Theorem constrsqrtcl 33765

Description: Constructible numbers are closed under taking the square root. This is not generally the case for the cubic root operation, see 2sqr3nconstr 33767. Item (5) of Theorem 7.10 of [Stewart] p. 96 (Proposed by Saveliy Skresanov, 3-Nov-2025.) (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
constrabscl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constrsqrtcl	⊢ (𝜑 → (√‘𝑋) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrsqrtcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6826	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → (√‘𝑋) = (√‘0))
2		sqrt0 15167	. . . . 5 ⊢ (√‘0) = 0
3	1, 2	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → (√‘𝑋) = 0)
4		0zd 12502	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → 0 ∈ ℤ)
5	4	zconstr 33750	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → 0 ∈ Constr)
6	3, 5	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ (𝑋 = 0 → (√‘𝑋) ∈ Constr)
7	6	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (√‘𝑋) ∈ Constr)
8		constrabscl.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
9	8	constrcn 33746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℂ)
11	10	negnegd 11485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → --𝑋 = 𝑋)
12	11	fveq2d 6830	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘--𝑋) = (√‘𝑋))
13		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → -𝑋 ∈ ℝ+)
14	13	rpred 12956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → -𝑋 ∈ ℝ)
15	13	rpge0d 12960	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → 0 ≤ -𝑋)
16	14, 15	sqrtnegd 15348	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘--𝑋) = (i · (√‘-𝑋)))
17	12, 16	eqtr3d 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘𝑋) = (i · (√‘-𝑋)))
18		iconstr 33752	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ Constr
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → i ∈ Constr)
20	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ Constr)
21	20	constrnegcl 33749	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → -𝑋 ∈ Constr)
22	21, 14, 15	constrresqrtcl 33763	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘-𝑋) ∈ Constr)
23	19, 22	constrmulcl 33757	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (i · (√‘-𝑋)) ∈ Constr)
24	17, 23	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘𝑋) ∈ Constr)
25	24	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘𝑋) ∈ Constr)
26	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℂ)
27	26	abscld 15365	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11162	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
29	28	sqrtcld 15366	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘(abs‘𝑋)) ∈ ℂ)
30	28, 26	addcld 11153	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝑋) + 𝑋) ∈ ℂ)
31	30	abscld 15365	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11162	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)) ∈ ℂ)
33	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
34	9	abscld 15365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
35	34	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
37		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0)
38		addeq0 11562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((abs‘𝑋) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0 ↔ (abs‘𝑋) = -𝑋))
39	38	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((abs‘𝑋) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → (abs‘𝑋) = -𝑋)
40	36, 33, 37, 39	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → (abs‘𝑋) = -𝑋)
41	40, 35	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → -𝑋 ∈ ℝ)
42	33, 41	negrebd 11493	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → 𝑋 ∈ ℝ)
43		0red 11137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → 0 ∈ ℝ)
44		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → ¬ -𝑋 ∈ ℝ+)
45		negelrp 12947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (-𝑋 ∈ ℝ+ ↔ 𝑋 < 0))
46	45	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (¬ -𝑋 ∈ ℝ+ ↔ ¬ 𝑋 < 0))
47	46	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ¬ 𝑋 < 0)
48	42, 44, 47	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → ¬ 𝑋 < 0)
49	43, 42, 48	nltled 11285	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → 0 ≤ 𝑋)
50	42, 49	absidd 15349	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → (abs‘𝑋) = 𝑋)
51	50, 40	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → 𝑋 = -𝑋)
52	33, 51	eqnegad 11865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → 𝑋 = 0)
53	52	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0 → 𝑋 = 0))
54	53	necon3d 2946	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 ≠ 0 → ((abs‘𝑋) + 𝑋) ≠ 0))
55	54	impancom 451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (¬ -𝑋 ∈ ℝ+ → ((abs‘𝑋) + 𝑋) ≠ 0))
56	55	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝑋) + 𝑋) ≠ 0)
57	30, 56	absne0d 15376	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)) ≠ 0)
58	30, 32, 57	divcld 11919	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))) ∈ ℂ)
59	29, 58	mulcld 11154	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)))) ∈ ℂ)
60		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)))) = ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))
61	60	sqreulem 15286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) ≠ 0) → ((((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))↑2) = 𝑋 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∧ (i · ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∉ ℝ+))
62	26, 56, 61	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))↑2) = 𝑋 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∧ (i · ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∉ ℝ+))
63	62	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))↑2) = 𝑋)
64	62	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (ℜ‘((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))))
65	62	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (i · ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∉ ℝ+)
66		df-nel 3030	. . . . . 6 ⊢ ((i · ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∈ ℝ+)
67	65, 66	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ¬ (i · ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∈ ℝ+)
68	59, 26, 63, 64, 67	eqsqrtd 15294	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)))) = (√‘𝑋))
69	8	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ Constr)
70	69	constrabscl 33764	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (abs‘𝑋) ∈ Constr)
71	26	absge0d 15373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘𝑋))
72	70, 27, 71	constrresqrtcl 33763	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘(abs‘𝑋)) ∈ Constr)
73	70, 69	constraddcl 33748	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝑋) + 𝑋) ∈ Constr)
74	73, 56	constrdircl 33751	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))) ∈ Constr)
75	72, 74	constrmulcl 33757	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)))) ∈ Constr)
76	68, 75	eqeltrrd 2829	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘𝑋) ∈ Constr)
77	25, 76	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (√‘𝑋) ∈ Constr)
78	7, 77	pm2.61dane 3012	1 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑋) ∈ Constr)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∉ wnel 3029   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  ici 11030   + caddc 11031   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169  -cneg 11367   / cdiv 11796  2c2 12202  ℝ⁺crp 12912  ↑cexp 13987  ℜcre 15023  √csqrt 15159  abscabs 15160  Constrcconstr 33715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-q 12869  df-rp 12913  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13271  df-ioc 13272  df-ico 13273  df-icc 13274  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-fl 13715  df-mod 13793  df-seq 13928  df-exp 13988  df-fac 14200  df-bc 14229  df-hash 14257  df-shft 14993  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-limsup 15397  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15613  df-ef 15993  df-sin 15995  df-cos 15996  df-pi 15998  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-starv 17195  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-ip 17198  df-tset 17199  df-ple 17200  df-ds 17202  df-unif 17203  df-hom 17204  df-cco 17205  df-rest 17345  df-topn 17346  df-0g 17364  df-gsum 17365  df-topgen 17366  df-pt 17367  df-prds 17370  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18677  df-mulg 18966  df-cntz 19215  df-cmn 19680  df-psmet 21272  df-xmet 21273  df-met 21274  df-bl 21275  df-mopn 21276  df-fbas 21277  df-fg 21278  df-cnfld 21281  df-top 22798  df-topon 22815  df-topsp 22837  df-bases 22850  df-cld 22923  df-ntr 22924  df-cls 22925  df-nei 23002  df-lp 23040  df-perf 23041  df-cn 23131  df-cnp 23132  df-haus 23219  df-tx 23466  df-hmeo 23659  df-fil 23750  df-fm 23842  df-flim 23843  df-flf 23844  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-cncf 24788  df-limc 25784  df-dv 25785  df-log 26482  df-constr 33716

This theorem is referenced by: (None)