4sqlem15 - Metamath Proof Explorer

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Theorem 4sqlem15 16963

Description: Lemma for 4sq 16968. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
4sq.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5	⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6	⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7	⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
4sq.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2))
4sq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
4sq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
4sq.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
4sq.e	⊢ 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.f	⊢ 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.g	⊢ 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.h	⊢ 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.r	⊢ 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
4sq.p	⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))

**Assertion**
Ref	Expression
4sqlem15	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0) ∧ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0)))

Distinct variable groups: 𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧 𝐵,𝑛 𝑛,𝐸 𝑛,𝐺 𝑛,𝐻 𝐴,𝑛 𝐶,𝑛 𝐷,𝑛 𝑛,𝐹 𝑖,𝑛,𝑀 𝑛,𝑁 𝑃,𝑖,𝑛 𝜑,𝑛 𝑆,𝑖,𝑛 𝑅,𝑖 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) 𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑛) 𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) 𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛) 𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) 𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

**Proof of Theorem 4sqlem15**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2))
2		eluz2nn 12922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑀 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4	3	nnred 12281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
5	4	resqcld 14146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℝ)
6	5	rehalfcld 12513	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℝ)
7	6	rehalfcld 12513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11294	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℂ)
9		4sq.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
10		4sq.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
11	9, 3, 10	4sqlem5 16946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ))
12	11	simpld 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
13		zsqcl 14150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
15	14	zred 12720	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11294	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
17		4sq.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
18		4sq.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
19	17, 3, 18	4sqlem5 16946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℤ ∧ ((𝐵 − 𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ))
20	19	simpld 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
21		zsqcl 14150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
23	22	zred 12720	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℝ)
24	23	recnd 11294	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
25	8, 8, 16, 24	addsub4d 11670	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2))))
26	6	recnd 11294	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℂ)
27	26	2halvesd 12512	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) = ((𝑀↑2) / 2))
28	27	oveq1d 7441	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
29	25, 28	eqtr3d 2768	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2))) = (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
30	29	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2))) = (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
31	5	recnd 11294	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
32	31	2halvesd 12512	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)) = (𝑀↑2))
33	32	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)) = (𝑀↑2))
34	4	recnd 11294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
35	34	sqvald 14164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
36	35	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
37		4sq.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
38		simpr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → 𝑅 = 𝑀)
39	37, 38	eqtr3id 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 𝑀)
40	39	oveq1d 7441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) · 𝑀) = (𝑀 · 𝑀))
41	15, 23	readdcld 11295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℝ)
42		4sq.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
43		4sq.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
44	42, 3, 43	4sqlem5 16946	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℤ ∧ ((𝐶 − 𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ))
45	44	simpld 493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℤ)
46		zsqcl 14150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺↑2) ∈ ℤ)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℤ)
48	47	zred 12720	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℝ)
49		4sq.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
50		4sq.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
51	49, 3, 50	4sqlem5 16946	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ∧ ((𝐷 − 𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ))
52	51	simpld 493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
53		zsqcl 14150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐻 ∈ ℤ → (𝐻↑2) ∈ ℤ)
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℤ)
55	54	zred 12720	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℝ)
56	48, 55	readdcld 11295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℝ)
57	41, 56	readdcld 11295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ)
58	57	recnd 11294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℂ)
59	3	nnne0d 12316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
60	58, 34, 59	divcan1d 12044	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) · 𝑀) = (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
61	60	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) · 𝑀) = (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
62	36, 40, 61	3eqtr2rd 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = (𝑀↑2))
63	33, 62	oveq12d 7444	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((𝑀↑2) − (𝑀↑2)))
64	41	recnd 11294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℂ)
65	56	recnd 11294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℂ)
66	26, 26, 64, 65	addsub4d 11670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
67	66	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
68	31	subidd 11611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) − (𝑀↑2)) = 0)
69	68	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝑀↑2) − (𝑀↑2)) = 0)
70	63, 67, 69	3eqtr3d 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = 0)
71	6, 41	resubcld 11694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∈ ℝ)
72	9, 3, 10	4sqlem7 16948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
73	17, 3, 18	4sqlem7 16948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
74	15, 23, 7, 7, 72, 73	le2addd 11885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
75	74, 27	breqtrd 5181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2))
76	6, 41	subge0d 11856	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ↔ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2)))
77	75, 76	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
78	6, 56	resubcld 11694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ)
79	42, 3, 43	4sqlem7 16948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
80	49, 3, 50	4sqlem7 16948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
81	48, 55, 7, 7, 79, 80	le2addd 11885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
82	81, 27	breqtrd 5181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2))
83	6, 56	subge0d 11856	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ↔ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2)))
84	82, 83	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
85		add20 11778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))) ∧ ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))) → (((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = 0 ↔ ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = 0 ∧ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0)))
86	71, 77, 78, 84, 85	syl22anc 837	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = 0 ↔ ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = 0 ∧ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0)))
87	86	biimpa 475	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = 0) → ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = 0 ∧ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0))
88	70, 87	syldan 589	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = 0 ∧ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0))
89	88	simpld 493	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = 0)
90	30, 89	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2))) = 0)
91	7, 15	resubcld 11694	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) ∈ ℝ)
92	7, 15	subge0d 11856	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) ↔ (𝐸↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
93	72, 92	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)))
94	7, 23	resubcld 11694	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) ∈ ℝ)
95	7, 23	subge0d 11856	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) ↔ (𝐹↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
96	73, 95	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)))
97		add20 11778	. . . . 5 ⊢ (((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2))) ∧ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)))) → ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2))) = 0 ↔ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0)))
98	91, 93, 94, 96, 97	syl22anc 837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2))) = 0 ↔ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0)))
99	98	biimpa 475	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2))) = 0) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0))
100	90, 99	syldan 589	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0))
101	48	recnd 11294	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℂ)
102	55	recnd 11294	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℂ)
103	8, 8, 101, 102	addsub4d 11670	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2))))
104	27	oveq1d 7441	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
105	103, 104	eqtr3d 2768	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2))) = (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
106	105	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2))) = (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
107	88	simprd 494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0)
108	106, 107	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2))) = 0)
109	7, 48	resubcld 11694	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) ∈ ℝ)
110	7, 48	subge0d 11856	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) ↔ (𝐺↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
111	79, 110	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)))
112	7, 55	resubcld 11694	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) ∈ ℝ)
113	7, 55	subge0d 11856	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) ↔ (𝐻↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
114	80, 113	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)))
115		add20 11778	. . . . 5 ⊢ (((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2))) ∧ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)))) → ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2))) = 0 ↔ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0)))
116	109, 111, 112, 114, 115	syl22anc 837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2))) = 0 ↔ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0)))
117	116	biimpa 475	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2))) = 0) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0))
118	108, 117	syldan 589	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0))
119	100, 118	jca 510	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0) ∧ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 394 = wceq 1534 ∈ wcel 2099 {cab 2703 ∃wrex 3060 {crab 3419 ⊆ wss 3947 class class class wbr 5155 ‘cfv 6556 (class class class)co 7426 infcinf 9486 ℝcr 11159 0cc0 11160 1c1 11161 + caddc 11163 · cmul 11165 < clt 11300 ≤ cle 11301 − cmin 11496 / cdiv 11923 ℕcn 12266 2c2 12321 ℤcz 12612 ℤ_≥cuz 12876 ...cfz 13540 mod cmo 13891 ↑cexp 14083 ℙcprime 16674

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2697 ax-sep 5306 ax-nul 5313 ax-pow 5371 ax-pr 5435 ax-un 7748 ax-cnex 11216 ax-resscn 11217 ax-1cn 11218 ax-icn 11219 ax-addcl 11220 ax-addrcl 11221 ax-mulcl 11222 ax-mulrcl 11223 ax-mulcom 11224 ax-addass 11225 ax-mulass 11226 ax-distr 11227 ax-i2m1 11228 ax-1ne0 11229 ax-1rid 11230 ax-rnegex 11231 ax-rrecex 11232 ax-cnre 11233 ax-pre-lttri 11234 ax-pre-lttrn 11235 ax-pre-ltadd 11236 ax-pre-mulgt0 11237 ax-pre-sup 11238

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3464 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3967 df-nul 4326 df-if 4534 df-pw 4609 df-sn 4634 df-pr 4636 df-op 4640 df-uni 4916 df-iun 5005 df-br 5156 df-opab 5218 df-mpt 5239 df-tr 5273 df-id 5582 df-eprel 5588 df-po 5596 df-so 5597 df-fr 5639 df-we 5641 df-xp 5690 df-rel 5691 df-cnv 5692 df-co 5693 df-dm 5694 df-rn 5695 df-res 5696 df-ima 5697 df-pred 6314 df-ord 6381 df-on 6382 df-lim 6383 df-suc 6384 df-iota 6508 df-fun 6558 df-fn 6559 df-f 6560 df-f1 6561 df-fo 6562 df-f1o 6563 df-fv 6564 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-om 7879 df-2nd 8006 df-frecs 8298 df-wrecs 8329 df-recs 8403 df-rdg 8442 df-er 8736 df-en 8977 df-dom 8978 df-sdom 8979 df-sup 9487 df-inf 9488 df-pnf 11302 df-mnf 11303 df-xr 11304 df-ltxr 11305 df-le 11306 df-sub 11498 df-neg 11499 df-div 11924 df-nn 12267 df-2 12329 df-3 12330 df-n0 12527 df-z 12613 df-uz 12877 df-rp 13031 df-fl 13814 df-mod 13892 df-seq 14024 df-exp 14084 df-cj 15106 df-re 15107 df-im 15108 df-sqrt 15242 df-abs 15243

This theorem is referenced by: 4sqlem16 16964

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