Theorem constrsqrtcl 33742

Description: Constructible numbers are closed under taking the square root. This is not generally the case for the cubic root operation, see 2sqr3nconstr 33744. Item (5) of Theorem 7.10 of [Stewart] p. 96 (Proposed by Saveliy Skresanov, 3-Nov-2025.) (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
constrabscl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constrsqrtcl	⊢ (𝜑 → (√‘𝑋) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrsqrtcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → (√‘𝑋) = (√‘0))
2		sqrt0 15183	. . . . 5 ⊢ (√‘0) = 0
3	1, 2	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → (√‘𝑋) = 0)
4		0zd 12517	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → 0 ∈ ℤ)
5	4	zconstr 33727	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → 0 ∈ Constr)
6	3, 5	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ (𝑋 = 0 → (√‘𝑋) ∈ Constr)
7	6	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (√‘𝑋) ∈ Constr)
8		constrabscl.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
9	8	constrcn 33723	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℂ)
11	10	negnegd 11500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → --𝑋 = 𝑋)
12	11	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘--𝑋) = (√‘𝑋))
13		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → -𝑋 ∈ ℝ+)
14	13	rpred 12971	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → -𝑋 ∈ ℝ)
15	13	rpge0d 12975	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → 0 ≤ -𝑋)
16	14, 15	sqrtnegd 15364	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘--𝑋) = (i · (√‘-𝑋)))
17	12, 16	eqtr3d 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘𝑋) = (i · (√‘-𝑋)))
18		iconstr 33729	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ Constr
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → i ∈ Constr)
20	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ Constr)
21	20	constrnegcl 33726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → -𝑋 ∈ Constr)
22	21, 14, 15	constrresqrtcl 33740	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘-𝑋) ∈ Constr)
23	19, 22	constrmulcl 33734	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (i · (√‘-𝑋)) ∈ Constr)
24	17, 23	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘𝑋) ∈ Constr)
25	24	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘𝑋) ∈ Constr)
26	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℂ)
27	26	abscld 15381	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11178	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
29	28	sqrtcld 15382	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘(abs‘𝑋)) ∈ ℂ)
30	28, 26	addcld 11169	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝑋) + 𝑋) ∈ ℂ)
31	30	abscld 15381	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11178	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)) ∈ ℂ)
33	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
34	9	abscld 15381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
35	34	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
37		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0)
38		addeq0 11577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((abs‘𝑋) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0 ↔ (abs‘𝑋) = -𝑋))
39	38	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((abs‘𝑋) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → (abs‘𝑋) = -𝑋)
40	36, 33, 37, 39	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → (abs‘𝑋) = -𝑋)
41	40, 35	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → -𝑋 ∈ ℝ)
42	33, 41	negrebd 11508	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → 𝑋 ∈ ℝ)
43		0red 11153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → 0 ∈ ℝ)
44		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → ¬ -𝑋 ∈ ℝ+)
45		negelrp 12962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (-𝑋 ∈ ℝ+ ↔ 𝑋 < 0))
46	45	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (¬ -𝑋 ∈ ℝ+ ↔ ¬ 𝑋 < 0))
47	46	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ¬ 𝑋 < 0)
48	42, 44, 47	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → ¬ 𝑋 < 0)
49	43, 42, 48	nltled 11300	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → 0 ≤ 𝑋)
50	42, 49	absidd 15365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → (abs‘𝑋) = 𝑋)
51	50, 40	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → 𝑋 = -𝑋)
52	33, 51	eqnegad 11880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → 𝑋 = 0)
53	52	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0 → 𝑋 = 0))
54	53	necon3d 2946	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 ≠ 0 → ((abs‘𝑋) + 𝑋) ≠ 0))
55	54	impancom 451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (¬ -𝑋 ∈ ℝ+ → ((abs‘𝑋) + 𝑋) ≠ 0))
56	55	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝑋) + 𝑋) ≠ 0)
57	30, 56	absne0d 15392	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)) ≠ 0)
58	30, 32, 57	divcld 11934	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))) ∈ ℂ)
59	29, 58	mulcld 11170	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)))) ∈ ℂ)
60		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)))) = ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))
61	60	sqreulem 15302	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) ≠ 0) → ((((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))↑2) = 𝑋 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∧ (i · ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∉ ℝ+))
62	26, 56, 61	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))↑2) = 𝑋 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∧ (i · ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∉ ℝ+))
63	62	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))↑2) = 𝑋)
64	62	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (ℜ‘((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))))
65	62	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (i · ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∉ ℝ+)
66		df-nel 3030	. . . . . 6 ⊢ ((i · ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∈ ℝ+)
67	65, 66	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ¬ (i · ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∈ ℝ+)
68	59, 26, 63, 64, 67	eqsqrtd 15310	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)))) = (√‘𝑋))
69	8	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ Constr)
70	69	constrabscl 33741	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (abs‘𝑋) ∈ Constr)
71	26	absge0d 15389	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘𝑋))
72	70, 27, 71	constrresqrtcl 33740	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘(abs‘𝑋)) ∈ Constr)
73	70, 69	constraddcl 33725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝑋) + 𝑋) ∈ Constr)
74	73, 56	constrdircl 33728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))) ∈ Constr)
75	72, 74	constrmulcl 33734	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)))) ∈ Constr)
76	68, 75	eqeltrrd 2829	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘𝑋) ∈ Constr)
77	25, 76	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (√‘𝑋) ∈ Constr)
78	7, 77	pm2.61dane 3012	1 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑋) ∈ Constr)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∉ wnel 3029   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044  ici 11046   + caddc 11047   · cmul 11049   < clt 11184   ≤ cle 11185  -cneg 11382   / cdiv 11811  2c2 12217  ℝ⁺crp 12927  ↑cexp 14002  ℜcre 15039  √csqrt 15175  abscabs 15176  Constrcconstr 33692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ioc 13287  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-bc 14244  df-hash 14272  df-shft 15009  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-ef 16009  df-sin 16011  df-cos 16012  df-pi 16014  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-mulg 18976  df-cntz 19225  df-cmn 19688  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22757  df-topon 22774  df-topsp 22796  df-bases 22809  df-cld 22882  df-ntr 22883  df-cls 22884  df-nei 22961  df-lp 22999  df-perf 23000  df-cn 23090  df-cnp 23091  df-haus 23178  df-tx 23425  df-hmeo 23618  df-fil 23709  df-fm 23801  df-flim 23802  df-flf 23803  df-xms 24184  df-ms 24185  df-tms 24186  df-cncf 24747  df-limc 25743  df-dv 25744  df-log 26441  df-constr 33693

This theorem is referenced by: (None)