Theorem constrsqrtcl 34169

Description: Constructible numbers are closed under taking the square root. This is not generally the case for the cubic root operation, see 2sqr3nconstr 34171. Item (5) of Theorem 7.10 of [Stewart] p. 96 (Proposed by Saveliy Skresanov, 3-Nov-2025.) (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
constrabscl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constrsqrtcl	⊢ (𝜑 → (√‘𝑋) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrsqrtcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → (√‘𝑋) = (√‘0))
2		sqrt0 15288	. . . . 5 ⊢ (√‘0) = 0
3	1, 2	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → (√‘𝑋) = 0)
4		0zd 12598	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → 0 ∈ ℤ)
5	4	zconstr 34154	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → 0 ∈ Constr)
6	3, 5	eqeltrd 2863	. . 3 ⊢ (𝑋 = 0 → (√‘𝑋) ∈ Constr)
7	6	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (√‘𝑋) ∈ Constr)
8		constrabscl.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
9	8	constrcn 34150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
10	9	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℂ)
11	10	negnegd 11555	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → --𝑋 = 𝑋)
12	11	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘--𝑋) = (√‘𝑋))
13		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → -𝑋 ∈ ℝ+)
14	13	rpred 13055	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → -𝑋 ∈ ℝ)
15	13	rpge0d 13059	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → 0 ≤ -𝑋)
16	14, 15	sqrtnegd 15469	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘--𝑋) = (i · (√‘-𝑋)))
17	12, 16	eqtr3d 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘𝑋) = (i · (√‘-𝑋)))
18		iconstr 34156	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ Constr
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → i ∈ Constr)
20	8	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ Constr)
21	20	constrnegcl 34153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → -𝑋 ∈ Constr)
22	21, 14, 15	constrresqrtcl 34167	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘-𝑋) ∈ Constr)
23	19, 22	constrmulcl 34161	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (i · (√‘-𝑋)) ∈ Constr)
24	17, 23	eqeltrd 2863	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘𝑋) ∈ Constr)
25	24	adantlr 727	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘𝑋) ∈ Constr)
26	9	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℂ)
27	26	abscld 15486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
29	28	sqrtcld 15487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘(abs‘𝑋)) ∈ ℂ)
30	28, 26	addcld 11223	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝑋) + 𝑋) ∈ ℂ)
31	30	abscld 15486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)) ∈ ℂ)
33	9	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
34	9	abscld 15486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
35	34	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
37		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0)
38		addeq0 11632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((abs‘𝑋) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0 ↔ (abs‘𝑋) = -𝑋))
39	38	biimpa 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((abs‘𝑋) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → (abs‘𝑋) = -𝑋)
40	36, 33, 37, 39	syl21anc 850	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → (abs‘𝑋) = -𝑋)
41	40, 35	eqeltrrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → -𝑋 ∈ ℝ)
42	33, 41	negrebd 11563	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → 𝑋 ∈ ℝ)
43		0red 11206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → 0 ∈ ℝ)
44		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → ¬ -𝑋 ∈ ℝ+)
45		negelrp 13046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (-𝑋 ∈ ℝ+ ↔ 𝑋 < 0))
46	45	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (¬ -𝑋 ∈ ℝ+ ↔ ¬ 𝑋 < 0))
47	46	biimpa 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ¬ 𝑋 < 0)
48	42, 44, 47	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → ¬ 𝑋 < 0)
49	43, 42, 48	nltled 11355	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → 0 ≤ 𝑋)
50	42, 49	absidd 15470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → (abs‘𝑋) = 𝑋)
51	50, 40	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → 𝑋 = -𝑋)
52	33, 51	eqnegad 11932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → 𝑋 = 0)
53	52	ex 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0 → 𝑋 = 0))
54	53	necon3d 2979	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 ≠ 0 → ((abs‘𝑋) + 𝑋) ≠ 0))
55	54	impancom 456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (¬ -𝑋 ∈ ℝ+ → ((abs‘𝑋) + 𝑋) ≠ 0))
56	55	imp 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝑋) + 𝑋) ≠ 0)
57	30, 56	absne0d 15497	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)) ≠ 0)
58	30, 32, 57	divcld 11986	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))) ∈ ℂ)
59	29, 58	mulcld 11224	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)))) ∈ ℂ)
60		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)))) = ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))
61	60	sqreulem 15407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) ≠ 0) → ((((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))↑2) = 𝑋 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∧ (i · ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∉ ℝ+))
62	26, 56, 61	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))↑2) = 𝑋 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∧ (i · ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∉ ℝ+))
63	62	simp1d 1160	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))↑2) = 𝑋)
64	62	simp2d 1161	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (ℜ‘((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))))
65	62	simp3d 1162	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (i · ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∉ ℝ+)
66		df-nel 3065	. . . . . 6 ⊢ ((i · ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∈ ℝ+)
67	65, 66	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ¬ (i · ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∈ ℝ+)
68	59, 26, 63, 64, 67	eqsqrtd 15415	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)))) = (√‘𝑋))
69	8	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ Constr)
70	69	constrabscl 34168	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (abs‘𝑋) ∈ Constr)
71	26	absge0d 15494	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘𝑋))
72	70, 27, 71	constrresqrtcl 34167	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘(abs‘𝑋)) ∈ Constr)
73	70, 69	constraddcl 34152	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝑋) + 𝑋) ∈ Constr)
74	73, 56	constrdircl 34155	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))) ∈ Constr)
75	72, 74	constrmulcl 34161	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)))) ∈ Constr)
76	68, 75	eqeltrrd 2864	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘𝑋) ∈ Constr)
77	25, 76	pm2.61dan 824	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (√‘𝑋) ∈ Constr)
78	7, 77	pm2.61dane 3045	1 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑋) ∈ Constr)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∉ wnel 3064   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  ici 11097   + caddc 11098   · cmul 11100   < clt 11238   ≤ cle 11239  -cneg 11437   / cdiv 11866  2c2 12290  ℝ⁺crp 13011  ↑cexp 14093  ℜcre 15144  √csqrt 15280  abscabs 15281  Constrcconstr 34119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16116  df-sin 16118  df-cos 16119  df-pi 16121  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-mulg 19129  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cld 23176  df-ntr 23177  df-cls 23178  df-nei 23255  df-lp 23293  df-perf 23294  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-haus 23472  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-fil 24003  df-fm 24095  df-flim 24096  df-flf 24097  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479  df-cncf 25037  df-limc 26025  df-dv 26026  df-log 26721  df-constr 34120

This theorem is referenced by: (None)