MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addeq0 11587
Description: Two complex numbers add up to zero iff they are each other's opposites. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2017.)
Assertion
Ref Expression
addeq0 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = -𝐵))

Proof of Theorem addeq0
StepHypRef Expression
1 0cnd 11157 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
2 simpr 485 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3 simpl 483 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
41, 2, 3subadd2d 11540 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 0))
5 df-neg 11397 . . . 4 -𝐵 = (0 − 𝐵)
65eqeq1i 2736 . . 3 (-𝐵 = 𝐴 ↔ (0 − 𝐵) = 𝐴)
7 eqcom 2738 . . 3 (-𝐵 = 𝐴𝐴 = -𝐵)
86, 7bitr3i 276 . 2 ((0 − 𝐵) = 𝐴𝐴 = -𝐵)
94, 8bitr3di 285 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = -𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7362  cc 11058  0cc0 11060   + caddc 11063  cmin 11394  -cneg 11395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-ltxr 11203  df-sub 11396  df-neg 11397
This theorem is referenced by:  ballotlemfrceq  33217  sqrtcval  42035  rrx2linest  46948  itsclquadb  46982
  Copyright terms: Public domain W3C validator