Theorem pncan1 11551

Description: Cancellation law for addition and subtraction with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pncan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11117	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	pncand 11483	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7355  ℂcc 11014  1c1 11017   + caddc 11019   − cmin 11354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-ltxr 11161  df-sub 11356

This theorem is referenced by:  nn0split  13553  nn0disj  13554  elfzom1elp1fzo1  13677  sqoddm1div8  14160  wrdlenccats1lenm1  14540  ccats1pfxeq  14631  ltoddhalfle  16282  pwp1fsum  16312  flodddiv4  16336  prmop1  16960  psdpw  22095  cayhamlem1  22791  2lgslem1c  27341  2lgslem3a  27344  wlklenvm1  29611  wwlknp  29832  wwlknlsw  29836  0enwwlksnge1  29853  wlkiswwlks1  29856  wspthsnwspthsnon  29905  wspthsnonn0vne  29906  elwspths2spth  29959  wwlksext2clwwlk  30048  numclwwlk2lem1lem  30333  numclwlk2lem2f  30368  poimirlem4  37674  poimirlem10  37680  poimirlem19  37689  poimirlem28  37698  sumnnodd  45744  iccpartgtprec  47534  fmtnom1nn  47646  fmtnorec1  47651  sfprmdvdsmersenne  47717  proththdlem  47727  41prothprmlem1  47731  dfodd6  47751  evenp1odd  47754  perfectALTVlem1  47835  isubgr3stgrlem2  48081  gpgvtxedg0  48177  altgsumbcALT  48467  fllog2  48683  nnpw2blen  48695  dig2nn1st  48720  nn0sumshdiglemA  48734  nn0sumshdiglemB  48735  aacllem  49916