Theorem pncan1 11565

Description: Cancellation law for addition and subtraction with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pncan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11130	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	pncand 11497	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  1c1 11030   + caddc 11032   − cmin 11368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370

This theorem is referenced by:  nn0split  13588  nn0disj  13589  elfzom1elp1fzo1  13713  sqoddm1div8  14196  wrdlenccats1lenm1  14576  ccats1pfxeq  14667  ltoddhalfle  16321  pwp1fsum  16351  flodddiv4  16375  prmop1  17000  psdpw  22158  cayhamlem1  22849  2lgslem1c  27374  2lgslem3a  27377  wlklenvm1  29708  wwlknp  29929  wwlknlsw  29933  0enwwlksnge1  29950  wlkiswwlks1  29953  wspthsnwspthsnon  30002  wspthsnonn0vne  30003  elwspths2spth  30056  wwlksext2clwwlk  30145  numclwwlk2lem1lem  30430  numclwlk2lem2f  30465  poimirlem4  37991  poimirlem10  37997  poimirlem19  38006  poimirlem28  38015  sumnnodd  46075  iccpartgtprec  47895  fmtnom1nn  48010  fmtnorec1  48015  sfprmdvdsmersenne  48081  proththdlem  48091  41prothprmlem1  48095  ppivalnnprm  48103  dfodd6  48128  evenp1odd  48131  perfectALTVlem1  48212  isubgr3stgrlem2  48458  gpgvtxedg0  48554  altgsumbcALT  48844  fllog2  49059  nnpw2blen  49071  dig2nn1st  49096  nn0sumshdiglemA  49110  nn0sumshdiglemB  49111  aacllem  50291