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Theorem 4sqlem15 16154
Description: Lemma for 4sq 16159. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5 (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
4sq.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
4sq.a (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sq.b (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
4sq.c (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
4sq.d (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
4sq.e 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.f 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.g 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.h 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.r 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
4sq.p (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
Assertion
Ref Expression
4sqlem15 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0) ∧ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐺   𝑛,𝐻   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛   𝐷,𝑛   𝑛,𝐹   𝑖,𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   𝑆,𝑖,𝑛   𝑅,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

Proof of Theorem 4sqlem15
StepHypRef Expression
1 4sq.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
2 eluz2nn 12101 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) → 𝑀 ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
43nnred 11458 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
54resqcld 13429 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℝ)
65rehalfcld 11697 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℝ)
76rehalfcld 11697 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℝ)
87recnd 10470 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℂ)
9 4sq.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
10 4sq.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
119, 3, 104sqlem5 16137 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ))
1211simpld 487 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
13 zsqcl 13312 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
1514zred 11903 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
1615recnd 10470 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
17 4sq.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
18 4sq.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
1917, 3, 184sqlem5 16137 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ∈ ℤ ∧ ((𝐵𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ))
2019simpld 487 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
21 zsqcl 13312 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
2322zred 11903 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℝ)
2423recnd 10470 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
258, 8, 16, 24addsub4d 10847 . . . . . 6 (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2))))
266recnd 10470 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℂ)
27262halvesd 11696 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) = ((𝑀↑2) / 2))
2827oveq1d 6993 . . . . . 6 (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
2925, 28eqtr3d 2816 . . . . 5 (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2))) = (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
3029adantr 473 . . . 4 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2))) = (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
315recnd 10470 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
32312halvesd 11696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)) = (𝑀↑2))
3332adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)) = (𝑀↑2))
344recnd 10470 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
3534sqvald 13325 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
3635adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
37 4sq.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
38 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → 𝑅 = 𝑀)
3937, 38syl5eqr 2828 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 𝑀)
4039oveq1d 6993 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) · 𝑀) = (𝑀 · 𝑀))
4115, 23readdcld 10471 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℝ)
42 4sq.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
43 4sq.g . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4442, 3, 434sqlem5 16137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐺 ∈ ℤ ∧ ((𝐶𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ))
4544simpld 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐺 ∈ ℤ)
46 zsqcl 13312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺↑2) ∈ ℤ)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℤ)
4847zred 11903 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℝ)
49 4sq.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
50 4sq.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
5149, 3, 504sqlem5 16137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ∧ ((𝐷𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ))
5251simpld 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐻 ∈ ℤ)
53 zsqcl 13312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 ∈ ℤ → (𝐻↑2) ∈ ℤ)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℤ)
5554zred 11903 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℝ)
5648, 55readdcld 10471 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℝ)
5741, 56readdcld 10471 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ)
5857recnd 10470 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℂ)
593nnne0d 11493 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ≠ 0)
6058, 34, 59divcan1d 11220 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) · 𝑀) = (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
6160adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) · 𝑀) = (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
6236, 40, 613eqtr2rd 2821 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = (𝑀↑2))
6333, 62oveq12d 6996 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((𝑀↑2) − (𝑀↑2)))
6441recnd 10470 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℂ)
6556recnd 10470 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℂ)
6626, 26, 64, 65addsub4d 10847 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
6766adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
6831subidd 10788 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀↑2) − (𝑀↑2)) = 0)
6968adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((𝑀↑2) − (𝑀↑2)) = 0)
7063, 67, 693eqtr3d 2822 . . . . . 6 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = 0)
716, 41resubcld 10871 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∈ ℝ)
729, 3, 104sqlem7 16139 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
7317, 3, 184sqlem7 16139 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
7415, 23, 7, 7, 72, 73le2addd 11062 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
7574, 27breqtrd 4956 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2))
766, 41subge0d 11033 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ≤ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ↔ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2)))
7775, 76mpbird 249 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
786, 56resubcld 10871 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ)
7942, 3, 434sqlem7 16139 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
8049, 3, 504sqlem7 16139 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐻↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
8148, 55, 7, 7, 79, 80le2addd 11062 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
8281, 27breqtrd 4956 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2))
836, 56subge0d 11033 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ≤ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ↔ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2)))
8482, 83mpbird 249 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
85 add20 10955 . . . . . . . 8 ((((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))) ∧ ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))) → (((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = 0 ↔ ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = 0 ∧ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0)))
8671, 77, 78, 84, 85syl22anc 826 . . . . . . 7 (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = 0 ↔ ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = 0 ∧ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0)))
8786biimpa 469 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = 0) → ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = 0 ∧ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0))
8870, 87syldan 582 . . . . 5 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = 0 ∧ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0))
8988simpld 487 . . . 4 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = 0)
9030, 89eqtrd 2814 . . 3 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2))) = 0)
917, 15resubcld 10871 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) ∈ ℝ)
927, 15subge0d 11033 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) ↔ (𝐸↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
9372, 92mpbird 249 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)))
947, 23resubcld 10871 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) ∈ ℝ)
957, 23subge0d 11033 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) ↔ (𝐹↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
9673, 95mpbird 249 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)))
97 add20 10955 . . . . 5 (((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2))) ∧ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)))) → ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2))) = 0 ↔ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0)))
9891, 93, 94, 96, 97syl22anc 826 . . . 4 (𝜑 → ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2))) = 0 ↔ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0)))
9998biimpa 469 . . 3 ((𝜑 ∧ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2))) = 0) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0))
10090, 99syldan 582 . 2 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0))
10148recnd 10470 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℂ)
10255recnd 10470 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℂ)
1038, 8, 101, 102addsub4d 10847 . . . . . 6 (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2))))
10427oveq1d 6993 . . . . . 6 (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
105103, 104eqtr3d 2816 . . . . 5 (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2))) = (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
106105adantr 473 . . . 4 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2))) = (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
10788simprd 488 . . . 4 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0)
108106, 107eqtrd 2814 . . 3 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2))) = 0)
1097, 48resubcld 10871 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) ∈ ℝ)
1107, 48subge0d 11033 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) ↔ (𝐺↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
11179, 110mpbird 249 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)))
1127, 55resubcld 10871 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) ∈ ℝ)
1137, 55subge0d 11033 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) ↔ (𝐻↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
11480, 113mpbird 249 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)))
115 add20 10955 . . . . 5 (((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2))) ∧ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)))) → ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2))) = 0 ↔ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0)))
116109, 111, 112, 114, 115syl22anc 826 . . . 4 (𝜑 → ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2))) = 0 ↔ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0)))
117116biimpa 469 . . 3 ((𝜑 ∧ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2))) = 0) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0))
118108, 117syldan 582 . 2 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0))
119100, 118jca 504 1 ((𝜑𝑅 = 𝑀) → ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0) ∧ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  {cab 2758  wrex 3089  {crab 3092  wss 3831   class class class wbr 4930  cfv 6190  (class class class)co 6978  infcinf 8702  cr 10336  0cc0 10337  1c1 10338   + caddc 10340   · cmul 10342   < clt 10476  cle 10477  cmin 10672   / cdiv 11100  cn 11441  2c2 11498  cz 11796  cuz 12061  ...cfz 12711   mod cmo 13055  cexp 13247  cprime 15874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-sup 8703  df-inf 8704  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-rp 12208  df-fl 12980  df-mod 13056  df-seq 13188  df-exp 13248  df-cj 14322  df-re 14323  df-im 14324  df-sqrt 14458  df-abs 14459
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