Theorem pncan1 11733

Description: Cancellation law for addition and subtraction with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pncan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11295	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	pncand 11663	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  1c1 11194   + caddc 11196   − cmin 11534

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-ltxr 11341  df-sub 11536

This theorem is used by:  nn0split  13770  nn0disj  13771  elfzom1elp1fzo1  13895  sqoddm1div8  14380  wrdlenccats1lenm1  14763  ccats1pfxeq  14856  ltoddhalfle  16524  pwp1fsum  16554  flodddiv4  16578  prmop1  17209  psdpw  22484  cayhamlem1  23177  2lgslem1c  27713  2lgslem3a  27716  wlklenvm1  30195  wwlknp  30425  wwlknlsw  30429  0enwwlksnge1  30446  wlkiswwlks1  30449  wspthsnwspthsnon  30498  wspthsnonn0vne  30499  elwspths2spth  30552  wwlksext2clwwlk  30641  numclwwlk2lem1lem  30936  numclwlk2lem2f  30971  poimirlem4  38522  poimirlem10  38528  poimirlem19  38537  poimirlem28  38546  sumnnodd  46611  iccpartgtprec  48471  fmtnom1nn  48586  fmtnorec1  48591  sfprmdvdsmersenne  48657  proththdlem  48667  41prothprmlem1  48671  ppivalnnprm  48679  dfodd6  48704  evenp1odd  48707  perfectALTVlem1  48788  isubgr3stgrlem2  49034  gpgvtxedg0  49130  altgsumbcALT  49434  fllog2  49649  nnpw2blen  49661  dig2nn1st  49686  nn0sumshdiglemA  49700  nn0sumshdiglemB  49701  aacllem  50908