Theorem pncan1 11649

Description: Cancellation law for addition and subtraction with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pncan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11213	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	pncand 11581	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  1c1 11112   + caddc 11114   − cmin 11452

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-ltxr 11259  df-sub 11454

This theorem is used by:  nn0split  13684  nn0disj  13685  elfzom1elp1fzo1  13809  sqoddm1div8  14293  wrdlenccats1lenm1  14676  ccats1pfxeq  14769  ltoddhalfle  16437  pwp1fsum  16467  flodddiv4  16491  prmop1  17116  psdpw  22363  cayhamlem1  23053  2lgslem1c  27588  2lgslem3a  27591  wlklenvm1  30005  wwlknp  30235  wwlknlsw  30239  0enwwlksnge1  30256  wlkiswwlks1  30259  wspthsnwspthsnon  30308  wspthsnonn0vne  30309  elwspths2spth  30362  wwlksext2clwwlk  30451  numclwwlk2lem1lem  30740  numclwlk2lem2f  30775  poimirlem4  38308  poimirlem10  38314  poimirlem19  38323  poimirlem28  38332  sumnnodd  46379  iccpartgtprec  48202  fmtnom1nn  48317  fmtnorec1  48322  sfprmdvdsmersenne  48388  proththdlem  48398  41prothprmlem1  48402  ppivalnnprm  48410  dfodd6  48435  evenp1odd  48438  perfectALTVlem1  48519  isubgr3stgrlem2  48765  gpgvtxedg0  48861  altgsumbcALT  49166  fllog2  49381  nnpw2blen  49393  dig2nn1st  49418  nn0sumshdiglemA  49432  nn0sumshdiglemB  49433  aacllem  50654