Theorem pncan1 10779

Description: Cancellation law for addition and subtraction with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pncan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 10352	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	pncand 10715	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  (class class class)co 6906  ℂcc 10251  1c1 10254   + caddc 10256   − cmin 10586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-id 5251  df-po 5264  df-so 5265  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-ltxr 10397  df-sub 10588

This theorem is referenced by:  nn0split  12750  nn0disj  12751  elfzom1elp1fzo1  12864  sqoddm1div8  13325  wrdlenccats1lenm1  13683  ccats1pfxeq  13802  ccats1swrdeqOLD  13803  ltoddhalfle  15460  pwp1fsum  15489  flodddiv4  15511  prmop1  16114  cayhamlem1  21042  2lgslem1c  25532  2lgslem3a  25535  2lgslem3c  25537  2lgslem3d  25538  wlklenvm1  26920  wwlknp  27143  wwlknlsw  27147  0enwwlksnge1  27164  wlkiswwlks1  27167  wspthsnwspthsnon  27246  wspthsnonn0vne  27247  elwspths2spth  27297  wwlksext2clwwlk  27410  numclwwlk2lem1lem  27724  numclwlk2lem2f  27781  numclwlk2lem2fOLD  27784  numclwlk2lem2fOLDOLD  27792  poimirlem4  33958  poimirlem10  33964  poimirlem19  33973  poimirlem28  33982  sumnnodd  40658  iccpartgtprec  42245  fmtnom1nn  42275  fmtnorec1  42280  sfprmdvdsmersenne  42351  proththdlem  42361  41prothprmlem1  42365  dfodd6  42381  evenp1odd  42384  perfectALTVlem1  42461  altgsumbcALT  42979  fllog2  43210  nnpw2blen  43222  dig2nn1st  43247  nn0sumshdiglemA  43261  nn0sumshdiglemB  43262  aacllem  43444