Theorem pncan1 11578

Description: Cancellation law for addition and subtraction with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pncan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11145	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	pncand 11510	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  1c1 11045   + caddc 11047   − cmin 11381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-sub 11383

This theorem is referenced by:  nn0split  13580  nn0disj  13581  elfzom1elp1fzo1  13704  sqoddm1div8  14184  wrdlenccats1lenm1  14563  ccats1pfxeq  14655  ltoddhalfle  16307  pwp1fsum  16337  flodddiv4  16361  prmop1  16985  psdpw  22033  cayhamlem1  22729  2lgslem1c  27280  2lgslem3a  27283  wlklenvm1  29525  wwlknp  29746  wwlknlsw  29750  0enwwlksnge1  29767  wlkiswwlks1  29770  wspthsnwspthsnon  29819  wspthsnonn0vne  29820  elwspths2spth  29870  wwlksext2clwwlk  29959  numclwwlk2lem1lem  30244  numclwlk2lem2f  30279  poimirlem4  37591  poimirlem10  37597  poimirlem19  37606  poimirlem28  37615  sumnnodd  45601  iccpartgtprec  47394  fmtnom1nn  47506  fmtnorec1  47511  sfprmdvdsmersenne  47577  proththdlem  47587  41prothprmlem1  47591  dfodd6  47611  evenp1odd  47614  perfectALTVlem1  47695  isubgr3stgrlem2  47939  gpgvtxedg0  48027  altgsumbcALT  48314  fllog2  48530  nnpw2blen  48542  dig2nn1st  48567  nn0sumshdiglemA  48581  nn0sumshdiglemB  48582  aacllem  49763