Theorem pncan1 11536

Description: Cancellation law for addition and subtraction with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pncan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11102	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	pncand 11468	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  1c1 11002   + caddc 11004   − cmin 11339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-ltxr 11146  df-sub 11341

This theorem is referenced by:  nn0split  13538  nn0disj  13539  elfzom1elp1fzo1  13662  sqoddm1div8  14145  wrdlenccats1lenm1  14525  ccats1pfxeq  14616  ltoddhalfle  16267  pwp1fsum  16297  flodddiv4  16321  prmop1  16945  psdpw  22080  cayhamlem1  22776  2lgslem1c  27326  2lgslem3a  27329  wlklenvm1  29595  wwlknp  29816  wwlknlsw  29820  0enwwlksnge1  29837  wlkiswwlks1  29840  wspthsnwspthsnon  29889  wspthsnonn0vne  29890  elwspths2spth  29940  wwlksext2clwwlk  30029  numclwwlk2lem1lem  30314  numclwlk2lem2f  30349  poimirlem4  37664  poimirlem10  37670  poimirlem19  37679  poimirlem28  37688  sumnnodd  45670  iccpartgtprec  47451  fmtnom1nn  47563  fmtnorec1  47568  sfprmdvdsmersenne  47634  proththdlem  47644  41prothprmlem1  47648  dfodd6  47668  evenp1odd  47671  perfectALTVlem1  47752  isubgr3stgrlem2  47998  gpgvtxedg0  48094  altgsumbcALT  48384  fllog2  48600  nnpw2blen  48612  dig2nn1st  48637  nn0sumshdiglemA  48651  nn0sumshdiglemB  48652  aacllem  49833