Theorem pncan1 11662

Description: Cancellation law for addition and subtraction with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pncan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11226	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	pncand 11594	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  1c1 11125   + caddc 11127   − cmin 11465

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-sub 11467

This theorem is used by:  nn0split  13698  nn0disj  13699  elfzom1elp1fzo1  13823  sqoddm1div8  14307  wrdlenccats1lenm1  14690  ccats1pfxeq  14783  ltoddhalfle  16451  pwp1fsum  16481  flodddiv4  16505  prmop1  17130  psdpw  22398  cayhamlem1  23091  2lgslem1c  27629  2lgslem3a  27632  wlklenvm1  30081  wwlknp  30311  wwlknlsw  30315  0enwwlksnge1  30332  wlkiswwlks1  30335  wspthsnwspthsnon  30384  wspthsnonn0vne  30385  elwspths2spth  30438  wwlksext2clwwlk  30527  numclwwlk2lem1lem  30822  numclwlk2lem2f  30857  poimirlem4  38373  poimirlem10  38379  poimirlem19  38388  poimirlem28  38397  sumnnodd  46460  iccpartgtprec  48320  fmtnom1nn  48435  fmtnorec1  48440  sfprmdvdsmersenne  48506  proththdlem  48516  41prothprmlem1  48520  ppivalnnprm  48528  dfodd6  48553  evenp1odd  48556  perfectALTVlem1  48637  isubgr3stgrlem2  48883  gpgvtxedg0  48979  altgsumbcALT  49283  fllog2  49498  nnpw2blen  49510  dig2nn1st  49535  nn0sumshdiglemA  49549  nn0sumshdiglemB  49550  aacllem  50772