cos9thpiminplylem5 - Mathbox for Thierry Arnoux

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Theorem cos9thpiminplylem5 33789

Description: The constructed complex number 𝐴 is a root of the polynomial ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)). (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Nov-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cos9thpiminplylem3.1	⊢ 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
cos9thpiminplylem4.2	⊢ 𝑍 = (𝑂↑_𝑐(1 / 3))
cos9thpiminplylem5.3	⊢ 𝐴 = (𝑍 + (1 / 𝑍))

**Assertion**
Ref	Expression
cos9thpiminplylem5	⊢ ((𝐴↑3) + ((-3 · 𝐴) + 1)) = 0

**Proof of Theorem cos9thpiminplylem5**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		cos9thpiminplylem5.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑍 + (1 / 𝑍))
2		cos9thpiminplylem4.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (𝑂↑_𝑐(1 / 3))
3		cos9thpiminplylem3.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
4		ax-icn 11057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ∈ ℂ
5		2cn 12192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		picn 26387	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℂ
7	5, 6	mulcli 11111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
8	4, 7	mulcli 11111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
9		3cn 12198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
10		3ne0 12223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
11	8, 9, 10	divcli 11855	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ
12		efcl 15981	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ → (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ
14	3, 13	eqeltri 2825	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 ∈ ℂ
15		ax-1cn 11056	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
16	15, 9, 10	divcli 11855	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
17		cxpcl 26603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂 ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ) → (𝑂↑_𝑐(1 / 3)) ∈ ℂ)
18	14, 16, 17	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂↑_𝑐(1 / 3)) ∈ ℂ
19	2, 18	eqeltri 2825	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ ℂ
20		efne0 15997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ → (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ≠ 0)
21	11, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ≠ 0
22	3, 21	eqnetri 2996	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 ≠ 0
23		cxpne0 26606	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂 ∈ ℂ ∧ 𝑂 ≠ 0 ∧ (1 / 3) ∈ ℂ) → (𝑂↑_𝑐(1 / 3)) ≠ 0)
24	14, 22, 16, 23	mp3an 1463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂↑_𝑐(1 / 3)) ≠ 0
25	2, 24	eqnetri 2996	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ≠ 0
26	15, 19, 25	divcli 11855	. . . . . 6 ⊢ (1 / 𝑍) ∈ ℂ
27	19, 26	addcli 11110	. . . . 5 ⊢ (𝑍 + (1 / 𝑍)) ∈ ℂ
28	1, 27	eqeltri 2825	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
29		3nn0 12391	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
30		expcl 13978	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
31	28, 29, 30	mp2an 692	. . 3 ⊢ (𝐴↑3) ∈ ℂ
32	9	negcli 11421	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℂ
33	32, 28	mulcli 11111	. . . 4 ⊢ (-3 · 𝐴) ∈ ℂ
34	33, 15	addcli 11110	. . 3 ⊢ ((-3 · 𝐴) + 1) ∈ ℂ
35	31, 34	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((𝐴↑3) ∈ ℂ ∧ ((-3 · 𝐴) + 1) ∈ ℂ)
36		binom3 14123	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑍) ∈ ℂ) → ((𝑍 + (1 / 𝑍))↑3) = (((𝑍↑3) + (3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)))) + ((3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))) + ((1 / 𝑍)↑3))))
37	19, 26, 36	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝑍 + (1 / 𝑍))↑3) = (((𝑍↑3) + (3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)))) + ((3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))) + ((1 / 𝑍)↑3)))
38	1	oveq1i 7351	. . 3 ⊢ (𝐴↑3) = ((𝑍 + (1 / 𝑍))↑3)
39	33, 15	negdii 11437	. . . 4 ⊢ -((-3 · 𝐴) + 1) = (-(-3 · 𝐴) + -1)
40	32, 28	mulneg1i 11555	. . . . . 6 ⊢ (--3 · 𝐴) = -(-3 · 𝐴)
41	40	oveq1i 7351	. . . . 5 ⊢ ((--3 · 𝐴) + -1) = (-(-3 · 𝐴) + -1)
42	9	negnegi 11423	. . . . . . 7 ⊢ --3 = 3
43	42	oveq1i 7351	. . . . . 6 ⊢ (--3 · 𝐴) = (3 · 𝐴)
44	43	oveq1i 7351	. . . . 5 ⊢ ((--3 · 𝐴) + -1) = ((3 · 𝐴) + -1)
45	41, 44	eqtr3i 2755	. . . 4 ⊢ (-(-3 · 𝐴) + -1) = ((3 · 𝐴) + -1)
46		6nn0 12394	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ₀
47		expcl 13978	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℕ₀) → (𝑍↑6) ∈ ℂ)
48	19, 46, 47	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍↑6) ∈ ℂ
49		expcl 13978	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑍↑3) ∈ ℂ)
50	19, 29, 49	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍↑3) ∈ ℂ
51	48, 50	addcomi 11296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍↑6) + (𝑍↑3)) = ((𝑍↑3) + (𝑍↑6))
52	3, 2	cos9thpiminplylem4 33788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍↑6) + (𝑍↑3)) = -1
53	13	sqcli 14080	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) ∈ ℂ
54	13, 21	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ ∧ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ≠ 0)
55	15, 53, 54	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) ∈ ℂ ∧ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ ∧ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ≠ 0))
56	5, 15, 11	adddiri 11117	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 + 1) · ((i · (2 · π)) / 3)) = ((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) + (1 · ((i · (2 · π)) / 3)))
57		2p1e3 12254	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 + 1) = 3
58	57	oveq1i 7351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 + 1) · ((i · (2 · π)) / 3)) = (3 · ((i · (2 · π)) / 3))
59	8, 9, 10	divcan2i 11856	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 · ((i · (2 · π)) / 3)) = (i · (2 · π))
60	58, 59	eqtri 2753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 + 1) · ((i · (2 · π)) / 3)) = (i · (2 · π))
61	11	mullidi 11109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 · ((i · (2 · π)) / 3)) = ((i · (2 · π)) / 3)
62	61	oveq2i 7352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) + (1 · ((i · (2 · π)) / 3))) = ((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) + ((i · (2 · π)) / 3))
63	56, 60, 62	3eqtr3ri 2762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) + ((i · (2 · π)) / 3)) = (i · (2 · π))
64	63	fveq2i 6820	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (exp‘((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) + ((i · (2 · π)) / 3))) = (exp‘(i · (2 · π)))
65	5, 11	mulcli 11111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · ((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ
66		efadd 15993	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ ∧ ((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ) → (exp‘((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) + ((i · (2 · π)) / 3))) = ((exp‘(2 · ((i · (2 · π)) / 3))) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3))))
67	65, 11, 66	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (exp‘((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) + ((i · (2 · π)) / 3))) = ((exp‘(2 · ((i · (2 · π)) / 3))) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))
68	64, 67	eqtr3i 2755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (exp‘(i · (2 · π))) = ((exp‘(2 · ((i · (2 · π)) / 3))) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))
69		ef2pi 26406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (exp‘(i · (2 · π))) = 1
70		2z 12496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
71		efexp 16002	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (exp‘(2 · ((i · (2 · π)) / 3))) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2))
72	11, 70, 71	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (exp‘(2 · ((i · (2 · π)) / 3))) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2)
73	72	oveq1i 7351	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((exp‘(2 · ((i · (2 · π)) / 3))) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3))) = (((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))
74	68, 69, 73	3eqtr3i 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))
75		divmul3 11773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) ∈ ℂ ∧ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ ∧ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ≠ 0)) → ((1 / (exp‘((i · (2 · π)) / 3))) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) ↔ 1 = (((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))))
76	75	biimpar 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 ∈ ℂ ∧ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) ∈ ℂ ∧ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ ∧ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ≠ 0)) ∧ 1 = (((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))) → (1 / (exp‘((i · (2 · π)) / 3))) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2))
77	55, 74, 76	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / (exp‘((i · (2 · π)) / 3))) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2)
78	3	oveq2i 7352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 𝑂) = (1 / (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))
79	3	oveq1i 7351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑂↑2) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2)
80	77, 78, 79	3eqtr4ri 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂↑2) = (1 / 𝑂)
81	2	oveq1i 7351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍↑3) = ((𝑂↑_𝑐(1 / 3))↑3)
82		3nn 12196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ
83		cxproot 26619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑂 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((𝑂↑_𝑐(1 / 3))↑3) = 𝑂)
84	14, 82, 83	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑂↑_𝑐(1 / 3))↑3) = 𝑂
85	81, 84	eqtr2i 2754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (𝑍↑3)
86	85	oveq1i 7351	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂↑2) = ((𝑍↑3)↑2)
87	85	oveq2i 7352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 𝑂) = (1 / (𝑍↑3))
88	80, 86, 87	3eqtr3i 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍↑3)↑2) = (1 / (𝑍↑3))
89		3t2e6 12278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · 2) = 6
90	89	oveq2i 7352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍↑(3 · 2)) = (𝑍↑6)
91		2nn0 12390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
92		expmul 14006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝑍↑(3 · 2)) = ((𝑍↑3)↑2))
93	19, 29, 91, 92	mp3an 1463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍↑(3 · 2)) = ((𝑍↑3)↑2)
94	90, 93	eqtr3i 2755	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍↑6) = ((𝑍↑3)↑2)
95		3z 12497	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℤ
96		exprec 14002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0 ∧ 3 ∈ ℤ) → ((1 / 𝑍)↑3) = (1 / (𝑍↑3)))
97	19, 25, 95, 96	mp3an 1463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 𝑍)↑3) = (1 / (𝑍↑3))
98	88, 94, 97	3eqtr4i 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍↑6) = ((1 / 𝑍)↑3)
99	98	oveq2i 7352	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍↑3) + (𝑍↑6)) = ((𝑍↑3) + ((1 / 𝑍)↑3))
100	51, 52, 99	3eqtr3i 2761	. . . . . 6 ⊢ -1 = ((𝑍↑3) + ((1 / 𝑍)↑3))
101		sqdivid 14021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0) → ((𝑍↑2) / 𝑍) = 𝑍)
102	19, 25, 101	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍↑2) / 𝑍) = 𝑍
103	19	sqcli 14080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍↑2) ∈ ℂ
104	103, 19, 25	divreci 11858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍↑2) / 𝑍) = ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍))
105	102, 104	eqtr3i 2755	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍))
106	15, 5	negsubi 11431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + -2) = (1 − 2)
107	5, 15	negsubdi2i 11439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(2 − 1) = (1 − 2)
108		2m1e1 12238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 − 1) = 1
109	108	negeqi 11345	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(2 − 1) = -1
110	106, 107, 109	3eqtr2i 2759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + -2) = -1
111	110	oveq2i 7352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍↑(1 + -2)) = (𝑍↑-1)
112		1z 12494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
113	91	nn0negzi 12503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -2 ∈ ℤ
114		expaddz 14005	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ -2 ∈ ℤ)) → (𝑍↑(1 + -2)) = ((𝑍↑1) · (𝑍↑-2)))
115	19, 25, 112, 113, 114	mp4an 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍↑(1 + -2)) = ((𝑍↑1) · (𝑍↑-2))
116		expn1 13970	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ ℂ → (𝑍↑-1) = (1 / 𝑍))
117	19, 116	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍↑-1) = (1 / 𝑍)
118	111, 115, 117	3eqtr3i 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍↑1) · (𝑍↑-2)) = (1 / 𝑍)
119		exp1 13966	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ ℂ → (𝑍↑1) = 𝑍)
120	19, 119	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍↑1) = 𝑍
121		expnegz 13995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0 ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑍↑-2) = (1 / (𝑍↑2)))
122	19, 25, 70, 121	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍↑-2) = (1 / (𝑍↑2))
123	19, 25	sqrecii 14082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / 𝑍)↑2) = (1 / (𝑍↑2))
124	122, 123	eqtr4i 2756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍↑-2) = ((1 / 𝑍)↑2)
125	120, 124	oveq12i 7353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍↑1) · (𝑍↑-2)) = (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))
126	118, 125	eqtr3i 2755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 𝑍) = (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))
127	105, 126	oveq12i 7353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 + (1 / 𝑍)) = (((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)) + (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2)))
128	1, 127	eqtri 2753	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)) + (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2)))
129	128	oveq2i 7352	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 𝐴) = (3 · (((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)) + (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))))
130	103, 26	mulcli 11111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)) ∈ ℂ
131	26	sqcli 14080	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 𝑍)↑2) ∈ ℂ
132	19, 131	mulcli 11111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2)) ∈ ℂ
133	9, 130, 132	adddii 11116	. . . . . . 7 ⊢ (3 · (((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)) + (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2)))) = ((3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍))) + (3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))))
134	129, 133	eqtri 2753	. . . . . 6 ⊢ (3 · 𝐴) = ((3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍))) + (3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))))
135	100, 134	oveq12i 7353	. . . . 5 ⊢ (-1 + (3 · 𝐴)) = (((𝑍↑3) + ((1 / 𝑍)↑3)) + ((3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍))) + (3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2)))))
136	15	negcli 11421	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
137	9, 28	mulcli 11111	. . . . . 6 ⊢ (3 · 𝐴) ∈ ℂ
138	136, 137	addcomi 11296	. . . . 5 ⊢ (-1 + (3 · 𝐴)) = ((3 · 𝐴) + -1)
139		expcl 13978	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 𝑍) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → ((1 / 𝑍)↑3) ∈ ℂ)
140	26, 29, 139	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝑍)↑3) ∈ ℂ
141	9, 130	mulcli 11111	. . . . . 6 ⊢ (3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍))) ∈ ℂ
142	9, 132	mulcli 11111	. . . . . 6 ⊢ (3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))) ∈ ℂ
143	50, 140, 141, 142	add42i 11331	. . . . 5 ⊢ (((𝑍↑3) + ((1 / 𝑍)↑3)) + ((3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍))) + (3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))))) = (((𝑍↑3) + (3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)))) + ((3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))) + ((1 / 𝑍)↑3)))
144	135, 138, 143	3eqtr3i 2761	. . . 4 ⊢ ((3 · 𝐴) + -1) = (((𝑍↑3) + (3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)))) + ((3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))) + ((1 / 𝑍)↑3)))
145	39, 45, 144	3eqtri 2757	. . 3 ⊢ -((-3 · 𝐴) + 1) = (((𝑍↑3) + (3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)))) + ((3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))) + ((1 / 𝑍)↑3)))
146	37, 38, 145	3eqtr4i 2763	. 2 ⊢ (𝐴↑3) = -((-3 · 𝐴) + 1)
147		addeq0 11532	. . 3 ⊢ (((𝐴↑3) ∈ ℂ ∧ ((-3 · 𝐴) + 1) ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) + ((-3 · 𝐴) + 1)) = 0 ↔ (𝐴↑3) = -((-3 · 𝐴) + 1)))
148	147	biimpar 477	. 2 ⊢ ((((𝐴↑3) ∈ ℂ ∧ ((-3 · 𝐴) + 1) ∈ ℂ) ∧ (𝐴↑3) = -((-3 · 𝐴) + 1)) → ((𝐴↑3) + ((-3 · 𝐴) + 1)) = 0)
149	35, 146, 148	mp2an 692	1 ⊢ ((𝐴↑3) + ((-3 · 𝐴) + 1)) = 0

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2110 ≠ wne 2926 ‘cfv 6477 (class class class)co 7341 ℂcc 10996 0cc0 10998 1c1 10999 ici 11000 + caddc 11001 · cmul 11003 − cmin 11336 -cneg 11337 / cdiv 11766 ℕcn 12117 2c2 12172 3c3 12173 6c6 12176 ℕ₀cn0 12373 ℤcz 12460 ↑cexp 13960 expce 15960 πcpi 15965 ↑_𝑐ccxp 26484

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2112 ax-9 2120 ax-10 2143 ax-11 2159 ax-12 2179 ax-ext 2702 ax-rep 5215 ax-sep 5232 ax-nul 5242 ax-pow 5301 ax-pr 5368 ax-un 7663 ax-inf2 9526 ax-cnex 11054 ax-resscn 11055 ax-1cn 11056 ax-icn 11057 ax-addcl 11058 ax-addrcl 11059 ax-mulcl 11060 ax-mulrcl 11061 ax-mulcom 11062 ax-addass 11063 ax-mulass 11064 ax-distr 11065 ax-i2m1 11066 ax-1ne0 11067 ax-1rid 11068 ax-rnegex 11069 ax-rrecex 11070 ax-cnre 11071 ax-pre-lttri 11072 ax-pre-lttrn 11073 ax-pre-ltadd 11074 ax-pre-mulgt0 11075 ax-pre-sup 11076 ax-addf 11077

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2709 df-cleq 2722 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2927 df-nel 3031 df-ral 3046 df-rex 3055 df-rmo 3344 df-reu 3345 df-rab 3394 df-v 3436 df-sbc 3740 df-csb 3849 df-dif 3903 df-un 3905 df-in 3907 df-ss 3917 df-pss 3920 df-nul 4282 df-if 4474 df-pw 4550 df-sn 4575 df-pr 4577 df-tp 4579 df-op 4581 df-uni 4858 df-int 4896 df-iun 4941 df-iin 4942 df-br 5090 df-opab 5152 df-mpt 5171 df-tr 5197 df-id 5509 df-eprel 5514 df-po 5522 df-so 5523 df-fr 5567 df-se 5568 df-we 5569 df-xp 5620 df-rel 5621 df-cnv 5622 df-co 5623 df-dm 5624 df-rn 5625 df-res 5626 df-ima 5627 df-pred 6244 df-ord 6305 df-on 6306 df-lim 6307 df-suc 6308 df-iota 6433 df-fun 6479 df-fn 6480 df-f 6481 df-f1 6482 df-fo 6483 df-f1o 6484 df-fv 6485 df-isom 6486 df-riota 7298 df-ov 7344 df-oprab 7345 df-mpo 7346 df-of 7605 df-om 7792 df-1st 7916 df-2nd 7917 df-supp 8086 df-frecs 8206 df-wrecs 8237 df-recs 8286 df-rdg 8324 df-1o 8380 df-2o 8381 df-er 8617 df-map 8747 df-pm 8748 df-ixp 8817 df-en 8865 df-dom 8866 df-sdom 8867 df-fin 8868 df-fsupp 9241 df-fi 9290 df-sup 9321 df-inf 9322 df-oi 9391 df-card 9824 df-pnf 11140 df-mnf 11141 df-xr 11142 df-ltxr 11143 df-le 11144 df-sub 11338 df-neg 11339 df-div 11767 df-nn 12118 df-2 12180 df-3 12181 df-4 12182 df-5 12183 df-6 12184 df-7 12185 df-8 12186 df-9 12187 df-n0 12374 df-z 12461 df-dec 12581 df-uz 12725 df-q 12839 df-rp 12883 df-xneg 13003 df-xadd 13004 df-xmul 13005 df-ioo 13241 df-ioc 13242 df-ico 13243 df-icc 13244 df-fz 13400 df-fzo 13547 df-fl 13688 df-mod 13766 df-seq 13901 df-exp 13961 df-fac 14173 df-bc 14202 df-hash 14230 df-shft 14966 df-cj 14998 df-re 14999 df-im 15000 df-sqrt 15134 df-abs 15135 df-limsup 15370 df-clim 15387 df-rlim 15388 df-sum 15586 df-ef 15966 df-sin 15968 df-cos 15969 df-pi 15971 df-struct 17050 df-sets 17067 df-slot 17085 df-ndx 17097 df-base 17113 df-ress 17134 df-plusg 17166 df-mulr 17167 df-starv 17168 df-sca 17169 df-vsca 17170 df-ip 17171 df-tset 17172 df-ple 17173 df-ds 17175 df-unif 17176 df-hom 17177 df-cco 17178 df-rest 17318 df-topn 17319 df-0g 17337 df-gsum 17338 df-topgen 17339 df-pt 17340 df-prds 17343 df-xrs 17398 df-qtop 17403 df-imas 17404 df-xps 17406 df-mre 17480 df-mrc 17481 df-acs 17483 df-mgm 18540 df-sgrp 18619 df-mnd 18635 df-submnd 18684 df-mulg 18973 df-cntz 19222 df-cmn 19687 df-psmet 21276 df-xmet 21277 df-met 21278 df-bl 21279 df-mopn 21280 df-fbas 21281 df-fg 21282 df-cnfld 21285 df-top 22802 df-topon 22819 df-topsp 22841 df-bases 22854 df-cld 22927 df-ntr 22928 df-cls 22929 df-nei 23006 df-lp 23044 df-perf 23045 df-cn 23135 df-cnp 23136 df-haus 23223 df-tx 23470 df-hmeo 23663 df-fil 23754 df-fm 23846 df-flim 23847 df-flf 23848 df-xms 24228 df-ms 24229 df-tms 24230 df-cncf 24791 df-limc 25787 df-dv 25788 df-log 26485 df-cxp 26486

This theorem is referenced by: cos9thpiminply 33791

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