MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pncan1 11580
Description: Cancellation law for addition and subtraction with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
pncan1 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan1
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 1cnd 11151 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
31, 2pncand 11514 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7358  cc 11050  1c1 11053   + caddc 11055  cmin 11386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195  df-sub 11388
This theorem is referenced by:  nn0split  13557  nn0disj  13558  elfzom1elp1fzo1  13673  sqoddm1div8  14147  wrdlenccats1lenm1  14511  ccats1pfxeq  14603  ltoddhalfle  16244  pwp1fsum  16274  flodddiv4  16296  prmop1  16911  cayhamlem1  22218  2lgslem1c  26744  2lgslem3a  26747  wlklenvm1  28573  wwlknp  28791  wwlknlsw  28795  0enwwlksnge1  28812  wlkiswwlks1  28815  wspthsnwspthsnon  28864  wspthsnonn0vne  28865  elwspths2spth  28915  wwlksext2clwwlk  29004  numclwwlk2lem1lem  29289  numclwlk2lem2f  29324  poimirlem4  36085  poimirlem10  36091  poimirlem19  36100  poimirlem28  36109  sumnnodd  43878  iccpartgtprec  45619  fmtnom1nn  45731  fmtnorec1  45736  sfprmdvdsmersenne  45802  proththdlem  45812  41prothprmlem1  45816  dfodd6  45836  evenp1odd  45839  perfectALTVlem1  45920  altgsumbcALT  46436  fllog2  46661  nnpw2blen  46673  dig2nn1st  46698  nn0sumshdiglemA  46712  nn0sumshdiglemB  46713  aacllem  47255
  Copyright terms: Public domain W3C validator