Theorem pncan1 10799

Description: Cancellation law for addition and subtraction with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pncan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 10371	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	pncand 10735	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  1c1 10273   + caddc 10275   − cmin 10606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-ltxr 10416  df-sub 10608

This theorem is referenced by:  nn0split  12773  nn0disj  12774  elfzom1elp1fzo1  12887  sqoddm1div8  13349  wrdlenccats1lenm1  13712  ccats1pfxeq  13831  ccats1swrdeqOLD  13832  ltoddhalfle  15489  pwp1fsum  15521  flodddiv4  15543  prmop1  16146  cayhamlem1  21078  2lgslem1c  25570  2lgslem3a  25573  2lgslem3c  25575  2lgslem3d  25576  wlklenvm1  26969  wwlknp  27192  wwlknlsw  27196  0enwwlksnge1  27213  wlkiswwlks1  27216  wspthsnwspthsnon  27296  wspthsnonn0vne  27297  elwspths2spth  27347  wwlksext2clwwlk  27454  numclwwlk2lem1lem  27750  numclwlk2lem2f  27805  numclwlk2lem2fOLD  27808  poimirlem4  34041  poimirlem10  34047  poimirlem19  34056  poimirlem28  34065  sumnnodd  40774  iccpartgtprec  42392  fmtnom1nn  42469  fmtnorec1  42474  sfprmdvdsmersenne  42545  proththdlem  42555  41prothprmlem1  42559  dfodd6  42579  evenp1odd  42582  perfectALTVlem1  42659  altgsumbcALT  43150  fllog2  43381  nnpw2blen  43393  dig2nn1st  43418  nn0sumshdiglemA  43432  nn0sumshdiglemB  43433  aacllem  43657