itsclquadb - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem itsclquadb 48762

Description: Quadratic equation for the y-coordinate of the intersection points of a line and a circle. (Contributed by AV, 22-Feb-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
itsclquadb.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itsclquadb.t	⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
itsclquadb.u	⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))

**Assertion**
Ref	Expression
itsclquadb	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐶 𝑥,𝑄 𝑥,𝑅 𝑥,𝑇 𝑥,𝑈 𝑥,𝑌

**Proof of Theorem itsclquadb**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
2		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
4		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℝ)
5	4	anim1ci 616	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))
6		itsclquadb.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
7		itsclquadb.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
8		itsclquadb.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
9	6, 7, 8	itscnhlc0yqe 48745	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
10	1, 3, 5, 9	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
11	10	rexlimdva 3134	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
12		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
13	12	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
14		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	14	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
16	15, 4	remulcld 11204	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℝ)
17	13, 16	resubcld 11606	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) ∈ ℝ)
18		simp11l 1285	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
19		simp11r 1286	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
20	17, 18, 19	redivcld 12010	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) ∈ ℝ)
21	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) ∈ ℝ)
22		oveq1 7394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) → (𝑥↑2) = (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2))
23	22	oveq1d 7402	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) → ((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)))
24	23	eqeq1d 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) → (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ↔ ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2)))
25		oveq2 7395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)))
26	25	oveq1d 7402	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐴 · ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) + (𝐵 · 𝑌)))
27	26	eqeq1d 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) → (((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶))
28	24, 27	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴) → ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ (((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)))
29	28	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) ∧ 𝑥 = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) → ((((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ (((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)))
30	17	recnd 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) ∈ ℂ)
31	18	recnd 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
32	30, 31, 19	sqdivd 14124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) = (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) / (𝐴↑2)))
33	13	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
34	16	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑌) ∈ ℂ)
35		binom2sub 14185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ ℂ) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) = (((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)))
36	33, 34, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) = (((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)))
37	13	resqcld 14090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
38	37	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
39		2re 12260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℝ
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℝ)
41	13, 16	remulcld 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)) ∈ ℝ)
42	40, 41	remulcld 11204	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌))) ∈ ℝ)
43	42	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌))) ∈ ℂ)
44	38, 43	negsubd 11539	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) + -(2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) = ((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))))
45	15	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
46	4	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℂ)
47	33, 45, 46	mulassd 11197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶 · 𝐵) · 𝑌) = (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))
48	47	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐶 · 𝐵) · 𝑌))
49	48	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌))) = (2 · ((𝐶 · 𝐵) · 𝑌)))
50		2cnd 12264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℂ)
51	13, 15	remulcld 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
52	51	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
53	50, 52, 46	mulassd 11197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((2 · (𝐶 · 𝐵)) · 𝑌) = (2 · ((𝐶 · 𝐵) · 𝑌)))
54	53	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (2 · ((𝐶 · 𝐵) · 𝑌)) = ((2 · (𝐶 · 𝐵)) · 𝑌))
55	33, 45	mulcomd 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
56	55	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (2 · (𝐶 · 𝐵)) = (2 · (𝐵 · 𝐶)))
57	56	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((2 · (𝐶 · 𝐵)) · 𝑌) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
58	49, 54, 57	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌))) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
59	58	negeqd 11415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → -(2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌))) = -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
60	59	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) + -(2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) = ((𝐶↑2) + -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)))
61	44, 60	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) = ((𝐶↑2) + -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)))
62	45, 46	sqmuld 14123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐵 · 𝑌)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝑌↑2)))
63	61, 62	oveq12d 7405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · (𝐵 · 𝑌)))) + ((𝐵 · 𝑌)↑2)) = (((𝐶↑2) + -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))))
64	15, 13	remulcld 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
65	40, 64	remulcld 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
66	65	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
67	66, 46	mulneg1d 11631	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) = -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌))
68	7	eqcomi 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -(2 · (𝐵 · 𝐶)) = 𝑇
69	68	oveq1i 7397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) = (𝑇 · 𝑌)
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (-(2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) = (𝑇 · 𝑌))
71	67, 70	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌) = (𝑇 · 𝑌))
72	71	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) + -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) = ((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)))
73	72	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶↑2) + -((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) = (((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))))
74	36, 63, 73	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) = (((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))))
75	74	oveq1d 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌))↑2) / (𝐴↑2)) = ((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)))
76	32, 75	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) = ((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)))
77		resqcl 14089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
78	77	recnd 11202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
79	78	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
80	18	resqcld 14090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
81	80	recnd 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
82		recn 11158	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
83		sqne0 14088	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
85	84	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑2) ≠ 0)
86	85	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ≠ 0)
87	86	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ≠ 0)
88	79, 81, 87	divcan2d 11960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) · ((𝑌↑2) / (𝐴↑2))) = (𝑌↑2))
89	88	eqcomd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑌↑2) = ((𝐴↑2) · ((𝑌↑2) / (𝐴↑2))))
90	76, 89	oveq12d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)) + ((𝐴↑2) · ((𝑌↑2) / (𝐴↑2)))))
91	81, 79, 81, 87	divassd 11993	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐴↑2) · (𝑌↑2)) / (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) · ((𝑌↑2) / (𝐴↑2))))
92	91	eqcomd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) · ((𝑌↑2) / (𝐴↑2))) = (((𝐴↑2) · (𝑌↑2)) / (𝐴↑2)))
93	92	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)) + ((𝐴↑2) · ((𝑌↑2) / (𝐴↑2)))) = (((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝑌↑2)) / (𝐴↑2))))
94	65	renegcld 11605	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → -(2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
95	7, 94	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
96	95, 4	remulcld 11204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑇 · 𝑌) ∈ ℝ)
97	37, 96	readdcld 11203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) ∈ ℝ)
98	15	resqcld 14090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
99	4	resqcld 14090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
100	98, 99	remulcld 11204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐵↑2) · (𝑌↑2)) ∈ ℝ)
101	97, 100	readdcld 11203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) ∈ ℝ)
102	101	recnd 11202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) ∈ ℂ)
103	80, 99	remulcld 11204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) · (𝑌↑2)) ∈ ℝ)
104	103	recnd 11202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) · (𝑌↑2)) ∈ ℂ)
105	102, 104, 81, 87	divdird 11996	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)) = (((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝑌↑2)) / (𝐴↑2))))
106	105	eqcomd 2735	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝑌↑2)) / (𝐴↑2))) = (((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)))
107	90, 93, 106	3eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)))
108	107	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) → ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)))
109	97	recnd 11202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) ∈ ℂ)
110	100	recnd 11202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐵↑2) · (𝑌↑2)) ∈ ℂ)
111	109, 110, 104	addassd 11196	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = (((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + (((𝐵↑2) · (𝑌↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2)))))
112	98	recnd 11202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
113	99	recnd 11202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
114	112, 81, 113	adddird 11199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) = (((𝐵↑2) · (𝑌↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))))
115	112, 81	addcomd 11376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
116	115	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) · (𝑌↑2)) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)))
117	114, 116	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐵↑2) · (𝑌↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)))
118	117	oveq2d 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + (((𝐵↑2) · (𝑌↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2)))) = (((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2))))
119	96	recnd 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑇 · 𝑌) ∈ ℂ)
120	80, 98	readdcld 11203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
121	120, 99	remulcld 11204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) ∈ ℝ)
122	121	recnd 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) ∈ ℂ)
123	38, 119, 122	addassd 11196	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2))) = ((𝐶↑2) + ((𝑇 · 𝑌) + (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)))))
124	119, 122	addcomd 11376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝑇 · 𝑌) + (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)))
125	124	oveq2d 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) + ((𝑇 · 𝑌) + (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)))) = ((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))))
126	123, 125	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2))) = ((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))))
127	111, 118, 126	3eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = ((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))))
128	127	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) → ((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) = ((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))))
129	128	oveq1d 7402	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) → (((((𝐶↑2) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐵↑2) · (𝑌↑2))) + ((𝐴↑2) · (𝑌↑2))) / (𝐴↑2)) = (((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))) / (𝐴↑2)))
130	6	oveq1i 7397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑄 · (𝑌↑2)) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2))
131	8	oveq2i 7398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈) = ((𝑇 · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))
132	130, 131	oveq12i 7399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
133		rpre 12960	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℝ)
134	133	resqcld 14090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
135	134	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
136	80, 135	remulcld 11204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℝ)
137	37, 136	resubcld 11606	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℝ)
138	137	recnd 11202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
139	122, 119, 138	addassd 11196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))))
140	132, 139	eqtr4id 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = (((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
141	140	eqeq1d 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0 ↔ (((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = 0))
142	121, 96	readdcld 11203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) ∈ ℝ)
143	142	recnd 11202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) ∈ ℂ)
144		addeq0 11601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) ∈ ℂ ∧ ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ) → ((((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = 0 ↔ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) = -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
145	143, 138, 144	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) + ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = 0 ↔ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) = -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
146	141, 145	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0 ↔ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) = -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
147		oveq2 7395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) = -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) → ((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))) = ((𝐶↑2) + -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
148	147	oveq1d 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) = -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) → (((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))) / (𝐴↑2)) = (((𝐶↑2) + -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) / (𝐴↑2)))
149	38, 138	negsubd 11539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) + -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = ((𝐶↑2) − ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
150	136	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
151	38, 150	nncand 11538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) − ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
152	149, 151	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶↑2) + -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
153	152	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶↑2) + -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) / (𝐴↑2)) = (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) / (𝐴↑2)))
154	135	recnd 11202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
155	154, 81, 87	divcan3d 11963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) / (𝐴↑2)) = (𝑅↑2))
156	153, 155	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝐶↑2) + -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) / (𝐴↑2)) = (𝑅↑2))
157	148, 156	sylan9eqr 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) = -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) → (((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))) / (𝐴↑2)) = (𝑅↑2))
158	157	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌)) = -((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) → (((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))) / (𝐴↑2)) = (𝑅↑2)))
159	146, 158	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0 → (((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))) / (𝐴↑2)) = (𝑅↑2)))
160	159	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) → (((𝐶↑2) + ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑌↑2)) + (𝑇 · 𝑌))) / (𝐴↑2)) = (𝑅↑2))
161	108, 129, 160	3eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) → ((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2))
162	30, 31, 19	divcan2d 11960	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 · ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) = (𝐶 − (𝐵 · 𝑌)))
163	162	oveq1d 7402	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐴 · ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) + (𝐵 · 𝑌)) = ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) + (𝐵 · 𝑌)))
164	33, 34	npcand 11537	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)
165	163, 164	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐴 · ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)
166	165	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) → ((𝐴 · ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)
167	161, 166	jca 511	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) → (((((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · ((𝐶 − (𝐵 · 𝑌)) / 𝐴)) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶))
168	21, 29, 167	rspcedvd 3590	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶))
169	168	ex 412	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0 → ∃𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)))
170	11, 169	impbid 212	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ (((𝑥↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) ↔ ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 ∃wrex 3053 (class class class)co 7387 ℂcc 11066 ℝcr 11067 0cc0 11068 + caddc 11071 · cmul 11073 − cmin 11405 -cneg 11406 / cdiv 11835 2c2 12241 ℝ⁺crp 12951 ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-sep 5251 ax-nul 5261 ax-pow 5320 ax-pr 5387 ax-un 7711 ax-cnex 11124 ax-resscn 11125 ax-1cn 11126 ax-icn 11127 ax-addcl 11128 ax-addrcl 11129 ax-mulcl 11130 ax-mulrcl 11131 ax-mulcom 11132 ax-addass 11133 ax-mulass 11134 ax-distr 11135 ax-i2m1 11136 ax-1ne0 11137 ax-1rid 11138 ax-rnegex 11139 ax-rrecex 11140 ax-cnre 11141 ax-pre-lttri 11142 ax-pre-lttrn 11143 ax-pre-ltadd 11144 ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3406 df-v 3449 df-sbc 3754 df-csb 3863 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3934 df-nul 4297 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4590 df-pr 4592 df-op 4596 df-uni 4872 df-iun 4957 df-br 5108 df-opab 5170 df-mpt 5189 df-tr 5215 df-id 5533 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5591 df-we 5593 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6274 df-ord 6335 df-on 6336 df-lim 6337 df-suc 6338 df-iota 6464 df-fun 6513 df-fn 6514 df-f 6515 df-f1 6516 df-fo 6517 df-f1o 6518 df-fv 6519 df-riota 7344 df-ov 7390 df-oprab 7391 df-mpo 7392 df-om 7843 df-2nd 7969 df-frecs 8260 df-wrecs 8291 df-recs 8340 df-rdg 8378 df-er 8671 df-en 8919 df-dom 8920 df-sdom 8921 df-pnf 11210 df-mnf 11211 df-xr 11212 df-ltxr 11213 df-le 11214 df-sub 11407 df-neg 11408 df-div 11836 df-nn 12187 df-2 12249 df-n0 12443 df-z 12530 df-uz 12794 df-rp 12952 df-seq 13967 df-exp 14027

This theorem is referenced by: itsclquadeu 48763

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