Theorem pncan1 11563

Description: Cancellation law for addition and subtraction with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pncan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11129	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	pncand 11495	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  1c1 11029   + caddc 11031   − cmin 11366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11368

This theorem is referenced by:  nn0split  13565  nn0disj  13566  elfzom1elp1fzo1  13689  sqoddm1div8  14169  wrdlenccats1lenm1  14548  ccats1pfxeq  14639  ltoddhalfle  16291  pwp1fsum  16321  flodddiv4  16345  prmop1  16969  psdpw  22074  cayhamlem1  22770  2lgslem1c  27321  2lgslem3a  27324  wlklenvm1  29586  wwlknp  29807  wwlknlsw  29811  0enwwlksnge1  29828  wlkiswwlks1  29831  wspthsnwspthsnon  29880  wspthsnonn0vne  29881  elwspths2spth  29931  wwlksext2clwwlk  30020  numclwwlk2lem1lem  30305  numclwlk2lem2f  30340  poimirlem4  37623  poimirlem10  37629  poimirlem19  37638  poimirlem28  37647  sumnnodd  45631  iccpartgtprec  47424  fmtnom1nn  47536  fmtnorec1  47541  sfprmdvdsmersenne  47607  proththdlem  47617  41prothprmlem1  47621  dfodd6  47641  evenp1odd  47644  perfectALTVlem1  47725  isubgr3stgrlem2  47971  gpgvtxedg0  48067  altgsumbcALT  48357  fllog2  48573  nnpw2blen  48585  dig2nn1st  48610  nn0sumshdiglemA  48624  nn0sumshdiglemB  48625  aacllem  49806