Theorem pncan1 11605

Description: Cancellation law for addition and subtraction with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pncan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11169	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	pncand 11537	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  1c1 11068   + caddc 11070   − cmin 11408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-ltxr 11215  df-sub 11410

This theorem is referenced by:  nn0split  13642  nn0disj  13643  elfzom1elp1fzo1  13767  sqoddm1div8  14250  wrdlenccats1lenm1  14630  ccats1pfxeq  14721  ltoddhalfle  16386  pwp1fsum  16416  flodddiv4  16440  prmop1  17065  psdpw  22223  cayhamlem1  22914  2lgslem1c  27445  2lgslem3a  27448  wlklenvm1  29779  wwlknp  30000  wwlknlsw  30004  0enwwlksnge1  30021  wlkiswwlks1  30024  wspthsnwspthsnon  30073  wspthsnonn0vne  30074  elwspths2spth  30127  wwlksext2clwwlk  30216  numclwwlk2lem1lem  30501  numclwlk2lem2f  30536  poimirlem4  38084  poimirlem10  38090  poimirlem19  38099  poimirlem28  38108  sumnnodd  46167  iccpartgtprec  47987  fmtnom1nn  48102  fmtnorec1  48107  sfprmdvdsmersenne  48173  proththdlem  48183  41prothprmlem1  48187  ppivalnnprm  48195  dfodd6  48220  evenp1odd  48223  perfectALTVlem1  48304  isubgr3stgrlem2  48550  gpgvtxedg0  48646  altgsumbcALT  48936  fllog2  49151  nnpw2blen  49163  dig2nn1st  49188  nn0sumshdiglemA  49202  nn0sumshdiglemB  49203  aacllem  50383