Theorem pncan1 11565

Description: Cancellation law for addition and subtraction with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pncan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11130	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	pncand 11497	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  1c1 11030   + caddc 11032   − cmin 11368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370

This theorem is referenced by:  nn0split  13588  nn0disj  13589  elfzom1elp1fzo1  13713  sqoddm1div8  14196  wrdlenccats1lenm1  14576  ccats1pfxeq  14667  ltoddhalfle  16321  pwp1fsum  16351  flodddiv4  16375  prmop1  17000  psdpw  22146  cayhamlem1  22841  2lgslem1c  27370  2lgslem3a  27373  wlklenvm1  29705  wwlknp  29926  wwlknlsw  29930  0enwwlksnge1  29947  wlkiswwlks1  29950  wspthsnwspthsnon  29999  wspthsnonn0vne  30000  elwspths2spth  30053  wwlksext2clwwlk  30142  numclwwlk2lem1lem  30427  numclwlk2lem2f  30462  poimirlem4  37959  poimirlem10  37965  poimirlem19  37974  poimirlem28  37983  sumnnodd  46078  iccpartgtprec  47892  fmtnom1nn  48007  fmtnorec1  48012  sfprmdvdsmersenne  48078  proththdlem  48088  41prothprmlem1  48092  ppivalnnprm  48100  dfodd6  48125  evenp1odd  48128  perfectALTVlem1  48209  isubgr3stgrlem2  48455  gpgvtxedg0  48551  altgsumbcALT  48841  fllog2  49056  nnpw2blen  49068  dig2nn1st  49093  nn0sumshdiglemA  49107  nn0sumshdiglemB  49108  aacllem  50288