Theorem cos9thpiminplylem4 34484

Description: Lemma for cos9thpiminply 34487. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cos9thpiminplylem3.1	⊢ 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
cos9thpiminplylem4.2	⊢ 𝑍 = (𝑂↑𝑐(1 / 3))

Assertion

Ref	Expression
cos9thpiminplylem4	⊢ ((𝑍↑6) + (𝑍↑3)) = -1

Proof of Theorem cos9thpiminplylem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cos9thpiminplylem4.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (𝑂↑𝑐(1 / 3))
2		cos9thpiminplylem3.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
3		ax-icn 11283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
4		2cn 12442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		picn 26812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℂ
6	4, 5	mulcli 11340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
7	3, 6	mulcli 11340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
8		3cn 12448	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		3ne0 12476	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≠ 0
10	7, 8, 9	divcli 12083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ
11		efcl 16274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ → (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ
13	2, 12	eqeltri 2860	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 ∈ ℂ
14	8, 9	reccli 12071	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
15		cxpcl 27029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂 ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ) → (𝑂↑𝑐(1 / 3)) ∈ ℂ)
16	13, 14, 15	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (𝑂↑𝑐(1 / 3)) ∈ ℂ
17	1, 16	eqeltri 2860	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ ℂ
18		3nn0 12648	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
19		2nn0 12647	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
20		expmul 14274	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑍↑(3 · 2)) = ((𝑍↑3)↑2))
21	17, 18, 19, 20	mp3an 1491	. . . 4 ⊢ (𝑍↑(3 · 2)) = ((𝑍↑3)↑2)
22		3t2e6 12532	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
23	22	oveq2i 7451	. . . 4 ⊢ (𝑍↑(3 · 2)) = (𝑍↑6)
24	1	oveq1i 7450	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍↑3) = ((𝑂↑𝑐(1 / 3))↑3)
25		cxpmul2 27044	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂 ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑂↑𝑐((1 / 3) · 3)) = ((𝑂↑𝑐(1 / 3))↑3))
26	13, 14, 18, 25	mp3an 1491	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂↑𝑐((1 / 3) · 3)) = ((𝑂↑𝑐(1 / 3))↑3)
27	24, 26	eqtr4i 2789	. . . . . 6 ⊢ (𝑍↑3) = (𝑂↑𝑐((1 / 3) · 3))
28		ax-1cn 11282	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
29	28, 8, 9	divcan1i 12085	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 3) · 3) = 1
30	29	oveq2i 7451	. . . . . 6 ⊢ (𝑂↑𝑐((1 / 3) · 3)) = (𝑂↑𝑐1)
31		cxp1 27026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ ℂ → (𝑂↑𝑐1) = 𝑂)
32	13, 31	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑂↑𝑐1) = 𝑂
33	27, 30, 32	3eqtri 2790	. . . . 5 ⊢ (𝑍↑3) = 𝑂
34	33	oveq1i 7450	. . . 4 ⊢ ((𝑍↑3)↑2) = (𝑂↑2)
35	21, 23, 34	3eqtr3i 2794	. . 3 ⊢ (𝑍↑6) = (𝑂↑2)
36	35, 33	oveq12i 7452	. 2 ⊢ ((𝑍↑6) + (𝑍↑3)) = ((𝑂↑2) + 𝑂)
37	13	sqcli 14348	. . . . 5 ⊢ (𝑂↑2) ∈ ℂ
38	37, 13	addcli 11339	. . . 4 ⊢ ((𝑂↑2) + 𝑂) ∈ ℂ
39	38, 28	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (((𝑂↑2) + 𝑂) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)
40	37, 13, 28	addassi 11343	. . . 4 ⊢ (((𝑂↑2) + 𝑂) + 1) = ((𝑂↑2) + (𝑂 + 1))
41	2	cos9thpiminplylem3 34483	. . . 4 ⊢ ((𝑂↑2) + (𝑂 + 1)) = 0
42	40, 41	eqtri 2786	. . 3 ⊢ (((𝑂↑2) + 𝑂) + 1) = 0
43		addeq0 11763	. . . 4 ⊢ ((((𝑂↑2) + 𝑂) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((𝑂↑2) + 𝑂) + 1) = 0 ↔ ((𝑂↑2) + 𝑂) = -1))
44	43	biimpa 482	. . 3 ⊢ (((((𝑂↑2) + 𝑂) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (((𝑂↑2) + 𝑂) + 1) = 0) → ((𝑂↑2) + 𝑂) = -1)
45	39, 42, 44	mp2an 705	. 2 ⊢ ((𝑂↑2) + 𝑂) = -1
46	36, 45	eqtri 2786	1 ⊢ ((𝑍↑6) + (𝑍↑3)) = -1

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  0cc0 11224  1c1 11225  ici 11226   + caddc 11227   · cmul 11229   -cneg 11566   / cdiv 11997  2c2 12421  3c3 12422  6c6 12425  ℕ₀cn0 12630  ↑cexp 14228  expce 16253  πcpi 16258  ↑_𝑐ccxp 26910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-fi 9427  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-ioo 13504  df-ioc 13505  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-mod 14034  df-seq 14169  df-exp 14229  df-fac 14442  df-bc 14471  df-hash 14499  df-shft 15246  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-limsup 15664  df-clim 15681  df-rlim 15682  df-sum 15880  df-ef 16259  df-sin 16261  df-cos 16262  df-pi 16264  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-rest 17619  df-topn 17620  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-topgen 17640  df-pt 17641  df-prds 17644  df-xrs 17700  df-qtop 17705  df-imas 17706  df-xps 17708  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-submnd 19005  df-mulg 19304  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-fbas 21702  df-fg 21703  df-cnfld 21706  df-top 23239  df-topon 23256  df-topsp 23278  df-bases 23291  df-cld 23364  df-ntr 23365  df-cls 23366  df-nei 23443  df-lp 23481  df-perf 23482  df-cn 23572  df-cnp 23573  df-haus 23660  df-tx 23908  df-hmeo 24101  df-fil 24192  df-fm 24284  df-flim 24285  df-flf 24286  df-xms 24666  df-ms 24667  df-tms 24668  df-cncf 25226  df-limc 26213  df-dv 26214  df-log 26911  df-cxp 26912

This theorem is used by:  cos9thpiminplylem5  34485