Theorem pncan1 11779

Description: Cancellation law for addition and subtraction with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pncan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11341	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	pncand 11709	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  1c1 11240   + caddc 11242   − cmin 11580

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387  df-sub 11582

This theorem is used by:  nn0split  13817  nn0disj  13818  elfzom1elp1fzo1  13942  sqoddm1div8  14428  wrdlenccats1lenm1  14812  ccats1pfxeq  14905  ltoddhalfle  16575  pwp1fsum  16605  flodddiv4  16629  prmop1  17260  psdpw  22546  cayhamlem1  23239  2lgslem1c  27777  2lgslem3a  27780  wlklenvm1  30259  wwlknp  30489  wwlknlsw  30493  0enwwlksnge1  30510  wlkiswwlks1  30513  wspthsnwspthsnon  30562  wspthsnonn0vne  30563  elwspths2spth  30616  wwlksext2clwwlk  30705  numclwwlk2lem1lem  31000  numclwlk2lem2f  31035  poimirlem4  38810  poimirlem10  38816  poimirlem19  38825  poimirlem28  38834  sumnnodd  46915  iccpartgtprec  48775  fmtnom1nn  48890  fmtnorec1  48895  sfprmdvdsmersenne  48961  proththdlem  48971  41prothprmlem1  48975  ppivalnnprm  48983  dfodd6  49008  evenp1odd  49011  perfectALTVlem1  49092  isubgr3stgrlem2  49338  gpgvtxedg0  49434  altgsumbcALT  49796  fllog2  50011  nnpw2blen  50023  dig2nn1st  50048  nn0sumshdiglemA  50062  nn0sumshdiglemB  50063  aacllem  51367