cos9thpiminplylem5 - Mathbox for Thierry Arnoux

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Theorem cos9thpiminplylem5 33918

Description: The constructed complex number 𝐴 is a root of the polynomial ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)). (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Nov-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cos9thpiminplylem3.1	⊢ 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
cos9thpiminplylem4.2	⊢ 𝑍 = (𝑂↑_𝑐(1 / 3))
cos9thpiminplylem5.3	⊢ 𝐴 = (𝑍 + (1 / 𝑍))

**Assertion**
Ref	Expression
cos9thpiminplylem5	⊢ ((𝐴↑3) + ((-3 · 𝐴) + 1)) = 0

**Proof of Theorem cos9thpiminplylem5**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		cos9thpiminplylem5.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑍 + (1 / 𝑍))
2		cos9thpiminplylem4.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (𝑂↑_𝑐(1 / 3))
3		cos9thpiminplylem3.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
4		ax-icn 11086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ∈ ℂ
5		2cn 12245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		picn 26410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℂ
7	5, 6	mulcli 11141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
8	4, 7	mulcli 11141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
9		3cn 12251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
10		3ne0 12276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
11	8, 9, 10	divcli 11886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ
12		efcl 16036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ → (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ
14	3, 13	eqeltri 2831	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 ∈ ℂ
15		ax-1cn 11085	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
16	15, 9, 10	divcli 11886	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
17		cxpcl 26626	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂 ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ) → (𝑂↑_𝑐(1 / 3)) ∈ ℂ)
18	14, 16, 17	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂↑_𝑐(1 / 3)) ∈ ℂ
19	2, 18	eqeltri 2831	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ ℂ
20		efne0 16052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ → (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ≠ 0)
21	11, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ≠ 0
22	3, 21	eqnetri 3000	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 ≠ 0
23		cxpne0 26629	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂 ∈ ℂ ∧ 𝑂 ≠ 0 ∧ (1 / 3) ∈ ℂ) → (𝑂↑_𝑐(1 / 3)) ≠ 0)
24	14, 22, 16, 23	mp3an 1464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂↑_𝑐(1 / 3)) ≠ 0
25	2, 24	eqnetri 3000	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ≠ 0
26	15, 19, 25	divcli 11886	. . . . . 6 ⊢ (1 / 𝑍) ∈ ℂ
27	19, 26	addcli 11140	. . . . 5 ⊢ (𝑍 + (1 / 𝑍)) ∈ ℂ
28	1, 27	eqeltri 2831	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
29		3nn0 12444	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
30		expcl 14030	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
31	28, 29, 30	mp2an 693	. . 3 ⊢ (𝐴↑3) ∈ ℂ
32	9	negcli 11451	. . . . 5 ⊢ -3 ∈ ℂ
33	32, 28	mulcli 11141	. . . 4 ⊢ (-3 · 𝐴) ∈ ℂ
34	33, 15	addcli 11140	. . 3 ⊢ ((-3 · 𝐴) + 1) ∈ ℂ
35	31, 34	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((𝐴↑3) ∈ ℂ ∧ ((-3 · 𝐴) + 1) ∈ ℂ)
36		binom3 14175	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑍) ∈ ℂ) → ((𝑍 + (1 / 𝑍))↑3) = (((𝑍↑3) + (3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)))) + ((3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))) + ((1 / 𝑍)↑3))))
37	19, 26, 36	mp2an 693	. . 3 ⊢ ((𝑍 + (1 / 𝑍))↑3) = (((𝑍↑3) + (3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)))) + ((3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))) + ((1 / 𝑍)↑3)))
38	1	oveq1i 7366	. . 3 ⊢ (𝐴↑3) = ((𝑍 + (1 / 𝑍))↑3)
39	33, 15	negdii 11467	. . . 4 ⊢ -((-3 · 𝐴) + 1) = (-(-3 · 𝐴) + -1)
40	32, 28	mulneg1i 11585	. . . . . 6 ⊢ (--3 · 𝐴) = -(-3 · 𝐴)
41	40	oveq1i 7366	. . . . 5 ⊢ ((--3 · 𝐴) + -1) = (-(-3 · 𝐴) + -1)
42	9	negnegi 11453	. . . . . . 7 ⊢ --3 = 3
43	42	oveq1i 7366	. . . . . 6 ⊢ (--3 · 𝐴) = (3 · 𝐴)
44	43	oveq1i 7366	. . . . 5 ⊢ ((--3 · 𝐴) + -1) = ((3 · 𝐴) + -1)
45	41, 44	eqtr3i 2760	. . . 4 ⊢ (-(-3 · 𝐴) + -1) = ((3 · 𝐴) + -1)
46		6nn0 12447	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ₀
47		expcl 14030	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℕ₀) → (𝑍↑6) ∈ ℂ)
48	19, 46, 47	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍↑6) ∈ ℂ
49		expcl 14030	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑍↑3) ∈ ℂ)
50	19, 29, 49	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍↑3) ∈ ℂ
51	48, 50	addcomi 11326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍↑6) + (𝑍↑3)) = ((𝑍↑3) + (𝑍↑6))
52	3, 2	cos9thpiminplylem4 33917	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍↑6) + (𝑍↑3)) = -1
53	13	sqcli 14132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) ∈ ℂ
54	13, 21	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ ∧ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ≠ 0)
55	15, 53, 54	3pm3.2i 1341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) ∈ ℂ ∧ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ ∧ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ≠ 0))
56	5, 15, 11	adddiri 11147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 + 1) · ((i · (2 · π)) / 3)) = ((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) + (1 · ((i · (2 · π)) / 3)))
57		2p1e3 12307	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 + 1) = 3
58	57	oveq1i 7366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 + 1) · ((i · (2 · π)) / 3)) = (3 · ((i · (2 · π)) / 3))
59	8, 9, 10	divcan2i 11887	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 · ((i · (2 · π)) / 3)) = (i · (2 · π))
60	58, 59	eqtri 2758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 + 1) · ((i · (2 · π)) / 3)) = (i · (2 · π))
61	11	mullidi 11139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 · ((i · (2 · π)) / 3)) = ((i · (2 · π)) / 3)
62	61	oveq2i 7367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) + (1 · ((i · (2 · π)) / 3))) = ((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) + ((i · (2 · π)) / 3))
63	56, 60, 62	3eqtr3ri 2767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) + ((i · (2 · π)) / 3)) = (i · (2 · π))
64	63	fveq2i 6832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (exp‘((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) + ((i · (2 · π)) / 3))) = (exp‘(i · (2 · π)))
65	5, 11	mulcli 11141	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · ((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ
66		efadd 16048	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ ∧ ((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ) → (exp‘((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) + ((i · (2 · π)) / 3))) = ((exp‘(2 · ((i · (2 · π)) / 3))) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3))))
67	65, 11, 66	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (exp‘((2 · ((i · (2 · π)) / 3)) + ((i · (2 · π)) / 3))) = ((exp‘(2 · ((i · (2 · π)) / 3))) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))
68	64, 67	eqtr3i 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (exp‘(i · (2 · π))) = ((exp‘(2 · ((i · (2 · π)) / 3))) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))
69		ef2pi 26429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (exp‘(i · (2 · π))) = 1
70		2z 12548	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
71		efexp 16057	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (exp‘(2 · ((i · (2 · π)) / 3))) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2))
72	11, 70, 71	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (exp‘(2 · ((i · (2 · π)) / 3))) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2)
73	72	oveq1i 7366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((exp‘(2 · ((i · (2 · π)) / 3))) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3))) = (((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))
74	68, 69, 73	3eqtr3i 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))
75		divmul3 11803	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) ∈ ℂ ∧ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ ∧ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ≠ 0)) → ((1 / (exp‘((i · (2 · π)) / 3))) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) ↔ 1 = (((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))))
76	75	biimpar 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 ∈ ℂ ∧ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) ∈ ℂ ∧ ((exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ ∧ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ≠ 0)) ∧ 1 = (((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2) · (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))) → (1 / (exp‘((i · (2 · π)) / 3))) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2))
77	55, 74, 76	mp2an 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / (exp‘((i · (2 · π)) / 3))) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2)
78	3	oveq2i 7367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 𝑂) = (1 / (exp‘((i · (2 · π)) / 3)))
79	3	oveq1i 7366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑂↑2) = ((exp‘((i · (2 · π)) / 3))↑2)
80	77, 78, 79	3eqtr4ri 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂↑2) = (1 / 𝑂)
81	2	oveq1i 7366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍↑3) = ((𝑂↑_𝑐(1 / 3))↑3)
82		3nn 12249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ
83		cxproot 26642	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑂 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((𝑂↑_𝑐(1 / 3))↑3) = 𝑂)
84	14, 82, 83	mp2an 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑂↑_𝑐(1 / 3))↑3) = 𝑂
85	81, 84	eqtr2i 2759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (𝑍↑3)
86	85	oveq1i 7366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂↑2) = ((𝑍↑3)↑2)
87	85	oveq2i 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 𝑂) = (1 / (𝑍↑3))
88	80, 86, 87	3eqtr3i 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍↑3)↑2) = (1 / (𝑍↑3))
89		3t2e6 12331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · 2) = 6
90	89	oveq2i 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍↑(3 · 2)) = (𝑍↑6)
91		2nn0 12443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
92		expmul 14058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝑍↑(3 · 2)) = ((𝑍↑3)↑2))
93	19, 29, 91, 92	mp3an 1464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍↑(3 · 2)) = ((𝑍↑3)↑2)
94	90, 93	eqtr3i 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍↑6) = ((𝑍↑3)↑2)
95		3z 12549	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℤ
96		exprec 14054	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0 ∧ 3 ∈ ℤ) → ((1 / 𝑍)↑3) = (1 / (𝑍↑3)))
97	19, 25, 95, 96	mp3an 1464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 𝑍)↑3) = (1 / (𝑍↑3))
98	88, 94, 97	3eqtr4i 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍↑6) = ((1 / 𝑍)↑3)
99	98	oveq2i 7367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍↑3) + (𝑍↑6)) = ((𝑍↑3) + ((1 / 𝑍)↑3))
100	51, 52, 99	3eqtr3i 2766	. . . . . 6 ⊢ -1 = ((𝑍↑3) + ((1 / 𝑍)↑3))
101		sqdivid 14073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0) → ((𝑍↑2) / 𝑍) = 𝑍)
102	19, 25, 101	mp2an 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍↑2) / 𝑍) = 𝑍
103	19	sqcli 14132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍↑2) ∈ ℂ
104	103, 19, 25	divreci 11889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍↑2) / 𝑍) = ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍))
105	102, 104	eqtr3i 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍))
106	15, 5	negsubi 11461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + -2) = (1 − 2)
107	5, 15	negsubdi2i 11469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(2 − 1) = (1 − 2)
108		2m1e1 12291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 − 1) = 1
109	108	negeqi 11375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(2 − 1) = -1
110	106, 107, 109	3eqtr2i 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + -2) = -1
111	110	oveq2i 7367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍↑(1 + -2)) = (𝑍↑-1)
112		1z 12546	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
113	91	nn0negzi 12555	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -2 ∈ ℤ
114		expaddz 14057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ -2 ∈ ℤ)) → (𝑍↑(1 + -2)) = ((𝑍↑1) · (𝑍↑-2)))
115	19, 25, 112, 113, 114	mp4an 694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍↑(1 + -2)) = ((𝑍↑1) · (𝑍↑-2))
116		expn1 14022	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ ℂ → (𝑍↑-1) = (1 / 𝑍))
117	19, 116	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍↑-1) = (1 / 𝑍)
118	111, 115, 117	3eqtr3i 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍↑1) · (𝑍↑-2)) = (1 / 𝑍)
119		exp1 14018	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ ℂ → (𝑍↑1) = 𝑍)
120	19, 119	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍↑1) = 𝑍
121		expnegz 14047	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0 ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑍↑-2) = (1 / (𝑍↑2)))
122	19, 25, 70, 121	mp3an 1464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍↑-2) = (1 / (𝑍↑2))
123	19, 25	sqrecii 14134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / 𝑍)↑2) = (1 / (𝑍↑2))
124	122, 123	eqtr4i 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍↑-2) = ((1 / 𝑍)↑2)
125	120, 124	oveq12i 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍↑1) · (𝑍↑-2)) = (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))
126	118, 125	eqtr3i 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 𝑍) = (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))
127	105, 126	oveq12i 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 + (1 / 𝑍)) = (((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)) + (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2)))
128	1, 127	eqtri 2758	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)) + (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2)))
129	128	oveq2i 7367	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 𝐴) = (3 · (((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)) + (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))))
130	103, 26	mulcli 11141	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)) ∈ ℂ
131	26	sqcli 14132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 𝑍)↑2) ∈ ℂ
132	19, 131	mulcli 11141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2)) ∈ ℂ
133	9, 130, 132	adddii 11146	. . . . . . 7 ⊢ (3 · (((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)) + (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2)))) = ((3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍))) + (3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))))
134	129, 133	eqtri 2758	. . . . . 6 ⊢ (3 · 𝐴) = ((3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍))) + (3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))))
135	100, 134	oveq12i 7368	. . . . 5 ⊢ (-1 + (3 · 𝐴)) = (((𝑍↑3) + ((1 / 𝑍)↑3)) + ((3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍))) + (3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2)))))
136	15	negcli 11451	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
137	9, 28	mulcli 11141	. . . . . 6 ⊢ (3 · 𝐴) ∈ ℂ
138	136, 137	addcomi 11326	. . . . 5 ⊢ (-1 + (3 · 𝐴)) = ((3 · 𝐴) + -1)
139		expcl 14030	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 𝑍) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → ((1 / 𝑍)↑3) ∈ ℂ)
140	26, 29, 139	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝑍)↑3) ∈ ℂ
141	9, 130	mulcli 11141	. . . . . 6 ⊢ (3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍))) ∈ ℂ
142	9, 132	mulcli 11141	. . . . . 6 ⊢ (3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))) ∈ ℂ
143	50, 140, 141, 142	add42i 11361	. . . . 5 ⊢ (((𝑍↑3) + ((1 / 𝑍)↑3)) + ((3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍))) + (3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))))) = (((𝑍↑3) + (3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)))) + ((3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))) + ((1 / 𝑍)↑3)))
144	135, 138, 143	3eqtr3i 2766	. . . 4 ⊢ ((3 · 𝐴) + -1) = (((𝑍↑3) + (3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)))) + ((3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))) + ((1 / 𝑍)↑3)))
145	39, 45, 144	3eqtri 2762	. . 3 ⊢ -((-3 · 𝐴) + 1) = (((𝑍↑3) + (3 · ((𝑍↑2) · (1 / 𝑍)))) + ((3 · (𝑍 · ((1 / 𝑍)↑2))) + ((1 / 𝑍)↑3)))
146	37, 38, 145	3eqtr4i 2768	. 2 ⊢ (𝐴↑3) = -((-3 · 𝐴) + 1)
147		addeq0 11562	. . 3 ⊢ (((𝐴↑3) ∈ ℂ ∧ ((-3 · 𝐴) + 1) ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) + ((-3 · 𝐴) + 1)) = 0 ↔ (𝐴↑3) = -((-3 · 𝐴) + 1)))
148	147	biimpar 477	. 2 ⊢ ((((𝐴↑3) ∈ ℂ ∧ ((-3 · 𝐴) + 1) ∈ ℂ) ∧ (𝐴↑3) = -((-3 · 𝐴) + 1)) → ((𝐴↑3) + ((-3 · 𝐴) + 1)) = 0)
149	35, 146, 148	mp2an 693	1 ⊢ ((𝐴↑3) + ((-3 · 𝐴) + 1)) = 0

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2930 ‘cfv 6487 (class class class)co 7356 ℂcc 11025 0cc0 11027 1c1 11028 ici 11029 + caddc 11030 · cmul 11032 − cmin 11366 -cneg 11367 / cdiv 11796 ℕcn 12163 2c2 12225 3c3 12226 6c6 12229 ℕ₀cn0 12426 ℤcz 12513 ↑cexp 14012 expce 16015 πcpi 16020 ↑_𝑐ccxp 26507

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2184 ax-ext 2707 ax-rep 5201 ax-sep 5220 ax-nul 5230 ax-pow 5296 ax-pr 5364 ax-un 7678 ax-inf2 9551 ax-cnex 11083 ax-resscn 11084 ax-1cn 11085 ax-icn 11086 ax-addcl 11087 ax-addrcl 11088 ax-mulcl 11089 ax-mulrcl 11090 ax-mulcom 11091 ax-addass 11092 ax-mulass 11093 ax-distr 11094 ax-i2m1 11095 ax-1ne0 11096 ax-1rid 11097 ax-rnegex 11098 ax-rrecex 11099 ax-cnre 11100 ax-pre-lttri 11101 ax-pre-lttrn 11102 ax-pre-ltadd 11103 ax-pre-mulgt0 11104 ax-pre-sup 11105 ax-addf 11106

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2538 df-eu 2568 df-clab 2714 df-cleq 2727 df-clel 2810 df-nfc 2884 df-ne 2931 df-nel 3035 df-ral 3050 df-rex 3060 df-rmo 3340 df-reu 3341 df-rab 3388 df-v 3429 df-sbc 3726 df-csb 3834 df-dif 3888 df-un 3890 df-in 3892 df-ss 3902 df-pss 3905 df-nul 4264 df-if 4457 df-pw 4533 df-sn 4558 df-pr 4560 df-tp 4562 df-op 4564 df-uni 4841 df-int 4880 df-iun 4925 df-iin 4926 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5156 df-tr 5182 df-id 5515 df-eprel 5520 df-po 5528 df-so 5529 df-fr 5573 df-se 5574 df-we 5575 df-xp 5626 df-rel 5627 df-cnv 5628 df-co 5629 df-dm 5630 df-rn 5631 df-res 5632 df-ima 5633 df-pred 6254 df-ord 6315 df-on 6316 df-lim 6317 df-suc 6318 df-iota 6443 df-fun 6489 df-fn 6490 df-f 6491 df-f1 6492 df-fo 6493 df-f1o 6494 df-fv 6495 df-isom 6496 df-riota 7313 df-ov 7359 df-oprab 7360 df-mpo 7361 df-of 7620 df-om 7807 df-1st 7931 df-2nd 7932 df-supp 8100 df-frecs 8220 df-wrecs 8251 df-recs 8300 df-rdg 8338 df-1o 8394 df-2o 8395 df-er 8632 df-map 8764 df-pm 8765 df-ixp 8835 df-en 8883 df-dom 8884 df-sdom 8885 df-fin 8886 df-fsupp 9264 df-fi 9313 df-sup 9344 df-inf 9345 df-oi 9414 df-card 9852 df-pnf 11170 df-mnf 11171 df-xr 11172 df-ltxr 11173 df-le 11174 df-sub 11368 df-neg 11369 df-div 11797 df-nn 12164 df-2 12233 df-3 12234 df-4 12235 df-5 12236 df-6 12237 df-7 12238 df-8 12239 df-9 12240 df-n0 12427 df-z 12514 df-dec 12634 df-uz 12778 df-q 12888 df-rp 12932 df-xneg 13052 df-xadd 13053 df-xmul 13054 df-ioo 13291 df-ioc 13292 df-ico 13293 df-icc 13294 df-fz 13451 df-fzo 13598 df-fl 13740 df-mod 13818 df-seq 13953 df-exp 14013 df-fac 14225 df-bc 14254 df-hash 14282 df-shft 15018 df-cj 15050 df-re 15051 df-im 15052 df-sqrt 15186 df-abs 15187 df-limsup 15422 df-clim 15439 df-rlim 15440 df-sum 15638 df-ef 16021 df-sin 16023 df-cos 16024 df-pi 16026 df-struct 17106 df-sets 17123 df-slot 17141 df-ndx 17153 df-base 17169 df-ress 17190 df-plusg 17222 df-mulr 17223 df-starv 17224 df-sca 17225 df-vsca 17226 df-ip 17227 df-tset 17228 df-ple 17229 df-ds 17231 df-unif 17232 df-hom 17233 df-cco 17234 df-rest 17374 df-topn 17375 df-0g 17393 df-gsum 17394 df-topgen 17395 df-pt 17396 df-prds 17399 df-xrs 17455 df-qtop 17460 df-imas 17461 df-xps 17463 df-mre 17537 df-mrc 17538 df-acs 17540 df-mgm 18597 df-sgrp 18676 df-mnd 18692 df-submnd 18741 df-mulg 19033 df-cntz 19281 df-cmn 19746 df-psmet 21333 df-xmet 21334 df-met 21335 df-bl 21336 df-mopn 21337 df-fbas 21338 df-fg 21339 df-cnfld 21342 df-top 22847 df-topon 22864 df-topsp 22886 df-bases 22899 df-cld 22972 df-ntr 22973 df-cls 22974 df-nei 23051 df-lp 23089 df-perf 23090 df-cn 23180 df-cnp 23181 df-haus 23268 df-tx 23515 df-hmeo 23708 df-fil 23799 df-fm 23891 df-flim 23892 df-flf 23893 df-xms 24273 df-ms 24274 df-tms 24275 df-cncf 24833 df-limc 25821 df-dv 25822 df-log 26508 df-cxp 26509

This theorem is referenced by: cos9thpiminply 33920

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