Theorem pncan1 11574

Description: Cancellation law for addition and subtraction with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pncan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11139	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	pncand 11506	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379

This theorem is referenced by:  nn0split  13597  nn0disj  13598  elfzom1elp1fzo1  13722  sqoddm1div8  14205  wrdlenccats1lenm1  14585  ccats1pfxeq  14676  ltoddhalfle  16330  pwp1fsum  16360  flodddiv4  16384  prmop1  17009  psdpw  22136  cayhamlem1  22831  2lgslem1c  27356  2lgslem3a  27359  wlklenvm1  29690  wwlknp  29911  wwlknlsw  29915  0enwwlksnge1  29932  wlkiswwlks1  29935  wspthsnwspthsnon  29984  wspthsnonn0vne  29985  elwspths2spth  30038  wwlksext2clwwlk  30127  numclwwlk2lem1lem  30412  numclwlk2lem2f  30447  poimirlem4  37945  poimirlem10  37951  poimirlem19  37960  poimirlem28  37969  sumnnodd  46060  iccpartgtprec  47880  fmtnom1nn  47995  fmtnorec1  48000  sfprmdvdsmersenne  48066  proththdlem  48076  41prothprmlem1  48080  ppivalnnprm  48088  dfodd6  48113  evenp1odd  48116  perfectALTVlem1  48197  isubgr3stgrlem2  48443  gpgvtxedg0  48539  altgsumbcALT  48829  fllog2  49044  nnpw2blen  49056  dig2nn1st  49081  nn0sumshdiglemA  49095  nn0sumshdiglemB  49096  aacllem  50276