4sqlem15 - Metamath Proof Explorer

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Theorem 4sqlem15 17181

Description: Lemma for 4sq 17186. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
4sq.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5	⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6	⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7	⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
4sq.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2))
4sq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
4sq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
4sq.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
4sq.e	⊢ 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.f	⊢ 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.g	⊢ 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.h	⊢ 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.r	⊢ 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
4sq.p	⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))

**Assertion**
Ref	Expression
4sqlem15	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0) ∧ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0)))

Distinct variable groups: 𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧 𝐵,𝑛 𝑛,𝐸 𝑛,𝐺 𝑛,𝐻 𝐴,𝑛 𝐶,𝑛 𝐷,𝑛 𝑛,𝐹 𝑖,𝑛,𝑀 𝑛,𝑁 𝑃,𝑖,𝑛 𝜑,𝑛 𝑆,𝑖,𝑛 𝑅,𝑖 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑖) 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑖) 𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑖) 𝐶(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑖) 𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑖) 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑛) 𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑖, 𝑛) 𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑖) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑖) 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑖) 𝐻(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑖) 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) 𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑖)

**Proof of Theorem 4sqlem15**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2))
2		eluz2nn 13055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑀 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4	3	nnred 12390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
5	4	resqcld 14308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℝ)
6	5	rehalfcld 12633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℝ)
7	6	rehalfcld 12633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℂ)
9		4sq.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
10		4sq.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
11	9, 3, 10	4sqlem5 17164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ))
12	11	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
13		zsqcl 14312	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
14	12, 13	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
15	14	zred 12843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
17		4sq.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
18		4sq.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
19	17, 3, 18	4sqlem5 17164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℤ ∧ ((𝐵 − 𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ))
20	19	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
21		zsqcl 14312	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
22	20, 21	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
23	22	zred 12843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℝ)
24	23	recnd 11376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
25	8, 8, 16, 24	addsub4d 11755	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2))))
26	6	recnd 11376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℂ)
27	26	2halvesd 12632	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) = ((𝑀↑2) / 2))
28	27	oveq1d 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
29	25, 28	eqtr3d 2800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2))) = (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
30	29	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2))) = (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
31	5	recnd 11376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
32	31	2halvesd 12632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)) = (𝑀↑2))
33	32	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)) = (𝑀↑2))
34	4	recnd 11376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
35	34	sqvald 14326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
36	35	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
37		4sq.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
38		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → 𝑅 = 𝑀)
39	37, 38	eqtr3id 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 𝑀)
40	39	oveq1d 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) · 𝑀) = (𝑀 · 𝑀))
41	15, 23	readdcld 11377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℝ)
42		4sq.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
43		4sq.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
44	42, 3, 43	4sqlem5 17164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℤ ∧ ((𝐶 − 𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ))
45	44	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℤ)
46		zsqcl 14312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺↑2) ∈ ℤ)
47	45, 46	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℤ)
48	47	zred 12843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℝ)
49		4sq.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
50		4sq.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
51	49, 3, 50	4sqlem5 17164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ∧ ((𝐷 − 𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ))
52	51	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
53		zsqcl 14312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐻 ∈ ℤ → (𝐻↑2) ∈ ℤ)
54	52, 53	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℤ)
55	54	zred 12843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℝ)
56	48, 55	readdcld 11377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℝ)
57	41, 56	readdcld 11377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ)
58	57	recnd 11376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℂ)
59	3	nnne0d 12428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
60	58, 34, 59	divcan1d 12134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) · 𝑀) = (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
61	60	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) · 𝑀) = (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
62	36, 40, 61	3eqtr2rd 2805	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = (𝑀↑2))
63	33, 62	oveq12d 7469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((𝑀↑2) − (𝑀↑2)))
64	41	recnd 11376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℂ)
65	56	recnd 11376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℂ)
66	26, 26, 64, 65	addsub4d 11755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
67	66	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
68	31	subidd 11696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) − (𝑀↑2)) = 0)
69	68	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝑀↑2) − (𝑀↑2)) = 0)
70	63, 67, 69	3eqtr3d 2806	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = 0)
71	6, 41	resubcld 11783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∈ ℝ)
72	9, 3, 10	4sqlem7 17166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
73	17, 3, 18	4sqlem7 17166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
74	15, 23, 7, 7, 72, 73	le2addd 11975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
75	74, 27	breqtrd 5137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2))
76	6, 41	subge0d 11946	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ↔ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2)))
77	75, 76	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
78	6, 56	resubcld 11783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ)
79	42, 3, 43	4sqlem7 17166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
80	49, 3, 50	4sqlem7 17166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
81	48, 55, 7, 7, 79, 80	le2addd 11975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
82	81, 27	breqtrd 5137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2))
83	6, 56	subge0d 11946	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ↔ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2)))
84	82, 83	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
85		add20 11868	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))) ∧ ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))) → (((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = 0 ↔ ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = 0 ∧ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0)))
86	71, 77, 78, 84, 85	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = 0 ↔ ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = 0 ∧ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0)))
87	86	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = 0) → ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = 0 ∧ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0))
88	70, 87	syldan 603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = 0 ∧ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0))
89	88	simpld 500	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = 0)
90	30, 89	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2))) = 0)
91	7, 15	resubcld 11783	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) ∈ ℝ)
92	7, 15	subge0d 11946	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) ↔ (𝐸↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
93	72, 92	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)))
94	7, 23	resubcld 11783	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) ∈ ℝ)
95	7, 23	subge0d 11946	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) ↔ (𝐹↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
96	73, 95	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)))
97		add20 11868	. . . . 5 ⊢ (((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2))) ∧ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)))) → ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2))) = 0 ↔ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0)))
98	91, 93, 94, 96, 97	syl22anc 852	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2))) = 0 ↔ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0)))
99	98	biimpa 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2))) = 0) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0))
100	90, 99	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0))
101	48	recnd 11376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℂ)
102	55	recnd 11376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℂ)
103	8, 8, 101, 102	addsub4d 11755	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2))))
104	27	oveq1d 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
105	103, 104	eqtr3d 2800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2))) = (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
106	105	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2))) = (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
107	88	simprd 501	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0)
108	106, 107	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2))) = 0)
109	7, 48	resubcld 11783	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) ∈ ℝ)
110	7, 48	subge0d 11946	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) ↔ (𝐺↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
111	79, 110	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)))
112	7, 55	resubcld 11783	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) ∈ ℝ)
113	7, 55	subge0d 11946	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) ↔ (𝐻↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
114	80, 113	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)))
115		add20 11868	. . . . 5 ⊢ (((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2))) ∧ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)))) → ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2))) = 0 ↔ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0)))
116	109, 111, 112, 114, 115	syl22anc 852	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2))) = 0 ↔ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0)))
117	116	biimpa 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2))) = 0) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0))
118	108, 117	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0))
119	100, 118	jca 521	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0) ∧ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0)))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 = wceq 1570 ∈ wcel 2147 {cab 2741 ∃wrex 3090 {crab 3416 ⊆ wss 3900 class class class wbr 5108 ‘cfv 6566 (class class class)co 7451 infcinf 9470 ℝcr 11238 0cc0 11239 1c1 11240 + caddc 11242 · cmul 11244 < clt 11382 ≤ cle 11383 − cmin 11580 / cdiv 12013 ℕcn 12375 2c2 12437 ℤcz 12733 ℤ_≥cuz 13005 ...cfz 13679 mod cmo 14049 ↑cexp 14244 ℙcprime 16890

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1945 ax-6 2002 ax-7 2043 ax-8 2149 ax-9 2157 ax-10 2180 ax-11 2197 ax-12 2216 ax-ext 2735 ax-sep 5255 ax-nul 5266 ax-pow 5334 ax-pr 5398 ax-un 7783 ax-cnex 11295 ax-resscn 11296 ax-1cn 11297 ax-icn 11298 ax-addcl 11299 ax-addrcl 11300 ax-mulcl 11301 ax-mulrcl 11302 ax-mulcom 11303 ax-addass 11304 ax-mulass 11305 ax-distr 11306 ax-i2m1 11307 ax-1ne0 11308 ax-1rid 11309 ax-rnegex 11310 ax-rrecex 11311 ax-cnre 11312 ax-pre-lttri 11313 ax-pre-lttrn 11314 ax-pre-ltadd 11315 ax-pre-mulgt0 11316 ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2102 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-nel 3066 df-ral 3081 df-rex 3091 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3456 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-ss 3901 df-pss 4017 df-dif 4050 df-in 4094 df-un 4154 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4589 df-pr 4591 df-op 4841 df-uni 4873 df-iun 4958 df-br 5109 df-opab 5174 df-mpt 5193 df-tr 5219 df-id 5553 df-eprel 5558 df-po 5566 df-so 5567 df-fr 5611 df-we 5613 df-xp 5664 df-rel 5665 df-cnv 5666 df-co 5667 df-dm 5668 df-rn 5669 df-res 5670 df-ima 5671 df-pred 6330 df-ord 6391 df-on 6392 df-lim 6393 df-suc 6394 df-iota 6520 df-fun 6568 df-fn 6569 df-f 6570 df-f1 6571 df-fo 6572 df-f1o 6573 df-fv 6574 df-riota 7408 df-ov 7454 df-oprab 7455 df-mpo 7456 df-om 7912 df-2nd 8036 df-frecs 8337 df-wrecs 8368 df-recs 8417 df-rdg 8456 df-er 8755 df-en 9012 df-dom 9013 df-sdom 9014 df-sup 9471 df-inf 9472 df-pnf 11384 df-mnf 11385 df-xr 11386 df-ltxr 11387 df-le 11388 df-sub 11582 df-neg 11583 df-div 12014 df-nn 12376 df-2 12445 df-3 12446 df-n0 12647 df-z 12734 df-uz 13006 df-rp 13161 df-fl 13972 df-mod 14050 df-seq 14185 df-exp 14245 df-cj 15309 df-re 15310 df-im 15311 df-sqrt 15445 df-abs 15446

This theorem is used by: 4sqlem16 17182

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