Theorem itsclquadb 47960

Description: Quadratic equation for the y-coordinate of the intersection points of a line and a circle. (Contributed by AV, 22-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
itsclquadb.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itsclquadb.t	⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
itsclquadb.u	⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))

Assertion

Ref	Expression
itsclquadb	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝑥,𝑌

Proof of Theorem itsclquadb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1188	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
2		simp2 1134	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ+)
3	2	adantr 479	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ+)
4		simp3 1135	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℝ)
5	4	anim1ci 614	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))
6		itsclquadb.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
7		itsclquadb.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
8		itsclquadb.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
9	6, 7, 8	itscnhlc0yqe 47943	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
10	1, 3, 5, 9	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
11	10	rexlimdva 3145	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
12		simp3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
13	12	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
14		simp2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	14	3ad2ant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
16	15, 4	remulcld 11272	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℝ)
17	13, 16	resubcld 11670	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) ∈ ℝ)
18		simp11l 1281	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
19		simp11r 1282	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
20	17, 18, 19	redivcld 12070	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) ∈ ℝ)
21	20	adantr 479	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) ∈ ℝ)
22		oveq1 7422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) → (𝑥↑2) = (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2))
23	22	oveq1d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) → ((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)))
24	23	eqeq1d 2727	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) → (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ↔ ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2)))
25		oveq2 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)))
26	25	oveq1d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) + (𝐵 · 𝑌)))
27	26	eqeq1d 2727	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) → (((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶))
28	24, 27	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) → ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ (((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)))
29	28	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) ∧ 𝑥 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) → ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ (((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)))
30	17	recnd 11270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) ∈ ℂ)
31	18	recnd 11270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
32	30, 31, 19	sqdivd 14153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) = (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) / (𝐴↑2)))
33	13	recnd 11270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
34	16	recnd 11270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℂ)
35		binom2sub 14212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ ℂ) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) = (((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)))
36	33, 34, 35	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) = (((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)))
37	13	resqcld 14119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
38	37	recnd 11270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
39		2re 12314	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℝ
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℝ)
41	13, 16	remulcld 11272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)) ∈ ℝ)
42	40, 41	remulcld 11272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌))) ∈ ℝ)
43	42	recnd 11270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌))) ∈ ℂ)
44	38, 43	negsubd 11605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) + -(2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) = ((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))))
45	15	recnd 11270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
46	4	recnd 11270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℂ)
47	33, 45, 46	mulassd 11265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶 · 𝐵) · 𝑌) = (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))
48	47	eqcomd 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐶 · 𝐵) · 𝑌))
49	48	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌))) = (2 · ((𝐶 · 𝐵) · 𝑌)))
50		2cnd 12318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℂ)
51	13, 15	remulcld 11272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
52	51	recnd 11270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
53	50, 52, 46	mulassd 11265	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((2 · (𝐶 · 𝐵)) · 𝑌) = (2 · ((𝐶 · 𝐵) · 𝑌)))
54	53	eqcomd 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (2 · ((𝐶 · 𝐵) · 𝑌)) = ((2 · (𝐶 · 𝐵)) · 𝑌))
55	33, 45	mulcomd 11263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
56	55	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (2 · (𝐶 · 𝐵)) = (2 · (𝐵 · 𝐶)))
57	56	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((2 · (𝐶 · 𝐵)) · 𝑌) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
58	49, 54, 57	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌))) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
59	58	negeqd 11482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → -(2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌))) = -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
60	59	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) + -(2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) = ((𝐶↑2) + -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)))
61	44, 60	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) = ((𝐶↑2) + -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)))
62	45, 46	sqmuld 14152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐵 · 𝑌)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝑌↑2)))
63	61, 62	oveq12d 7433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) = (((𝐶↑2) + -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))))
64	15, 13	remulcld 11272	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
65	40, 64	remulcld 11272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
66	65	recnd 11270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
67	66, 46	mulneg1d 11695	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) = -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
68	7	eqcomi 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -(2 · (𝐵 · 𝐶)) = 𝑇
69	68	oveq1i 7425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) = (𝑇 · 𝑌)
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) = (𝑇 · 𝑌))
71	67, 70	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) = (𝑇 · 𝑌))
72	71	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) + -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) = ((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)))
73	72	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶↑2) + -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) = (((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))))
74	36, 63, 73	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) = (((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))))
75	74	oveq1d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) / (𝐴↑2)) = ((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)))
76	32, 75	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) = ((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)))
77		resqcl 14118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
78	77	recnd 11270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
79	78	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
80	18	resqcld 14119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
81	80	recnd 11270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
82		recn 11226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
83		sqne0 14117	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
85	84	biimpar 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑2) ≠ 0)
86	85	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ≠ 0)
87	86	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ≠ 0)
88	79, 81, 87	divcan2d 12020	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) · ((𝑌↑2) / (𝐴↑2))) = (𝑌↑2))
89	88	eqcomd 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑌↑2) = ((𝐴↑2) · ((𝑌↑2) / (𝐴↑2))))
90	76, 89	oveq12d 7433	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)) + ((𝐴↑2) · ((𝑌↑2) / (𝐴↑2)))))
91	81, 79, 81, 87	divassd 12053	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐴↑2) · (𝑌↑2)) / (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) · ((𝑌↑2) / (𝐴↑2))))
92	91	eqcomd 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) · ((𝑌↑2) / (𝐴↑2))) = (((𝐴↑2) · (𝑌↑2)) / (𝐴↑2)))
93	92	oveq2d 7431	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)) + ((𝐴↑2) · ((𝑌↑2) / (𝐴↑2)))) = (((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝑌↑2)) / (𝐴↑2))))
94	65	renegcld 11669	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → -(2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
95	7, 94	eqeltrid 2829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
96	95, 4	remulcld 11272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑇 · 𝑌) ∈ ℝ)
97	37, 96	readdcld 11271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) ∈ ℝ)
98	15	resqcld 14119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
99	4	resqcld 14119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
100	98, 99	remulcld 11272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐵↑2) · (𝑌↑2)) ∈ ℝ)
101	97, 100	readdcld 11271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) ∈ ℝ)
102	101	recnd 11270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) ∈ ℂ)
103	80, 99	remulcld 11272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) · (𝑌↑2)) ∈ ℝ)
104	103	recnd 11270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) · (𝑌↑2)) ∈ ℂ)
105	102, 104, 81, 87	divdird 12056	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)) = (((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝑌↑2)) / (𝐴↑2))))
106	105	eqcomd 2731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝑌↑2)) / (𝐴↑2))) = (((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)))
107	90, 93, 106	3eqtrd 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)))
108	107	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) → ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)))
109	97	recnd 11270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) ∈ ℂ)
110	100	recnd 11270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐵↑2) · (𝑌↑2)) ∈ ℂ)
111	109, 110, 104	addassd 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = (((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + (((𝐵↑2) · (𝑌↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2)))))
112	98	recnd 11270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
113	99	recnd 11270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
114	112, 81, 113	adddird 11267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) = (((𝐵↑2) · (𝑌↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))))
115	112, 81	addcomd 11444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
116	115	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)))
117	114, 116	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐵↑2) · (𝑌↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)))
118	117	oveq2d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + (((𝐵↑2) · (𝑌↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2)))) = (((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2))))
119	96	recnd 11270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑇 · 𝑌) ∈ ℂ)
120	80, 98	readdcld 11271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
121	120, 99	remulcld 11272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) ∈ ℝ)
122	121	recnd 11270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) ∈ ℂ)
123	38, 119, 122	addassd 11264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2))) = ((𝐶↑2) + ((𝑇 · 𝑌) + (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)))))
124	119, 122	addcomd 11444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝑇 · 𝑌) + (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)))
125	124	oveq2d 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) + ((𝑇 · 𝑌) + (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)))) = ((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))))
126	123, 125	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2))) = ((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))))
127	111, 118, 126	3eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = ((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))))
128	127	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) → ((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = ((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))))
129	128	oveq1d 7430	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) → (((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)) = (((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))) / (𝐴↑2)))
130	6	oveq1i 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑄 · (𝑌↑2)) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2))
131	8	oveq2i 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈) = ((𝑇 · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))
132	130, 131	oveq12i 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
133		rpre 13012	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ)
134	133	resqcld 14119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
135	134	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
136	80, 135	remulcld 11272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℝ)
137	37, 136	resubcld 11670	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℝ)
138	137	recnd 11270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
139	122, 119, 138	addassd 11264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))))
140	132, 139	eqtr4id 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = (((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
141	140	eqeq1d 2727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0 ↔ (((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = 0))
142	121, 96	readdcld 11271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) ∈ ℝ)
143	142	recnd 11270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) ∈ ℂ)
144		addeq0 11665	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) ∈ ℂ ∧ ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ) → ((((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = 0 ↔ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) = -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
145	143, 138, 144	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = 0 ↔ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) = -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
146	141, 145	bitrd 278	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0 ↔ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) = -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
147		oveq2 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) = -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) → ((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))) = ((𝐶↑2) + -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
148	147	oveq1d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) = -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) → (((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))) / (𝐴↑2)) = (((𝐶↑2) + -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) / (𝐴↑2)))
149	38, 138	negsubd 11605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) + -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = ((𝐶↑2) − ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
150	136	recnd 11270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
151	38, 150	nncand 11604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) − ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
152	149, 151	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) + -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
153	152	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶↑2) + -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) / (𝐴↑2)) = (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) / (𝐴↑2)))
154	135	recnd 11270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
155	154, 81, 87	divcan3d 12023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) / (𝐴↑2)) = (𝑅↑2))
156	153, 155	eqtrd 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶↑2) + -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) / (𝐴↑2)) = (𝑅↑2))
157	148, 156	sylan9eqr 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) = -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) → (((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))) / (𝐴↑2)) = (𝑅↑2))
158	157	ex 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) = -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) → (((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))) / (𝐴↑2)) = (𝑅↑2)))
159	146, 158	sylbid 239	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0 → (((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))) / (𝐴↑2)) = (𝑅↑2)))
160	159	imp 405	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) → (((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))) / (𝐴↑2)) = (𝑅↑2))
161	108, 129, 160	3eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) → ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2))
162	30, 31, 19	divcan2d 12020	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 · ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) = (𝐶 − (𝐵 · 𝑌)))
163	162	oveq1d 7430	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐴 · ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) + (𝐵 · 𝑌)))
164	33, 34	npcand 11603	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)
165	163, 164	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐴 · ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)
166	165	adantr 479	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) → ((𝐴 · ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)
167	161, 166	jca 510	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) → (((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶))
168	21, 29, 167	rspcedvd 3604	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶))
169	168	ex 411	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0 → ∃𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)))
170	11, 169	impbid 211	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∃wrex 3060  (class class class)co 7415  ℂcc 11134  ℝcr 11135  0cc0 11136   + caddc 11139   · cmul 11141   − cmin 11472  -cneg 11473   / cdiv 11899  2c2 12295  ℝ⁺crp 13004  ↑cexp 14056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-seq 13997  df-exp 14057

This theorem is referenced by:  itsclquadeu  47961