cos9thpiminplylem5 - Mathbox for Thierry Arnoux

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Theorem cos9thpiminplylem5 33769

Description: The constructed complex number 𝐴 is a root of the polynomial ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)). (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Nov-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cos9thpiminplylem3.1	⊢ 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
cos9thpiminplylem4.2	⊢ 𝑍 = (𝑂↑_𝑐(1 / 3))
cos9thpiminplylem5.3	⊢ 𝐴 = (𝑍 + (1 / 𝑍))

**Assertion**
Ref	Expression
cos9thpiminplylem5	⊢ ((𝐴↑3) + ((-3 · 𝐴) + 1)) = 0

**Proof of Theorem cos9thpiminplylem5**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		cos9thpiminplylem5.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑍 + (1 / 𝑍))
2		cos9thpiminplylem4.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (𝑂↑_𝑐(1 / 3))
3		cos9thpiminplylem3.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
4		ax-icn 11068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ∈ ℂ
5		2cn 12203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		picn 26365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℂ
7	5, 6	mulcli 11122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
8	4, 7	mulcli 11122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
9		3cn 12209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
10		3ne0 12234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
11	8, 9, 10	divcli 11866	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ
12		efcl 15989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ → (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ
14	3, 13	eqeltri 2824	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 ∈ ℂ
15		ax-1cn 11067	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
16	15, 9, 10	divcli 11866	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
17		cxpcl 26581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂 ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ) → (𝑂↑_𝑐(1 / 3)) ∈ ℂ)
18	14, 16, 17	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂↑_𝑐(1 / 3)) ∈ ℂ
19	2, 18	eqeltri 2824	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ ℂ
20		efne0 16005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ → (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ≠ 0)
21	11, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ≠ 0
22	3, 21	eqnetri 2995	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 ≠ 0
23		cxpne0 26584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂 ∈ ℂ ∧ 𝑂 ≠ 0 ∧ (1 / 3) ∈ ℂ) → (𝑂↑_𝑐(1 / 3)) ≠ 0)
24	14, 22, 16, 23	mp3an 1463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂↑_𝑐(1 / 3)) ≠ 0
25	2, 24	eqnetri 2995	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ≠ 0
26	15, 19, 25	divcli 11866	. . . . . 6 ⊢ (1 / 𝑍) ∈ ℂ
27	19, 26	addcli 11121	. . . . 5 ⊢ (𝑍 + (1 / 𝑍)) ∈ ℂ
28	1, 27	eqeltri 2824	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
29		3nn0 12402	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
30		expcl 13986	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
31	28, 29, 30	mp2an 692	. . 3 ⊢ (𝐴↑3) ∈ ℂ
32	9	negcli 11432	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℂ
33	32, 28	mulcli 11122	. . . 4 ⊢ (-3 · 𝐴) ∈ ℂ
34	33, 15	addcli 11121	. . 3 ⊢ ((-3 · 𝐴) + 1) ∈ ℂ
35	31, 34	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((𝐴↑3) ∈ ℂ ∧ ((-3 · 𝐴) + 1) ∈ ℂ)
36		binom3 14131	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑍) ∈ ℂ) → ((𝑍 + (1 / 𝑍))↑3) = (((𝑍↑3) + (3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)))) + ((3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))) + ((1 / 𝑍)↑3))))
37	19, 26, 36	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝑍 + (1 / 𝑍))↑3) = (((𝑍↑3) + (3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)))) + ((3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))) + ((1 / 𝑍)↑3)))
38	1	oveq1i 7359	. . 3 ⊢ (𝐴↑3) = ((𝑍 + (1 / 𝑍))↑3)
39	33, 15	negdii 11448	. . . 4 ⊢ -((-3 · 𝐴) + 1) = (-(-3 · 𝐴) + -1)
40	32, 28	mulneg1i 11566	. . . . . 6 ⊢ (--3 · 𝐴) = -(-3 · 𝐴)
41	40	oveq1i 7359	. . . . 5 ⊢ ((--3 · 𝐴) + -1) = (-(-3 · 𝐴) + -1)
42	9	negnegi 11434	. . . . . . 7 ⊢ --3 = 3
43	42	oveq1i 7359	. . . . . 6 ⊢ (--3 · 𝐴) = (3 · 𝐴)
44	43	oveq1i 7359	. . . . 5 ⊢ ((--3 · 𝐴) + -1) = ((3 · 𝐴) + -1)
45	41, 44	eqtr3i 2754	. . . 4 ⊢ (-(-3 · 𝐴) + -1) = ((3 · 𝐴) + -1)
46		6nn0 12405	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ₀
47		expcl 13986	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℕ₀) → (𝑍↑6) ∈ ℂ)
48	19, 46, 47	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍↑6) ∈ ℂ
49		expcl 13986	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑍↑3) ∈ ℂ)
50	19, 29, 49	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍↑3) ∈ ℂ
51	48, 50	addcomi 11307	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍↑6) + (𝑍↑3)) = ((𝑍↑3) + (𝑍↑6))
52	3, 2	cos9thpiminplylem4 33768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍↑6) + (𝑍↑3)) = -1
53	13	sqcli 14088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) ∈ ℂ
54	13, 21	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ ∧ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ≠ 0)
55	15, 53, 54	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) ∈ ℂ ∧ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ ∧ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ≠ 0))
56	5, 15, 11	adddiri 11128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 + 1) · ((i · (2 · π)) / 3)) = ((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) + (1 · ((i · (2 · π)) / 3)))
57		2p1e3 12265	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 + 1) = 3
58	57	oveq1i 7359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 + 1) · ((i · (2 · π)) / 3)) = (3 · ((i · (2 · π)) / 3))
59	8, 9, 10	divcan2i 11867	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 · ((i · (2 · π)) / 3)) = (i · (2 · π))
60	58, 59	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 + 1) · ((i · (2 · π)) / 3)) = (i · (2 · π))
61	11	mullidi 11120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 · ((i · (2 · π)) / 3)) = ((i · (2 · π)) / 3)
62	61	oveq2i 7360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) + (1 · ((i · (2 · π)) / 3))) = ((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) + ((i · (2 · π)) / 3))
63	56, 60, 62	3eqtr3ri 2761	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) + ((i · (2 · π)) / 3)) = (i · (2 · π))
64	63	fveq2i 6825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (exp‘((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) + ((i · (2 · π)) / 3))) = (exp‘(i · (2 · π)))
65	5, 11	mulcli 11122	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · ((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ
66		efadd 16001	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ ∧ ((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ) → (exp‘((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) + ((i · (2 · π)) / 3))) = ((exp‘(2 · ((i · (2 · π)) / 3))) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3))))
67	65, 11, 66	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (exp‘((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) + ((i · (2 · π)) / 3))) = ((exp‘(2 · ((i · (2 · π)) / 3))) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))
68	64, 67	eqtr3i 2754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (exp‘(i · (2 · π))) = ((exp‘(2 · ((i · (2 · π)) / 3))) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))
69		ef2pi 26384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (exp‘(i · (2 · π))) = 1
70		2z 12507	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
71		efexp 16010	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (exp‘(2 · ((i · (2 · π)) / 3))) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2))
72	11, 70, 71	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (exp‘(2 · ((i · (2 · π)) / 3))) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2)
73	72	oveq1i 7359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((exp‘(2 · ((i · (2 · π)) / 3))) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3))) = (((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))
74	68, 69, 73	3eqtr3i 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))
75		divmul3 11784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) ∈ ℂ ∧ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ ∧ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ≠ 0)) → ((1 / (exp‘((i · (2 · π)) / 3))) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) ↔ 1 = (((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))))
76	75	biimpar 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 ∈ ℂ ∧ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) ∈ ℂ ∧ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ ∧ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ≠ 0)) ∧ 1 = (((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))) → (1 / (exp‘((i · (2 · π)) / 3))) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2))
77	55, 74, 76	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / (exp‘((i · (2 · π)) / 3))) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2)
78	3	oveq2i 7360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 𝑂) = (1 / (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))
79	3	oveq1i 7359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑂↑2) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2)
80	77, 78, 79	3eqtr4ri 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂↑2) = (1 / 𝑂)
81	2	oveq1i 7359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍↑3) = ((𝑂↑_𝑐(1 / 3))↑3)
82		3nn 12207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ
83		cxproot 26597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑂 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((𝑂↑_𝑐(1 / 3))↑3) = 𝑂)
84	14, 82, 83	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑂↑_𝑐(1 / 3))↑3) = 𝑂
85	81, 84	eqtr2i 2753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (𝑍↑3)
86	85	oveq1i 7359	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂↑2) = ((𝑍↑3)↑2)
87	85	oveq2i 7360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 𝑂) = (1 / (𝑍↑3))
88	80, 86, 87	3eqtr3i 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍↑3)↑2) = (1 / (𝑍↑3))
89		3t2e6 12289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · 2) = 6
90	89	oveq2i 7360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍↑(3 · 2)) = (𝑍↑6)
91		2nn0 12401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
92		expmul 14014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝑍↑(3 · 2)) = ((𝑍↑3)↑2))
93	19, 29, 91, 92	mp3an 1463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍↑(3 · 2)) = ((𝑍↑3)↑2)
94	90, 93	eqtr3i 2754	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍↑6) = ((𝑍↑3)↑2)
95		3z 12508	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℤ
96		exprec 14010	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0 ∧ 3 ∈ ℤ) → ((1 / 𝑍)↑3) = (1 / (𝑍↑3)))
97	19, 25, 95, 96	mp3an 1463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 𝑍)↑3) = (1 / (𝑍↑3))
98	88, 94, 97	3eqtr4i 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍↑6) = ((1 / 𝑍)↑3)
99	98	oveq2i 7360	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍↑3) + (𝑍↑6)) = ((𝑍↑3) + ((1 / 𝑍)↑3))
100	51, 52, 99	3eqtr3i 2760	. . . . . 6 ⊢ -1 = ((𝑍↑3) + ((1 / 𝑍)↑3))
101		sqdivid 14029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0) → ((𝑍↑2) / 𝑍) = 𝑍)
102	19, 25, 101	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍↑2) / 𝑍) = 𝑍
103	19	sqcli 14088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍↑2) ∈ ℂ
104	103, 19, 25	divreci 11869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍↑2) / 𝑍) = ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍))
105	102, 104	eqtr3i 2754	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍))
106	15, 5	negsubi 11442	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + -2) = (1 − 2)
107	5, 15	negsubdi2i 11450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(2 − 1) = (1 − 2)
108		2m1e1 12249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 − 1) = 1
109	108	negeqi 11356	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(2 − 1) = -1
110	106, 107, 109	3eqtr2i 2758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + -2) = -1
111	110	oveq2i 7360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍↑(1 + -2)) = (𝑍↑-1)
112		1z 12505	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
113	91	nn0negzi 12514	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -2 ∈ ℤ
114		expaddz 14013	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ -2 ∈ ℤ)) → (𝑍↑(1 + -2)) = ((𝑍↑1) · (𝑍↑-2)))
115	19, 25, 112, 113, 114	mp4an 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍↑(1 + -2)) = ((𝑍↑1) · (𝑍↑-2))
116		expn1 13978	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ ℂ → (𝑍↑-1) = (1 / 𝑍))
117	19, 116	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍↑-1) = (1 / 𝑍)
118	111, 115, 117	3eqtr3i 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍↑1) · (𝑍↑-2)) = (1 / 𝑍)
119		exp1 13974	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ ℂ → (𝑍↑1) = 𝑍)
120	19, 119	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍↑1) = 𝑍
121		expnegz 14003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0 ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑍↑-2) = (1 / (𝑍↑2)))
122	19, 25, 70, 121	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍↑-2) = (1 / (𝑍↑2))
123	19, 25	sqrecii 14090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / 𝑍)↑2) = (1 / (𝑍↑2))
124	122, 123	eqtr4i 2755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍↑-2) = ((1 / 𝑍)↑2)
125	120, 124	oveq12i 7361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍↑1) · (𝑍↑-2)) = (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))
126	118, 125	eqtr3i 2754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 𝑍) = (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))
127	105, 126	oveq12i 7361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 + (1 / 𝑍)) = (((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)) + (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2)))
128	1, 127	eqtri 2752	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)) + (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2)))
129	128	oveq2i 7360	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 𝐴) = (3 · (((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)) + (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))))
130	103, 26	mulcli 11122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)) ∈ ℂ
131	26	sqcli 14088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 𝑍)↑2) ∈ ℂ
132	19, 131	mulcli 11122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2)) ∈ ℂ
133	9, 130, 132	adddii 11127	. . . . . . 7 ⊢ (3 · (((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)) + (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2)))) = ((3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍))) + (3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))))
134	129, 133	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ (3 · 𝐴) = ((3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍))) + (3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))))
135	100, 134	oveq12i 7361	. . . . 5 ⊢ (-1 + (3 · 𝐴)) = (((𝑍↑3) + ((1 / 𝑍)↑3)) + ((3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍))) + (3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2)))))
136	15	negcli 11432	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
137	9, 28	mulcli 11122	. . . . . 6 ⊢ (3 · 𝐴) ∈ ℂ
138	136, 137	addcomi 11307	. . . . 5 ⊢ (-1 + (3 · 𝐴)) = ((3 · 𝐴) + -1)
139		expcl 13986	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 𝑍) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → ((1 / 𝑍)↑3) ∈ ℂ)
140	26, 29, 139	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝑍)↑3) ∈ ℂ
141	9, 130	mulcli 11122	. . . . . 6 ⊢ (3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍))) ∈ ℂ
142	9, 132	mulcli 11122	. . . . . 6 ⊢ (3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))) ∈ ℂ
143	50, 140, 141, 142	add42i 11342	. . . . 5 ⊢ (((𝑍↑3) + ((1 / 𝑍)↑3)) + ((3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍))) + (3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))))) = (((𝑍↑3) + (3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)))) + ((3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))) + ((1 / 𝑍)↑3)))
144	135, 138, 143	3eqtr3i 2760	. . . 4 ⊢ ((3 · 𝐴) + -1) = (((𝑍↑3) + (3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)))) + ((3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))) + ((1 / 𝑍)↑3)))
145	39, 45, 144	3eqtri 2756	. . 3 ⊢ -((-3 · 𝐴) + 1) = (((𝑍↑3) + (3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)))) + ((3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))) + ((1 / 𝑍)↑3)))
146	37, 38, 145	3eqtr4i 2762	. 2 ⊢ (𝐴↑3) = -((-3 · 𝐴) + 1)
147		addeq0 11543	. . 3 ⊢ (((𝐴↑3) ∈ ℂ ∧ ((-3 · 𝐴) + 1) ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) + ((-3 · 𝐴) + 1)) = 0 ↔ (𝐴↑3) = -((-3 · 𝐴) + 1)))
148	147	biimpar 477	. 2 ⊢ ((((𝐴↑3) ∈ ℂ ∧ ((-3 · 𝐴) + 1) ∈ ℂ) ∧ (𝐴↑3) = -((-3 · 𝐴) + 1)) → ((𝐴↑3) + ((-3 · 𝐴) + 1)) = 0)
149	35, 146, 148	mp2an 692	1 ⊢ ((𝐴↑3) + ((-3 · 𝐴) + 1)) = 0

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 ‘cfv 6482 (class class class)co 7349 ℂcc 11007 0cc0 11009 1c1 11010 ici 11011 + caddc 11012 · cmul 11014 − cmin 11347 -cneg 11348 / cdiv 11777 ℕcn 12128 2c2 12183 3c3 12184 6c6 12187 ℕ₀cn0 12384 ℤcz 12471 ↑cexp 13968 expce 15968 πcpi 15973 ↑_𝑐ccxp 26462

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5218 ax-sep 5235 ax-nul 5245 ax-pow 5304 ax-pr 5371 ax-un 7671 ax-inf2 9537 ax-cnex 11065 ax-resscn 11066 ax-1cn 11067 ax-icn 11068 ax-addcl 11069 ax-addrcl 11070 ax-mulcl 11071 ax-mulrcl 11072 ax-mulcom 11073 ax-addass 11074 ax-mulass 11075 ax-distr 11076 ax-i2m1 11077 ax-1ne0 11078 ax-1rid 11079 ax-rnegex 11080 ax-rrecex 11081 ax-cnre 11082 ax-pre-lttri 11083 ax-pre-lttrn 11084 ax-pre-ltadd 11085 ax-pre-mulgt0 11086 ax-pre-sup 11087 ax-addf 11088

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3395 df-v 3438 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-dif 3906 df-un 3908 df-in 3910 df-ss 3920 df-pss 3923 df-nul 4285 df-if 4477 df-pw 4553 df-sn 4578 df-pr 4580 df-tp 4582 df-op 4584 df-uni 4859 df-int 4897 df-iun 4943 df-iin 4944 df-br 5093 df-opab 5155 df-mpt 5174 df-tr 5200 df-id 5514 df-eprel 5519 df-po 5527 df-so 5528 df-fr 5572 df-se 5573 df-we 5574 df-xp 5625 df-rel 5626 df-cnv 5627 df-co 5628 df-dm 5629 df-rn 5630 df-res 5631 df-ima 5632 df-pred 6249 df-ord 6310 df-on 6311 df-lim 6312 df-suc 6313 df-iota 6438 df-fun 6484 df-fn 6485 df-f 6486 df-f1 6487 df-fo 6488 df-f1o 6489 df-fv 6490 df-isom 6491 df-riota 7306 df-ov 7352 df-oprab 7353 df-mpo 7354 df-of 7613 df-om 7800 df-1st 7924 df-2nd 7925 df-supp 8094 df-frecs 8214 df-wrecs 8245 df-recs 8294 df-rdg 8332 df-1o 8388 df-2o 8389 df-er 8625 df-map 8755 df-pm 8756 df-ixp 8825 df-en 8873 df-dom 8874 df-sdom 8875 df-fin 8876 df-fsupp 9252 df-fi 9301 df-sup 9332 df-inf 9333 df-oi 9402 df-card 9835 df-pnf 11151 df-mnf 11152 df-xr 11153 df-ltxr 11154 df-le 11155 df-sub 11349 df-neg 11350 df-div 11778 df-nn 12129 df-2 12191 df-3 12192 df-4 12193 df-5 12194 df-6 12195 df-7 12196 df-8 12197 df-9 12198 df-n0 12385 df-z 12472 df-dec 12592 df-uz 12736 df-q 12850 df-rp 12894 df-xneg 13014 df-xadd 13015 df-xmul 13016 df-ioo 13252 df-ioc 13253 df-ico 13254 df-icc 13255 df-fz 13411 df-fzo 13558 df-fl 13696 df-mod 13774 df-seq 13909 df-exp 13969 df-fac 14181 df-bc 14210 df-hash 14238 df-shft 14974 df-cj 15006 df-re 15007 df-im 15008 df-sqrt 15142 df-abs 15143 df-limsup 15378 df-clim 15395 df-rlim 15396 df-sum 15594 df-ef 15974 df-sin 15976 df-cos 15977 df-pi 15979 df-struct 17058 df-sets 17075 df-slot 17093 df-ndx 17105 df-base 17121 df-ress 17142 df-plusg 17174 df-mulr 17175 df-starv 17176 df-sca 17177 df-vsca 17178 df-ip 17179 df-tset 17180 df-ple 17181 df-ds 17183 df-unif 17184 df-hom 17185 df-cco 17186 df-rest 17326 df-topn 17327 df-0g 17345 df-gsum 17346 df-topgen 17347 df-pt 17348 df-prds 17351 df-xrs 17406 df-qtop 17411 df-imas 17412 df-xps 17414 df-mre 17488 df-mrc 17489 df-acs 17491 df-mgm 18514 df-sgrp 18593 df-mnd 18609 df-submnd 18658 df-mulg 18947 df-cntz 19196 df-cmn 19661 df-psmet 21253 df-xmet 21254 df-met 21255 df-bl 21256 df-mopn 21257 df-fbas 21258 df-fg 21259 df-cnfld 21262 df-top 22779 df-topon 22796 df-topsp 22818 df-bases 22831 df-cld 22904 df-ntr 22905 df-cls 22906 df-nei 22983 df-lp 23021 df-perf 23022 df-cn 23112 df-cnp 23113 df-haus 23200 df-tx 23447 df-hmeo 23640 df-fil 23731 df-fm 23823 df-flim 23824 df-flf 23825 df-xms 24206 df-ms 24207 df-tms 24208 df-cncf 24769 df-limc 25765 df-dv 25766 df-log 26463 df-cxp 26464

This theorem is referenced by: cos9thpiminply 33771

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