Theorem pncan1 11500

Description: Cancellation law for addition and subtraction with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pncan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11071	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	pncand 11434	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7337  ℂcc 10970  1c1 10973   + caddc 10975   − cmin 11306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-ltxr 11115  df-sub 11308

This theorem is referenced by:  nn0split  13472  nn0disj  13473  elfzom1elp1fzo1  13588  sqoddm1div8  14059  wrdlenccats1lenm1  14426  ccats1pfxeq  14525  ltoddhalfle  16169  pwp1fsum  16199  flodddiv4  16221  prmop1  16836  cayhamlem1  22121  2lgslem1c  26647  2lgslem3a  26650  wlklenvm1  28278  wwlknp  28496  wwlknlsw  28500  0enwwlksnge1  28517  wlkiswwlks1  28520  wspthsnwspthsnon  28569  wspthsnonn0vne  28570  elwspths2spth  28620  wwlksext2clwwlk  28709  numclwwlk2lem1lem  28994  numclwlk2lem2f  29029  poimirlem4  35894  poimirlem10  35900  poimirlem19  35909  poimirlem28  35918  sumnnodd  43515  iccpartgtprec  45231  fmtnom1nn  45343  fmtnorec1  45348  sfprmdvdsmersenne  45414  proththdlem  45424  41prothprmlem1  45428  dfodd6  45448  evenp1odd  45451  perfectALTVlem1  45532  altgsumbcALT  46048  fllog2  46273  nnpw2blen  46285  dig2nn1st  46310  nn0sumshdiglemA  46324  nn0sumshdiglemB  46325  aacllem  46864