Theorem pncan1 11634

Description: Cancellation law for addition and subtraction with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pncan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11198	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	pncand 11566	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  1c1 11097   + caddc 11099   − cmin 11437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-ltxr 11244  df-sub 11439

This theorem is referenced by:  nn0split  13667  nn0disj  13668  elfzom1elp1fzo1  13792  sqoddm1div8  14275  wrdlenccats1lenm1  14656  ccats1pfxeq  14747  ltoddhalfle  16415  pwp1fsum  16445  flodddiv4  16469  prmop1  17094  psdpw  22298  cayhamlem1  22988  2lgslem1c  27519  2lgslem3a  27522  wlklenvm1  29908  wwlknp  30129  wwlknlsw  30133  0enwwlksnge1  30150  wlkiswwlks1  30153  wspthsnwspthsnon  30202  wspthsnonn0vne  30203  elwspths2spth  30256  wwlksext2clwwlk  30345  numclwwlk2lem1lem  30630  numclwlk2lem2f  30665  poimirlem4  38158  poimirlem10  38164  poimirlem19  38173  poimirlem28  38182  sumnnodd  46233  iccpartgtprec  48053  fmtnom1nn  48168  fmtnorec1  48173  sfprmdvdsmersenne  48239  proththdlem  48249  41prothprmlem1  48253  ppivalnnprm  48261  dfodd6  48286  evenp1odd  48289  perfectALTVlem1  48370  isubgr3stgrlem2  48616  gpgvtxedg0  48712  altgsumbcALT  49013  fllog2  49228  nnpw2blen  49240  dig2nn1st  49265  nn0sumshdiglemA  49279  nn0sumshdiglemB  49280  aacllem  50470