Theorem cos9thpiminplylem5 34485

Description: The constructed complex number 𝐴 is a root of the polynomial ((𝑋↑3) + (( -3 · 𝑋) + 1)). (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cos9thpiminplylem3.1	⊢ 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
cos9thpiminplylem4.2	⊢ 𝑍 = (𝑂↑𝑐(1 / 3))
cos9thpiminplylem5.3	⊢ 𝐴 = (𝑍 + (1 / 𝑍))

Assertion

Ref	Expression
cos9thpiminplylem5	⊢ ((𝐴↑3) + (( -3 · 𝐴) + 1)) = 0

Proof of Theorem cos9thpiminplylem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cos9thpiminplylem5.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑍 + (1 / 𝑍))
2		cos9thpiminplylem4.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (𝑂↑𝑐(1 / 3))
3		cos9thpiminplylem3.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
4		ax-icn 11283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ∈ ℂ
5		2cn 12442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		picn 26812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℂ
7	5, 6	mulcli 11340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
8	4, 7	mulcli 11340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
9		3cn 12448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
10		3ne0 12476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
11	8, 9, 10	divcli 12083	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ
12		efcl 16274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ → (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ
14	3, 13	eqeltri 2860	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 ∈ ℂ
15		ax-1cn 11282	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
16	15, 9, 10	divcli 12083	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
17		cxpcl 27029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂 ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ) → (𝑂↑𝑐(1 / 3)) ∈ ℂ)
18	14, 16, 17	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂↑𝑐(1 / 3)) ∈ ℂ
19	2, 18	eqeltri 2860	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ ℂ
20		efne0 16290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ → (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ≠ 0)
21	11, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ≠ 0
22	3, 21	eqnetri 3029	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 ≠ 0
23		cxpne0 27032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂 ∈ ℂ ∧ 𝑂 ≠ 0 ∧ (1 / 3) ∈ ℂ) → (𝑂↑𝑐(1 / 3)) ≠ 0)
24	14, 22, 16, 23	mp3an 1491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂↑𝑐(1 / 3)) ≠ 0
25	2, 24	eqnetri 3029	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ≠ 0
26	15, 19, 25	divcli 12083	. . . . . 6 ⊢ (1 / 𝑍) ∈ ℂ
27	19, 26	addcli 11339	. . . . 5 ⊢ (𝑍 + (1 / 𝑍)) ∈ ℂ
28	1, 27	eqeltri 2860	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
29		3nn0 12648	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
30		expcl 14246	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
31	28, 29, 30	mp2an 705	. . 3 ⊢ (𝐴↑3) ∈ ℂ
32	9	negcli 11650	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℂ
33	32, 28	mulcli 11340	. . . 4 ⊢ ( -3 · 𝐴) ∈ ℂ
34	33, 15	addcli 11339	. . 3 ⊢ (( -3 · 𝐴) + 1) ∈ ℂ
35	31, 34	pm3.2i 476	. 2 ⊢ ((𝐴↑3) ∈ ℂ ∧ (( -3 · 𝐴) + 1) ∈ ℂ)
36		binom3 14392	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑍) ∈ ℂ) → ((𝑍 + (1 / 𝑍))↑3) = (((𝑍↑3) + (3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)))) + ((3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))) + ((1 / 𝑍)↑3))))
37	19, 26, 36	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((𝑍 + (1 / 𝑍))↑3) = (((𝑍↑3) + (3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)))) + ((3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))) + ((1 / 𝑍)↑3)))
38	1	oveq1i 7450	. . 3 ⊢ (𝐴↑3) = ((𝑍 + (1 / 𝑍))↑3)
39	33, 15	negdii 11666	. . . 4 ⊢ -(( -3 · 𝐴) + 1) = ( -( -3 · 𝐴) + -1)
40	32, 28	mulneg1i 11786	. . . . . 6 ⊢ ( - -3 · 𝐴) = -( -3 · 𝐴)
41	40	oveq1i 7450	. . . . 5 ⊢ (( - -3 · 𝐴) + -1) = ( -( -3 · 𝐴) + -1)
42	9	negnegi 11652	. . . . . . 7 ⊢ - -3 = 3
43	42	oveq1i 7450	. . . . . 6 ⊢ ( - -3 · 𝐴) = (3 · 𝐴)
44	43	oveq1i 7450	. . . . 5 ⊢ (( - -3 · 𝐴) + -1) = ((3 · 𝐴) + -1)
45	41, 44	eqtr3i 2788	. . . 4 ⊢ ( -( -3 · 𝐴) + -1) = ((3 · 𝐴) + -1)
46		6nn0 12651	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ0
47		expcl 14246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℕ0) → (𝑍↑6) ∈ ℂ)
48	19, 46, 47	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍↑6) ∈ ℂ
49		expcl 14246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑍↑3) ∈ ℂ)
50	19, 29, 49	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍↑3) ∈ ℂ
51	48, 50	addcomi 11525	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍↑6) + (𝑍↑3)) = ((𝑍↑3) + (𝑍↑6))
52	3, 2	cos9thpiminplylem4 34484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍↑6) + (𝑍↑3)) = -1
53	13	sqcli 14348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) ∈ ℂ
54	13, 21	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ ∧ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ≠ 0)
55	15, 53, 54	3pm3.2i 1358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) ∈ ℂ ∧ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ ∧ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ≠ 0))
56	5, 15, 11	adddiri 11346	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 + 1) · ((i · (2 · π)) / 3)) = ((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) + (1 · ((i · (2 · π)) / 3)))
57		2p1e3 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 + 1) = 3
58	57	oveq1i 7450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 + 1) · ((i · (2 · π)) / 3)) = (3 · ((i · (2 · π)) / 3))
59	8, 9, 10	divcan2i 12084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 · ((i · (2 · π)) / 3)) = (i · (2 · π))
60	58, 59	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 + 1) · ((i · (2 · π)) / 3)) = (i · (2 · π))
61	11	mullidi 11338	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 · ((i · (2 · π)) / 3)) = ((i · (2 · π)) / 3)
62	61	oveq2i 7451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) + (1 · ((i · (2 · π)) / 3))) = ((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) + ((i · (2 · π)) / 3))
63	56, 60, 62	3eqtr3ri 2795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) + ((i · (2 · π)) / 3)) = (i · (2 · π))
64	63	fveq2i 6908	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (exp‘((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) + ((i · (2 · π)) / 3))) = (exp‘(i · (2 · π)))
65	5, 11	mulcli 11340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · ((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ
66		efadd 16286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ ∧ ((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ) → (exp‘((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) + ((i · (2 · π)) / 3))) = ((exp‘(2 · ((i · (2 · π)) / 3))) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3))))
67	65, 11, 66	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (exp‘((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) + ((i · (2 · π)) / 3))) = ((exp‘(2 · ((i · (2 · π)) / 3))) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))
68	64, 67	eqtr3i 2788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (exp‘(i · (2 · π))) = ((exp‘(2 · ((i · (2 · π)) / 3))) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))
69		ef2pi 26833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (exp‘(i · (2 · π))) = 1
70		2z 12752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
71		efexp 16295	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (exp‘(2 · ((i · (2 · π)) / 3))) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2))
72	11, 70, 71	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (exp‘(2 · ((i · (2 · π)) / 3))) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2)
73	72	oveq1i 7450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((exp‘(2 · ((i · (2 · π)) / 3))) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3))) = (((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))
74	68, 69, 73	3eqtr3i 2794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))
75		divmul3 12003	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) ∈ ℂ ∧ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ ∧ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ≠ 0)) → ((1 / (exp‘((i · (2 · π)) / 3))) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) ↔ 1 = (((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))))
76	75	biimpar 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 ∈ ℂ ∧ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) ∈ ℂ ∧ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ ∧ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ≠ 0)) ∧ 1 = (((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))) → (1 / (exp‘((i · (2 · π)) / 3))) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2))
77	55, 74, 76	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / (exp‘((i · (2 · π)) / 3))) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2)
78	3	oveq2i 7451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 𝑂) = (1 / (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))
79	3	oveq1i 7450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑂↑2) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2)
80	77, 78, 79	3eqtr4ri 2797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂↑2) = (1 / 𝑂)
81	2	oveq1i 7450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍↑3) = ((𝑂↑𝑐(1 / 3))↑3)
82		3nn 12446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ
83		cxproot 27045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑂 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((𝑂↑𝑐(1 / 3))↑3) = 𝑂)
84	14, 82, 83	mp2an 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑂↑𝑐(1 / 3))↑3) = 𝑂
85	81, 84	eqtr2i 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (𝑍↑3)
86	85	oveq1i 7450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂↑2) = ((𝑍↑3)↑2)
87	85	oveq2i 7451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 𝑂) = (1 / (𝑍↑3))
88	80, 86, 87	3eqtr3i 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍↑3)↑2) = (1 / (𝑍↑3))
89		3t2e6 12532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · 2) = 6
90	89	oveq2i 7451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍↑(3 · 2)) = (𝑍↑6)
91		2nn0 12647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
92		expmul 14274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑍↑(3 · 2)) = ((𝑍↑3)↑2))
93	19, 29, 91, 92	mp3an 1491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍↑(3 · 2)) = ((𝑍↑3)↑2)
94	90, 93	eqtr3i 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍↑6) = ((𝑍↑3)↑2)
95		3z 12753	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℤ
96		exprec 14270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0 ∧ 3 ∈ ℤ) → ((1 / 𝑍)↑3) = (1 / (𝑍↑3)))
97	19, 25, 95, 96	mp3an 1491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 𝑍)↑3) = (1 / (𝑍↑3))
98	88, 94, 97	3eqtr4i 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍↑6) = ((1 / 𝑍)↑3)
99	98	oveq2i 7451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍↑3) + (𝑍↑6)) = ((𝑍↑3) + ((1 / 𝑍)↑3))
100	51, 52, 99	3eqtr3i 2794	. . . . . 6 ⊢ -1 = ((𝑍↑3) + ((1 / 𝑍)↑3))
101		sqdivid 14289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0) → ((𝑍↑2) / 𝑍) = 𝑍)
102	19, 25, 101	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍↑2) / 𝑍) = 𝑍
103	19	sqcli 14348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍↑2) ∈ ℂ
104	103, 19, 25	divreci 12086	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍↑2) / 𝑍) = ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍))
105	102, 104	eqtr3i 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍))
106	15, 5	negsubi 11660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + -2) = (1 − 2)
107	5, 15	negsubdi2i 11668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(2 − 1) = (1 − 2)
108		2m1e1 12491	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 − 1) = 1
109	108	negeqi 11574	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(2 − 1) = -1
110	106, 107, 109	3eqtr2i 2792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + -2) = -1
111	110	oveq2i 7451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍↑(1 + -2)) = (𝑍↑ -1)
112		1z 12750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
113	91	nn0negzi 12759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -2 ∈ ℤ
114		expaddz 14273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ -2 ∈ ℤ)) → (𝑍↑(1 + -2)) = ((𝑍↑1) · (𝑍↑ -2)))
115	19, 25, 112, 113, 114	mp4an 706	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍↑(1 + -2)) = ((𝑍↑1) · (𝑍↑ -2))
116		expn1 14238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ ℂ → (𝑍↑ -1) = (1 / 𝑍))
117	19, 116	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍↑ -1) = (1 / 𝑍)
118	111, 115, 117	3eqtr3i 2794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍↑1) · (𝑍↑ -2)) = (1 / 𝑍)
119		exp1 14234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ ℂ → (𝑍↑1) = 𝑍)
120	19, 119	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍↑1) = 𝑍
121		expnegz 14263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0 ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑍↑ -2) = (1 / (𝑍↑2)))
122	19, 25, 70, 121	mp3an 1491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍↑ -2) = (1 / (𝑍↑2))
123	19, 25	sqrecii 14350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / 𝑍)↑2) = (1 / (𝑍↑2))
124	122, 123	eqtr4i 2789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍↑ -2) = ((1 / 𝑍)↑2)
125	120, 124	oveq12i 7452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍↑1) · (𝑍↑ -2)) = (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))
126	118, 125	eqtr3i 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 𝑍) = (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))
127	105, 126	oveq12i 7452	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 + (1 / 𝑍)) = (((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)) + (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2)))
128	1, 127	eqtri 2786	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)) + (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2)))
129	128	oveq2i 7451	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 𝐴) = (3 · (((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)) + (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))))
130	103, 26	mulcli 11340	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)) ∈ ℂ
131	26	sqcli 14348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 𝑍)↑2) ∈ ℂ
132	19, 131	mulcli 11340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2)) ∈ ℂ
133	9, 130, 132	adddii 11345	. . . . . . 7 ⊢ (3 · (((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)) + (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2)))) = ((3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍))) + (3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))))
134	129, 133	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ (3 · 𝐴) = ((3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍))) + (3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))))
135	100, 134	oveq12i 7452	. . . . 5 ⊢ ( -1 + (3 · 𝐴)) = (((𝑍↑3) + ((1 / 𝑍)↑3)) + ((3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍))) + (3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2)))))
136	15	negcli 11650	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
137	9, 28	mulcli 11340	. . . . . 6 ⊢ (3 · 𝐴) ∈ ℂ
138	136, 137	addcomi 11525	. . . . 5 ⊢ ( -1 + (3 · 𝐴)) = ((3 · 𝐴) + -1)
139		expcl 14246	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 𝑍) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝑍)↑3) ∈ ℂ)
140	26, 29, 139	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝑍)↑3) ∈ ℂ
141	9, 130	mulcli 11340	. . . . . 6 ⊢ (3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍))) ∈ ℂ
142	9, 132	mulcli 11340	. . . . . 6 ⊢ (3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))) ∈ ℂ
143	50, 140, 141, 142	add42i 11560	. . . . 5 ⊢ (((𝑍↑3) + ((1 / 𝑍)↑3)) + ((3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍))) + (3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))))) = (((𝑍↑3) + (3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)))) + ((3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))) + ((1 / 𝑍)↑3)))
144	135, 138, 143	3eqtr3i 2794	. . . 4 ⊢ ((3 · 𝐴) + -1) = (((𝑍↑3) + (3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)))) + ((3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))) + ((1 / 𝑍)↑3)))
145	39, 45, 144	3eqtri 2790	. . 3 ⊢ -(( -3 · 𝐴) + 1) = (((𝑍↑3) + (3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)))) + ((3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))) + ((1 / 𝑍)↑3)))
146	37, 38, 145	3eqtr4i 2796	. 2 ⊢ (𝐴↑3) = -(( -3 · 𝐴) + 1)
147		addeq0 11763	. . 3 ⊢ (((𝐴↑3) ∈ ℂ ∧ (( -3 · 𝐴) + 1) ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) + (( -3 · 𝐴) + 1)) = 0 ↔ (𝐴↑3) = -(( -3 · 𝐴) + 1)))
148	147	biimpar 483	. 2 ⊢ ((((𝐴↑3) ∈ ℂ ∧ (( -3 · 𝐴) + 1) ∈ ℂ) ∧ (𝐴↑3) = -(( -3 · 𝐴) + 1)) → ((𝐴↑3) + (( -3 · 𝐴) + 1)) = 0)
149	35, 146, 148	mp2an 705	1 ⊢ ((𝐴↑3) + (( -3 · 𝐴) + 1)) = 0

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  0cc0 11224  1c1 11225  ici 11226   + caddc 11227   · cmul 11229   − cmin 11565   -cneg 11566   / cdiv 11997  ℕcn 12359  2c2 12421  3c3 12422  6c6 12425  ℕ₀cn0 12630  ℤcz 12717  ↑cexp 14228  expce 16253  πcpi 16258  ↑_𝑐ccxp 26910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-fi 9427  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-ioo 13504  df-ioc 13505  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-mod 14034  df-seq 14169  df-exp 14229  df-fac 14442  df-bc 14471  df-hash 14499  df-shft 15246  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-limsup 15664  df-clim 15681  df-rlim 15682  df-sum 15880  df-ef 16259  df-sin 16261  df-cos 16262  df-pi 16264  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-rest 17619  df-topn 17620  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-topgen 17640  df-pt 17641  df-prds 17644  df-xrs 17700  df-qtop 17705  df-imas 17706  df-xps 17708  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-submnd 19005  df-mulg 19304  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-fbas 21702  df-fg 21703  df-cnfld 21706  df-top 23239  df-topon 23256  df-topsp 23278  df-bases 23291  df-cld 23364  df-ntr 23365  df-cls 23366  df-nei 23443  df-lp 23481  df-perf 23482  df-cn 23572  df-cnp 23573  df-haus 23660  df-tx 23908  df-hmeo 24101  df-fil 24192  df-fm 24284  df-flim 24285  df-flf 24286  df-xms 24666  df-ms 24667  df-tms 24668  df-cncf 25226  df-limc 26213  df-dv 26214  df-log 26911  df-cxp 26912

This theorem is used by:  cos9thpiminply  34487