Theorem pncan1 11609

Description: Cancellation law for addition and subtraction with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pncan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11176	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	pncand 11541	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  1c1 11076   + caddc 11078   − cmin 11412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414

This theorem is referenced by:  nn0split  13611  nn0disj  13612  elfzom1elp1fzo1  13735  sqoddm1div8  14215  wrdlenccats1lenm1  14594  ccats1pfxeq  14686  ltoddhalfle  16338  pwp1fsum  16368  flodddiv4  16392  prmop1  17016  psdpw  22064  cayhamlem1  22760  2lgslem1c  27311  2lgslem3a  27314  wlklenvm1  29557  wwlknp  29780  wwlknlsw  29784  0enwwlksnge1  29801  wlkiswwlks1  29804  wspthsnwspthsnon  29853  wspthsnonn0vne  29854  elwspths2spth  29904  wwlksext2clwwlk  29993  numclwwlk2lem1lem  30278  numclwlk2lem2f  30313  poimirlem4  37625  poimirlem10  37631  poimirlem19  37640  poimirlem28  37649  sumnnodd  45635  iccpartgtprec  47425  fmtnom1nn  47537  fmtnorec1  47542  sfprmdvdsmersenne  47608  proththdlem  47618  41prothprmlem1  47622  dfodd6  47642  evenp1odd  47645  perfectALTVlem1  47726  isubgr3stgrlem2  47970  gpgvtxedg0  48058  altgsumbcALT  48345  fllog2  48561  nnpw2blen  48573  dig2nn1st  48598  nn0sumshdiglemA  48612  nn0sumshdiglemB  48613  aacllem  49794