Theorem constrsqrtcl 33939

Description: Constructible numbers are closed under taking the square root. This is not generally the case for the cubic root operation, see 2sqr3nconstr 33941. Item (5) of Theorem 7.10 of [Stewart] p. 96 (Proposed by Saveliy Skresanov, 3-Nov-2025.) (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
constrabscl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constrsqrtcl	⊢ (𝜑 → (√‘𝑋) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrsqrtcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → (√‘𝑋) = (√‘0))
2		sqrt0 15194	. . . . 5 ⊢ (√‘0) = 0
3	1, 2	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → (√‘𝑋) = 0)
4		0zd 12527	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → 0 ∈ ℤ)
5	4	zconstr 33924	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → 0 ∈ Constr)
6	3, 5	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ (𝑋 = 0 → (√‘𝑋) ∈ Constr)
7	6	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (√‘𝑋) ∈ Constr)
8		constrabscl.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
9	8	constrcn 33920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℂ)
11	10	negnegd 11487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → --𝑋 = 𝑋)
12	11	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘--𝑋) = (√‘𝑋))
13		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → -𝑋 ∈ ℝ+)
14	13	rpred 12977	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → -𝑋 ∈ ℝ)
15	13	rpge0d 12981	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → 0 ≤ -𝑋)
16	14, 15	sqrtnegd 15375	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘--𝑋) = (i · (√‘-𝑋)))
17	12, 16	eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘𝑋) = (i · (√‘-𝑋)))
18		iconstr 33926	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ Constr
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → i ∈ Constr)
20	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ Constr)
21	20	constrnegcl 33923	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → -𝑋 ∈ Constr)
22	21, 14, 15	constrresqrtcl 33937	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘-𝑋) ∈ Constr)
23	19, 22	constrmulcl 33931	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (i · (√‘-𝑋)) ∈ Constr)
24	17, 23	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘𝑋) ∈ Constr)
25	24	adantlr 716	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘𝑋) ∈ Constr)
26	9	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℂ)
27	26	abscld 15392	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
29	28	sqrtcld 15393	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘(abs‘𝑋)) ∈ ℂ)
30	28, 26	addcld 11155	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝑋) + 𝑋) ∈ ℂ)
31	30	abscld 15392	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)) ∈ ℂ)
33	9	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
34	9	abscld 15392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
35	34	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
37		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0)
38		addeq0 11564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((abs‘𝑋) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0 ↔ (abs‘𝑋) = -𝑋))
39	38	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((abs‘𝑋) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → (abs‘𝑋) = -𝑋)
40	36, 33, 37, 39	syl21anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → (abs‘𝑋) = -𝑋)
41	40, 35	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → -𝑋 ∈ ℝ)
42	33, 41	negrebd 11495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → 𝑋 ∈ ℝ)
43		0red 11138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → 0 ∈ ℝ)
44		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → ¬ -𝑋 ∈ ℝ+)
45		negelrp 12968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (-𝑋 ∈ ℝ+ ↔ 𝑋 < 0))
46	45	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (¬ -𝑋 ∈ ℝ+ ↔ ¬ 𝑋 < 0))
47	46	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ¬ 𝑋 < 0)
48	42, 44, 47	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → ¬ 𝑋 < 0)
49	43, 42, 48	nltled 11287	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → 0 ≤ 𝑋)
50	42, 49	absidd 15376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → (abs‘𝑋) = 𝑋)
51	50, 40	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → 𝑋 = -𝑋)
52	33, 51	eqnegad 11868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → 𝑋 = 0)
53	52	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0 → 𝑋 = 0))
54	53	necon3d 2954	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 ≠ 0 → ((abs‘𝑋) + 𝑋) ≠ 0))
55	54	impancom 451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (¬ -𝑋 ∈ ℝ+ → ((abs‘𝑋) + 𝑋) ≠ 0))
56	55	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝑋) + 𝑋) ≠ 0)
57	30, 56	absne0d 15403	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)) ≠ 0)
58	30, 32, 57	divcld 11922	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))) ∈ ℂ)
59	29, 58	mulcld 11156	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)))) ∈ ℂ)
60		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)))) = ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))
61	60	sqreulem 15313	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) ≠ 0) → ((((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))↑2) = 𝑋 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∧ (i · ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∉ ℝ+))
62	26, 56, 61	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))↑2) = 𝑋 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∧ (i · ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∉ ℝ+))
63	62	simp1d 1143	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))↑2) = 𝑋)
64	62	simp2d 1144	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (ℜ‘((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))))
65	62	simp3d 1145	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (i · ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∉ ℝ+)
66		df-nel 3038	. . . . . 6 ⊢ ((i · ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∈ ℝ+)
67	65, 66	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ¬ (i · ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∈ ℝ+)
68	59, 26, 63, 64, 67	eqsqrtd 15321	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)))) = (√‘𝑋))
69	8	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ Constr)
70	69	constrabscl 33938	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (abs‘𝑋) ∈ Constr)
71	26	absge0d 15400	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘𝑋))
72	70, 27, 71	constrresqrtcl 33937	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘(abs‘𝑋)) ∈ Constr)
73	70, 69	constraddcl 33922	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝑋) + 𝑋) ∈ Constr)
74	73, 56	constrdircl 33925	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))) ∈ Constr)
75	72, 74	constrmulcl 33931	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)))) ∈ Constr)
76	68, 75	eqeltrrd 2838	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘𝑋) ∈ Constr)
77	25, 76	pm2.61dan 813	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (√‘𝑋) ∈ Constr)
78	7, 77	pm2.61dane 3020	1 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑋) ∈ Constr)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∉ wnel 3037   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  ici 11031   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171  -cneg 11369   / cdiv 11798  2c2 12227  ℝ⁺crp 12933  ↑cexp 14014  ℜcre 15050  √csqrt 15186  abscabs 15187  Constrcconstr 33889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855  df-limc 25843  df-dv 25844  df-log 26533  df-constr 33890

This theorem is referenced by: (None)