Theorem pncan1 11633

Description: Cancellation law for addition and subtraction with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pncan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11197	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	pncand 11565	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  1c1 11096   + caddc 11098   − cmin 11436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-sub 11438

This theorem is referenced by:  nn0split  13667  nn0disj  13668  elfzom1elp1fzo1  13792  sqoddm1div8  14275  wrdlenccats1lenm1  14656  ccats1pfxeq  14747  ltoddhalfle  16414  pwp1fsum  16444  flodddiv4  16468  prmop1  17093  psdpw  22333  cayhamlem1  23023  2lgslem1c  27557  2lgslem3a  27560  wlklenvm1  29971  wwlknp  30192  wwlknlsw  30196  0enwwlksnge1  30213  wlkiswwlks1  30216  wspthsnwspthsnon  30265  wspthsnonn0vne  30266  elwspths2spth  30319  wwlksext2clwwlk  30408  numclwwlk2lem1lem  30693  numclwlk2lem2f  30728  poimirlem4  38275  poimirlem10  38281  poimirlem19  38290  poimirlem28  38299  sumnnodd  46346  iccpartgtprec  48169  fmtnom1nn  48284  fmtnorec1  48289  sfprmdvdsmersenne  48355  proththdlem  48365  41prothprmlem1  48369  ppivalnnprm  48377  dfodd6  48402  evenp1odd  48405  perfectALTVlem1  48486  isubgr3stgrlem2  48732  gpgvtxedg0  48828  altgsumbcALT  49133  fllog2  49348  nnpw2blen  49360  dig2nn1st  49385  nn0sumshdiglemA  49399  nn0sumshdiglemB  49400  aacllem  50621