MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pncan1 11053
Description: Cancellation law for addition and subtraction with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
pncan1 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan1
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 1cnd 10625 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
31, 2pncand 10987 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2114  (class class class)co 7140  cc 10524  1c1 10527   + caddc 10529  cmin 10859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861
This theorem is referenced by:  nn0split  13017  nn0disj  13018  elfzom1elp1fzo1  13132  sqoddm1div8  13600  wrdlenccats1lenm1  13967  ccats1pfxeq  14067  ltoddhalfle  15701  pwp1fsum  15731  flodddiv4  15753  prmop1  16363  cayhamlem1  21469  2lgslem1c  25975  2lgslem3a  25978  wlklenvm1  27409  wwlknp  27627  wwlknlsw  27631  0enwwlksnge1  27648  wlkiswwlks1  27651  wspthsnwspthsnon  27700  wspthsnonn0vne  27701  elwspths2spth  27751  wwlksext2clwwlk  27840  numclwwlk2lem1lem  28125  numclwlk2lem2f  28160  poimirlem4  35019  poimirlem10  35025  poimirlem19  35034  poimirlem28  35043  sumnnodd  42211  iccpartgtprec  43876  fmtnom1nn  43988  fmtnorec1  43993  sfprmdvdsmersenne  44060  proththdlem  44070  41prothprmlem1  44074  dfodd6  44094  evenp1odd  44097  perfectALTVlem1  44178  altgsumbcALT  44694  fllog2  44921  nnpw2blen  44933  dig2nn1st  44958  nn0sumshdiglemA  44972  nn0sumshdiglemB  44973  aacllem  45268
  Copyright terms: Public domain W3C validator