Theorem constrsqrtcl 34209

Description: Constructible numbers are closed under taking the square root. This is not generally the case for the cubic root operation, see 2sqr3nconstr 34211. Item (5) of Theorem 7.10 of [Stewart] p. 96 (Proposed by Saveliy Skresanov, 3-Nov-2025.) (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
constrabscl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constrsqrtcl	⊢ (𝜑 → (√‘𝑋) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrsqrtcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → (√‘𝑋) = (√‘0))
2		sqrt0 15312	. . . . 5 ⊢ (√‘0) = 0
3	1, 2	eqtrdi 2816	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → (√‘𝑋) = 0)
4		0zd 12614	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → 0 ∈ ℤ)
5	4	zconstr 34194	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → 0 ∈ Constr)
6	3, 5	eqeltrd 2865	. . 3 ⊢ (𝑋 = 0 → (√‘𝑋) ∈ Constr)
7	6	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (√‘𝑋) ∈ Constr)
8		constrabscl.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
9	8	constrcn 34190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
10	9	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℂ)
11	10	negnegd 11571	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → --𝑋 = 𝑋)
12	11	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘--𝑋) = (√‘𝑋))
13		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → -𝑋 ∈ ℝ+)
14	13	rpred 13072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → -𝑋 ∈ ℝ)
15	13	rpge0d 13076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → 0 ≤ -𝑋)
16	14, 15	sqrtnegd 15493	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘--𝑋) = (i · (√‘-𝑋)))
17	12, 16	eqtr3d 2802	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘𝑋) = (i · (√‘-𝑋)))
18		iconstr 34196	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ Constr
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → i ∈ Constr)
20	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ Constr)
21	20	constrnegcl 34193	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → -𝑋 ∈ Constr)
22	21, 14, 15	constrresqrtcl 34207	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘-𝑋) ∈ Constr)
23	19, 22	constrmulcl 34201	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (i · (√‘-𝑋)) ∈ Constr)
24	17, 23	eqeltrd 2865	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘𝑋) ∈ Constr)
25	24	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘𝑋) ∈ Constr)
26	9	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℂ)
27	26	abscld 15510	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11248	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
29	28	sqrtcld 15511	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘(abs‘𝑋)) ∈ ℂ)
30	28, 26	addcld 11239	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝑋) + 𝑋) ∈ ℂ)
31	30	abscld 15510	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11248	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)) ∈ ℂ)
33	9	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
34	9	abscld 15510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
35	34	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11248	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
37		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0)
38		addeq0 11648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((abs‘𝑋) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0 ↔ (abs‘𝑋) = -𝑋))
39	38	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((abs‘𝑋) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → (abs‘𝑋) = -𝑋)
40	36, 33, 37, 39	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → (abs‘𝑋) = -𝑋)
41	40, 35	eqeltrrd 2866	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → -𝑋 ∈ ℝ)
42	33, 41	negrebd 11579	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → 𝑋 ∈ ℝ)
43		0red 11222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → 0 ∈ ℝ)
44		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → ¬ -𝑋 ∈ ℝ+)
45		negelrp 13063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (-𝑋 ∈ ℝ+ ↔ 𝑋 < 0))
46	45	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (¬ -𝑋 ∈ ℝ+ ↔ ¬ 𝑋 < 0))
47	46	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ¬ 𝑋 < 0)
48	42, 44, 47	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → ¬ 𝑋 < 0)
49	43, 42, 48	nltled 11371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → 0 ≤ 𝑋)
50	42, 49	absidd 15494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → (abs‘𝑋) = 𝑋)
51	50, 40	eqtr3d 2802	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → 𝑋 = -𝑋)
52	33, 51	eqnegad 11948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0) → 𝑋 = 0)
53	52	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (((abs‘𝑋) + 𝑋) = 0 → 𝑋 = 0))
54	53	necon3d 2981	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 ≠ 0 → ((abs‘𝑋) + 𝑋) ≠ 0))
55	54	impancom 457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (¬ -𝑋 ∈ ℝ+ → ((abs‘𝑋) + 𝑋) ≠ 0))
56	55	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝑋) + 𝑋) ≠ 0)
57	30, 56	absne0d 15521	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)) ≠ 0)
58	30, 32, 57	divcld 12002	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))) ∈ ℂ)
59	29, 58	mulcld 11240	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)))) ∈ ℂ)
60		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)))) = ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))
61	60	sqreulem 15431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑋) + 𝑋) ≠ 0) → ((((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))↑2) = 𝑋 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∧ (i · ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∉ ℝ+))
62	26, 56, 61	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))↑2) = 𝑋 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∧ (i · ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∉ ℝ+))
63	62	simp1d 1160	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))↑2) = 𝑋)
64	62	simp2d 1161	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (ℜ‘((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))))
65	62	simp3d 1162	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (i · ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∉ ℝ+)
66		df-nel 3067	. . . . . 6 ⊢ ((i · ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∈ ℝ+)
67	65, 66	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ¬ (i · ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))))) ∈ ℝ+)
68	59, 26, 63, 64, 67	eqsqrtd 15439	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)))) = (√‘𝑋))
69	8	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ Constr)
70	69	constrabscl 34208	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (abs‘𝑋) ∈ Constr)
71	26	absge0d 15518	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘𝑋))
72	70, 27, 71	constrresqrtcl 34207	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘(abs‘𝑋)) ∈ Constr)
73	70, 69	constraddcl 34192	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝑋) + 𝑋) ∈ Constr)
74	73, 56	constrdircl 34195	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋))) ∈ Constr)
75	72, 74	constrmulcl 34201	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → ((√‘(abs‘𝑋)) · (((abs‘𝑋) + 𝑋) / (abs‘((abs‘𝑋) + 𝑋)))) ∈ Constr)
76	68, 75	eqeltrrd 2866	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ -𝑋 ∈ ℝ+) → (√‘𝑋) ∈ Constr)
77	25, 76	pm2.61dan 825	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (√‘𝑋) ∈ Constr)
78	7, 77	pm2.61dane 3047	1 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑋) ∈ Constr)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ∉ wnel 3066   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  ℝcr 11110  0cc0 11111  ici 11113   + caddc 11114   · cmul 11116   < clt 11254   ≤ cle 11255  -cneg 11453   / cdiv 11882  2c2 12306  ℝ⁺crp 13028  ↑cexp 14111  ℜcre 15168  √csqrt 15304  abscabs 15305  Constrcconstr 34159

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13149  df-xadd 13150  df-xmul 13151  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14052  df-exp 14112  df-fac 14324  df-bc 14353  df-hash 14381  df-shft 15124  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-limsup 15542  df-clim 15559  df-rlim 15560  df-sum 15758  df-ef 16139  df-sin 16141  df-cos 16142  df-pi 16144  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-starv 17343  df-sca 17344  df-vsca 17345  df-ip 17346  df-tset 17347  df-ple 17348  df-ds 17350  df-unif 17351  df-hom 17352  df-cco 17353  df-rest 17493  df-topn 17494  df-0g 17512  df-gsum 17513  df-topgen 17514  df-pt 17515  df-prds 17518  df-xrs 17574  df-qtop 17579  df-imas 17580  df-xps 17582  df-mre 17656  df-mrc 17657  df-acs 17659  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-submnd 18866  df-mulg 19158  df-cntz 19411  df-cmn 19876  df-psmet 21544  df-xmet 21545  df-met 21546  df-bl 21547  df-mopn 21548  df-fbas 21549  df-fg 21550  df-cnfld 21553  df-top 23081  df-topon 23098  df-topsp 23120  df-bases 23133  df-cld 23206  df-ntr 23207  df-cls 23208  df-nei 23285  df-lp 23323  df-perf 23324  df-cn 23414  df-cnp 23415  df-haus 23502  df-tx 23750  df-hmeo 23943  df-fil 24034  df-fm 24126  df-flim 24127  df-flf 24128  df-xms 24508  df-ms 24509  df-tms 24510  df-cncf 25068  df-limc 26056  df-dv 26057  df-log 26752  df-constr 34160

This theorem is used by: (None)