
4442, 3, 434sqlem5 16884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ถ โˆ’ ๐บ) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
4544simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„ค)
46 zsqcl 14099 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐บ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐บโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
4847zred 12670 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ†‘2) โˆˆ โ„)
49 4sq.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
50 4sq.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ๐ป = (((๐ท + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
5149, 3, 504sqlem5 16884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐ป โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ท โˆ’ ๐ป) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
5251simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„ค)
53 zsqcl 14099 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ป โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ปโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ปโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
5554zred 12670 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ปโ†‘2) โˆˆ โ„)
5648, 55readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)) โˆˆ โ„)
5741, 56readdcld 11247 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) โˆˆ โ„)
5857recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
593nnne0d 12266 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
6058, 34, 59divcan1d 11995 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) / ๐‘€) ยท ๐‘€) = (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))))
6160adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ (((((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) / ๐‘€) ยท ๐‘€) = (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))))
6236, 40, 613eqtr2rd 2773 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) = (๐‘€โ†‘2))
6333, 62oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) + ((๐‘€โ†‘2) / 2)) โˆ’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)))) = ((๐‘€โ†‘2) โˆ’ (๐‘€โ†‘2)))
6441recnd 11246 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
6556recnd 11246 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
6626, 26, 64, 65addsub4d 11622 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) + ((๐‘€โ†‘2) / 2)) โˆ’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)))) = ((((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) + (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)))))
6766adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) + ((๐‘€โ†‘2) / 2)) โˆ’ (((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) + ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)))) = ((((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) + (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)))))
6831subidd 11563 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€โ†‘2) โˆ’ (๐‘€โ†‘2)) = 0)
6968adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ ((๐‘€โ†‘2) โˆ’ (๐‘€โ†‘2)) = 0)
7063, 67, 693eqtr3d 2774 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) + (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)))) = 0)
716, 41resubcld 11646 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) โˆˆ โ„)
729, 3, 104sqlem7 16886 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ†‘2) โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2))
7317, 3, 184sqlem7 16886 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ†‘2) โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2))
7415, 23, 7, 7, 72, 73le2addd 11837 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โ‰ค ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) + (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))
7574, 27breqtrd 5167 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘2) / 2))
766, 41subge0d 11808 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) โ†” ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘2) / 2)))
7775, 76mpbird 257 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))))
786, 56resubcld 11646 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) โˆˆ โ„)
7942, 3, 434sqlem7 16886 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ†‘2) โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2))
8049, 3, 504sqlem7 16886 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ปโ†‘2) โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2))
8148, 55, 7, 7, 79, 80le2addd 11837 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)) โ‰ค ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) + (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))
8281, 27breqtrd 5167 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘2) / 2))
836, 56subge0d 11808 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) โ†” ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘2) / 2)))
8482, 83mpbird 257 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))))
85 add20 11730 . . . . . . . 8 ((((((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2)))) โˆง ((((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))))) โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) + (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)))) = 0 โ†” ((((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) = 0 โˆง (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) = 0)))
8671, 77, 78, 84, 85syl22anc 836 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) + (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)))) = 0 โ†” ((((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) = 0 โˆง (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) = 0)))
8786biimpa 476 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) + (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2)))) = 0) โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) = 0 โˆง (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) = 0))
8870, 87syldan 590 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) = 0 โˆง (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) = 0))
8988simpld 494 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ธโ†‘2) + (๐นโ†‘2))) = 0)
9030, 89eqtrd 2766 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) + ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2))) = 0)
917, 15resubcld 11646 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) โˆˆ โ„)
927, 15subge0d 11808 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) โ†” (๐ธโ†‘2) โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))
9372, 92mpbird 257 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)))
947, 23resubcld 11646 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„)
957, 23subge0d 11808 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2)) โ†” (๐นโ†‘2) โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))
9673, 95mpbird 257 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2)))
97 add20 11730 . . . . 5 (((((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2))) โˆง (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2)))) โ†’ ((((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) + ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2))) = 0 โ†” (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) = 0 โˆง ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2)) = 0)))
9891, 93, 94, 96, 97syl22anc 836 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) + ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2))) = 0 โ†” (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) = 0 โˆง ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2)) = 0)))
9998biimpa 476 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) + ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2))) = 0) โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) = 0 โˆง ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2)) = 0))
10090, 99syldan 590 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) = 0 โˆง ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2)) = 0))
10148recnd 11246 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
10255recnd 11246 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ปโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
1038, 8, 101, 102addsub4d 11622 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) + (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) = (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) + ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2))))
10427oveq1d 7420 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) + (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) = (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))))
105103, 104eqtr3d 2768 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) + ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2))) = (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))))
106105adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) + ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2))) = (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))))
10788simprd 495 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐บโ†‘2) + (๐ปโ†‘2))) = 0)
108106, 107eqtrd 2766 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) + ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2))) = 0)
1097, 48resubcld 11646 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) โˆˆ โ„)
1107, 48subge0d 11808 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) โ†” (๐บโ†‘2) โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))
11179, 110mpbird 257 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)))
1127, 55resubcld 11646 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2)) โˆˆ โ„)
1137, 55subge0d 11808 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2)) โ†” (๐ปโ†‘2) โ‰ค (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))
11480, 113mpbird 257 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2)))
115 add20 11730 . . . . 5 (((((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2))) โˆง (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2)))) โ†’ ((((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) + ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2))) = 0 โ†” (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) = 0 โˆง ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2)) = 0)))
116109, 111, 112, 114, 115syl22anc 836 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) + ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2))) = 0 โ†” (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) = 0 โˆง ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2)) = 0)))
117116biimpa 476 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) + ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2))) = 0) โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) = 0 โˆง ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2)) = 0))
118108, 117syldan 590 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) = 0 โˆง ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2)) = 0))
119100, 118jca 511 1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… = ๐‘€) โ†’ ((((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ธโ†‘2)) = 0 โˆง ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐นโ†‘2)) = 0) โˆง (((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐บโ†‘2)) = 0 โˆง ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ปโ†‘2)) = 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {cab 2703  โˆƒwrex 3064  {crab 3426   โІ wss 3943   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  infcinf 9438  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ...cfz 13490   mod cmo 13840  โ†‘cexp 14032  โ„™cprime 16615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189
This theorem is referenced by:  4sqlem16  16902
  Copyright terms: Public domain W3C validator