itsclquadb - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem itsclquadb 44770

Description: Quadratic equation for the y-coordinate of the intersection points of a line and a circle. (Contributed by AV, 22-Feb-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
itsclquadb.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itsclquadb.t	⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
itsclquadb.u	⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))

**Assertion**
Ref	Expression
itsclquadb	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐶 𝑥,𝑄 𝑥,𝑅 𝑥,𝑇 𝑥,𝑈 𝑥,𝑌

**Proof of Theorem itsclquadb**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1187	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
2		simp2 1133	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
3	2	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
4		simp3 1134	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℝ)
5	4	anim1ci 617	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))
6		itsclquadb.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
7		itsclquadb.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
8		itsclquadb.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
9	6, 7, 8	itscnhlc0yqe 44753	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
10	1, 3, 5, 9	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
11	10	rexlimdva 3286	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
12		simp3 1134	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
13	12	3ad2ant1 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
14		simp2 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	14	3ad2ant1 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
16	15, 4	remulcld 10673	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℝ)
17	13, 16	resubcld 11070	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) ∈ ℝ)
18		simp11l 1280	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
19		simp11r 1281	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
20	17, 18, 19	redivcld 11470	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) ∈ ℝ)
21	20	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) ∈ ℝ)
22		oveq1 7165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) → (𝑥↑2) = (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2))
23	22	oveq1d 7173	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) → ((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)))
24	23	eqeq1d 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) → (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ↔ ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2)))
25		oveq2 7166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)))
26	25	oveq1d 7173	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) + (𝐵 · 𝑌)))
27	26	eqeq1d 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) → (((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶))
28	24, 27	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) → ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ (((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)))
29	28	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) ∧ 𝑥 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) → ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ (((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)))
30	17	recnd 10671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) ∈ ℂ)
31	18	recnd 10671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
32	30, 31, 19	sqdivd 13526	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) = (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) / (𝐴↑2)))
33	13	recnd 10671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
34	16	recnd 10671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℂ)
35		binom2sub 13584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ ℂ) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) = (((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)))
36	33, 34, 35	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) = (((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)))
37	13	resqcld 13614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
38	37	recnd 10671	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
39		2re 11714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℝ
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℝ)
41	13, 16	remulcld 10673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)) ∈ ℝ)
42	40, 41	remulcld 10673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌))) ∈ ℝ)
43	42	recnd 10671	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌))) ∈ ℂ)
44	38, 43	negsubd 11005	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) + -(2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) = ((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))))
45	15	recnd 10671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
46	4	recnd 10671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℂ)
47	33, 45, 46	mulassd 10666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶 · 𝐵) · 𝑌) = (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))
48	47	eqcomd 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐶 · 𝐵) · 𝑌))
49	48	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌))) = (2 · ((𝐶 · 𝐵) · 𝑌)))
50		2cnd 11718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℂ)
51	13, 15	remulcld 10673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
52	51	recnd 10671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
53	50, 52, 46	mulassd 10666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((2 · (𝐶 · 𝐵)) · 𝑌) = (2 · ((𝐶 · 𝐵) · 𝑌)))
54	53	eqcomd 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (2 · ((𝐶 · 𝐵) · 𝑌)) = ((2 · (𝐶 · 𝐵)) · 𝑌))
55	33, 45	mulcomd 10664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
56	55	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (2 · (𝐶 · 𝐵)) = (2 · (𝐵 · 𝐶)))
57	56	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((2 · (𝐶 · 𝐵)) · 𝑌) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
58	49, 54, 57	3eqtrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌))) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
59	58	negeqd 10882	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → -(2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌))) = -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
60	59	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) + -(2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) = ((𝐶↑2) + -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)))
61	44, 60	eqtr3d 2860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) = ((𝐶↑2) + -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)))
62	45, 46	sqmuld 13525	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐵 · 𝑌)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝑌↑2)))
63	61, 62	oveq12d 7176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) = (((𝐶↑2) + -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))))
64	15, 13	remulcld 10673	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
65	40, 64	remulcld 10673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
66	65	recnd 10671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
67	66, 46	mulneg1d 11095	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) = -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
68	7	eqcomi 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -(2 · (𝐵 · 𝐶)) = 𝑇
69	68	oveq1i 7168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) = (𝑇 · 𝑌)
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) = (𝑇 · 𝑌))
71	67, 70	eqtr3d 2860	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) = (𝑇 · 𝑌))
72	71	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) + -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) = ((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)))
73	72	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶↑2) + -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) = (((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))))
74	36, 63, 73	3eqtrd 2862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) = (((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))))
75	74	oveq1d 7173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) / (𝐴↑2)) = ((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)))
76	32, 75	eqtrd 2858	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) = ((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)))
77		resqcl 13493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
78	77	recnd 10671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
79	78	3ad2ant3 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
80	18	resqcld 13614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
81	80	recnd 10671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
82		recn 10629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
83		sqne0 13492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
85	84	biimpar 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑2) ≠ 0)
86	85	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ≠ 0)
87	86	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ≠ 0)
88	79, 81, 87	divcan2d 11420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) · ((𝑌↑2) / (𝐴↑2))) = (𝑌↑2))
89	88	eqcomd 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑌↑2) = ((𝐴↑2) · ((𝑌↑2) / (𝐴↑2))))
90	76, 89	oveq12d 7176	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)) + ((𝐴↑2) · ((𝑌↑2) / (𝐴↑2)))))
91	81, 79, 81, 87	divassd 11453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐴↑2) · (𝑌↑2)) / (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) · ((𝑌↑2) / (𝐴↑2))))
92	91	eqcomd 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) · ((𝑌↑2) / (𝐴↑2))) = (((𝐴↑2) · (𝑌↑2)) / (𝐴↑2)))
93	92	oveq2d 7174	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)) + ((𝐴↑2) · ((𝑌↑2) / (𝐴↑2)))) = (((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝑌↑2)) / (𝐴↑2))))
94	65	renegcld 11069	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → -(2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
95	7, 94	eqeltrid 2919	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
96	95, 4	remulcld 10673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑇 · 𝑌) ∈ ℝ)
97	37, 96	readdcld 10672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) ∈ ℝ)
98	15	resqcld 13614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
99	4	resqcld 13614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
100	98, 99	remulcld 10673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐵↑2) · (𝑌↑2)) ∈ ℝ)
101	97, 100	readdcld 10672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) ∈ ℝ)
102	101	recnd 10671	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) ∈ ℂ)
103	80, 99	remulcld 10673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) · (𝑌↑2)) ∈ ℝ)
104	103	recnd 10671	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) · (𝑌↑2)) ∈ ℂ)
105	102, 104, 81, 87	divdird 11456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)) = (((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝑌↑2)) / (𝐴↑2))))
106	105	eqcomd 2829	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝑌↑2)) / (𝐴↑2))) = (((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)))
107	90, 93, 106	3eqtrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)))
108	107	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) → ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)))
109	97	recnd 10671	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) ∈ ℂ)
110	100	recnd 10671	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐵↑2) · (𝑌↑2)) ∈ ℂ)
111	109, 110, 104	addassd 10665	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = (((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + (((𝐵↑2) · (𝑌↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2)))))
112	98	recnd 10671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
113	99	recnd 10671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
114	112, 81, 113	adddird 10668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) = (((𝐵↑2) · (𝑌↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))))
115	112, 81	addcomd 10844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
116	115	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)))
117	114, 116	eqtr3d 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐵↑2) · (𝑌↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)))
118	117	oveq2d 7174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + (((𝐵↑2) · (𝑌↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2)))) = (((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2))))
119	96	recnd 10671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑇 · 𝑌) ∈ ℂ)
120	80, 98	readdcld 10672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
121	120, 99	remulcld 10673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) ∈ ℝ)
122	121	recnd 10671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) ∈ ℂ)
123	38, 119, 122	addassd 10665	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2))) = ((𝐶↑2) + ((𝑇 · 𝑌) + (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)))))
124	119, 122	addcomd 10844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝑇 · 𝑌) + (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)))
125	124	oveq2d 7174	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) + ((𝑇 · 𝑌) + (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)))) = ((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))))
126	123, 125	eqtrd 2858	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2))) = ((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))))
127	111, 118, 126	3eqtrd 2862	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = ((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))))
128	127	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) → ((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = ((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))))
129	128	oveq1d 7173	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) → (((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)) = (((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))) / (𝐴↑2)))
130		rpre 12400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℝ)
131	130	resqcld 13614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
132	131	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
133	80, 132	remulcld 10673	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℝ)
134	37, 133	resubcld 11070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℝ)
135	134	recnd 10671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
136	122, 119, 135	addassd 10665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))))
137	6	oveq1i 7168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑄 · (𝑌↑2)) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2))
138	8	oveq2i 7169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈) = ((𝑇 · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))
139	137, 138	oveq12i 7170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
140	136, 139	syl6reqr 2877	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = (((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
141	140	eqeq1d 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0 ↔ (((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = 0))
142	121, 96	readdcld 10672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) ∈ ℝ)
143	142	recnd 10671	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) ∈ ℂ)
144		addeq0 11065	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) ∈ ℂ ∧ ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ) → ((((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = 0 ↔ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) = -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
145	143, 135, 144	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = 0 ↔ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) = -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
146	141, 145	bitrd 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0 ↔ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) = -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
147		oveq2 7166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) = -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) → ((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))) = ((𝐶↑2) + -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
148	147	oveq1d 7173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) = -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) → (((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))) / (𝐴↑2)) = (((𝐶↑2) + -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) / (𝐴↑2)))
149	38, 135	negsubd 11005	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) + -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = ((𝐶↑2) − ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
150	133	recnd 10671	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
151	38, 150	nncand 11004	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) − ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
152	149, 151	eqtrd 2858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) + -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
153	152	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶↑2) + -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) / (𝐴↑2)) = (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) / (𝐴↑2)))
154	132	recnd 10671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
155	154, 81, 87	divcan3d 11423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) / (𝐴↑2)) = (𝑅↑2))
156	153, 155	eqtrd 2858	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶↑2) + -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) / (𝐴↑2)) = (𝑅↑2))
157	148, 156	sylan9eqr 2880	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) = -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) → (((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))) / (𝐴↑2)) = (𝑅↑2))
158	157	ex 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) = -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) → (((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))) / (𝐴↑2)) = (𝑅↑2)))
159	146, 158	sylbid 242	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0 → (((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))) / (𝐴↑2)) = (𝑅↑2)))
160	159	imp 409	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) → (((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))) / (𝐴↑2)) = (𝑅↑2))
161	108, 129, 160	3eqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) → ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2))
162	30, 31, 19	divcan2d 11420	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 · ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) = (𝐶 − (𝐵 · 𝑌)))
163	162	oveq1d 7173	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐴 · ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) + (𝐵 · 𝑌)))
164	33, 34	npcand 11003	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)
165	163, 164	eqtrd 2858	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐴 · ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)
166	165	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) → ((𝐴 · ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)
167	161, 166	jca 514	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) → (((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶))
168	21, 29, 167	rspcedvd 3628	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶))
169	168	ex 415	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0 → ∃𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)))
170	11, 169	impbid 214	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 ∧ w3a 1083 = wceq 1537 ∈ wcel 2114 ≠ wne 3018 ∃wrex 3141 (class class class)co 7158 ℂcc 10537 ℝcr 10538 0cc0 10539 + caddc 10542 · cmul 10544 − cmin 10872 -cneg 10873 / cdiv 11299 2c2 11695 ℝ⁺crp 12392 ↑cexp 13432

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2145 ax-11 2161 ax-12 2177 ax-ext 2795 ax-sep 5205 ax-nul 5212 ax-pow 5268 ax-pr 5332 ax-un 7463 ax-cnex 10595 ax-resscn 10596 ax-1cn 10597 ax-icn 10598 ax-addcl 10599 ax-addrcl 10600 ax-mulcl 10601 ax-mulrcl 10602 ax-mulcom 10603 ax-addass 10604 ax-mulass 10605 ax-distr 10606 ax-i2m1 10607 ax-1ne0 10608 ax-1rid 10609 ax-rnegex 10610 ax-rrecex 10611 ax-cnre 10612 ax-pre-lttri 10613 ax-pre-lttrn 10614 ax-pre-ltadd 10615 ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1540 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2070 df-mo 2622 df-eu 2654 df-clab 2802 df-cleq 2816 df-clel 2895 df-nfc 2965 df-ne 3019 df-nel 3126 df-ral 3145 df-rex 3146 df-reu 3147 df-rmo 3148 df-rab 3149 df-v 3498 df-sbc 3775 df-csb 3886 df-dif 3941 df-un 3943 df-in 3945 df-ss 3954 df-pss 3956 df-nul 4294 df-if 4470 df-pw 4543 df-sn 4570 df-pr 4572 df-tp 4574 df-op 4576 df-uni 4841 df-iun 4923 df-br 5069 df-opab 5131 df-mpt 5149 df-tr 5175 df-id 5462 df-eprel 5467 df-po 5476 df-so 5477 df-fr 5516 df-we 5518 df-xp 5563 df-rel 5564 df-cnv 5565 df-co 5566 df-dm 5567 df-rn 5568 df-res 5569 df-ima 5570 df-pred 6150 df-ord 6196 df-on 6197 df-lim 6198 df-suc 6199 df-iota 6316 df-fun 6359 df-fn 6360 df-f 6361 df-f1 6362 df-fo 6363 df-f1o 6364 df-fv 6365 df-riota 7116 df-ov 7161 df-oprab 7162 df-mpo 7163 df-om 7583 df-2nd 7692 df-wrecs 7949 df-recs 8010 df-rdg 8048 df-er 8291 df-en 8512 df-dom 8513 df-sdom 8514 df-pnf 10679 df-mnf 10680 df-xr 10681 df-ltxr 10682 df-le 10683 df-sub 10874 df-neg 10875 df-div 11300 df-nn 11641 df-2 11703 df-n0 11901 df-z 11985 df-uz 12247 df-rp 12393 df-seq 13373 df-exp 13433

This theorem is referenced by: itsclquadeu 44771

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