Theorem cos9thpiminplylem4 33979

Description: Lemma for cos9thpiminply 33982. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cos9thpiminplylem3.1	⊢ 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
cos9thpiminplylem4.2	⊢ 𝑍 = (𝑂↑𝑐(1 / 3))

Assertion

Ref	Expression
cos9thpiminplylem4	⊢ ((𝑍↑6) + (𝑍↑3)) = -1

Proof of Theorem cos9thpiminplylem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cos9thpiminplylem4.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (𝑂↑𝑐(1 / 3))
2		cos9thpiminplylem3.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
3		ax-icn 11093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
4		2cn 12251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		picn 26443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℂ
6	4, 5	mulcli 11148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
7	3, 6	mulcli 11148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
8		3cn 12257	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		3ne0 12282	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≠ 0
10	7, 8, 9	divcli 11892	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ
11		efcl 16042	. . . . . . . . 9 ⊢ (((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ → (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ
13	2, 12	eqeltri 2837	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 ∈ ℂ
14	8, 9	reccli 11880	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
15		cxpcl 26659	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂 ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ) → (𝑂↑𝑐(1 / 3)) ∈ ℂ)
16	13, 14, 15	mp2an 699	. . . . . 6 ⊢ (𝑂↑𝑐(1 / 3)) ∈ ℂ
17	1, 16	eqeltri 2837	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ ℂ
18		3nn0 12450	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
19		2nn0 12449	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
20		expmul 14064	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑍↑(3 · 2)) = ((𝑍↑3)↑2))
21	17, 18, 19, 20	mp3an 1470	. . . 4 ⊢ (𝑍↑(3 · 2)) = ((𝑍↑3)↑2)
22		3t2e6 12337	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
23	22	oveq2i 7370	. . . 4 ⊢ (𝑍↑(3 · 2)) = (𝑍↑6)
24	1	oveq1i 7369	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍↑3) = ((𝑂↑𝑐(1 / 3))↑3)
25		cxpmul2 26674	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂 ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑂↑𝑐((1 / 3) · 3)) = ((𝑂↑𝑐(1 / 3))↑3))
26	13, 14, 18, 25	mp3an 1470	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂↑𝑐((1 / 3) · 3)) = ((𝑂↑𝑐(1 / 3))↑3)
27	24, 26	eqtr4i 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝑍↑3) = (𝑂↑𝑐((1 / 3) · 3))
28		ax-1cn 11092	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
29	28, 8, 9	divcan1i 11894	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 3) · 3) = 1
30	29	oveq2i 7370	. . . . . 6 ⊢ (𝑂↑𝑐((1 / 3) · 3)) = (𝑂↑𝑐1)
31		cxp1 26656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ ℂ → (𝑂↑𝑐1) = 𝑂)
32	13, 31	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑂↑𝑐1) = 𝑂
33	27, 30, 32	3eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ (𝑍↑3) = 𝑂
34	33	oveq1i 7369	. . . 4 ⊢ ((𝑍↑3)↑2) = (𝑂↑2)
35	21, 23, 34	3eqtr3i 2772	. . 3 ⊢ (𝑍↑6) = (𝑂↑2)
36	35, 33	oveq12i 7371	. 2 ⊢ ((𝑍↑6) + (𝑍↑3)) = ((𝑂↑2) + 𝑂)
37	13	sqcli 14138	. . . . 5 ⊢ (𝑂↑2) ∈ ℂ
38	37, 13	addcli 11147	. . . 4 ⊢ ((𝑂↑2) + 𝑂) ∈ ℂ
39	38, 28	pm3.2i 472	. . 3 ⊢ (((𝑂↑2) + 𝑂) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)
40	37, 13, 28	addassi 11151	. . . 4 ⊢ (((𝑂↑2) + 𝑂) + 1) = ((𝑂↑2) + (𝑂 + 1))
41	2	cos9thpiminplylem3 33978	. . . 4 ⊢ ((𝑂↑2) + (𝑂 + 1)) = 0
42	40, 41	eqtri 2764	. . 3 ⊢ (((𝑂↑2) + 𝑂) + 1) = 0
43		addeq0 11569	. . . 4 ⊢ ((((𝑂↑2) + 𝑂) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((𝑂↑2) + 𝑂) + 1) = 0 ↔ ((𝑂↑2) + 𝑂) = -1))
44	43	biimpa 478	. . 3 ⊢ (((((𝑂↑2) + 𝑂) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (((𝑂↑2) + 𝑂) + 1) = 0) → ((𝑂↑2) + 𝑂) = -1)
45	39, 42, 44	mp2an 699	. 2 ⊢ ((𝑂↑2) + 𝑂) = -1
46	36, 45	eqtri 2764	1 ⊢ ((𝑍↑6) + (𝑍↑3)) = -1

Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  ℂcc 11032  0cc0 11034  1c1 11035  ici 11036   + caddc 11037   · cmul 11039  -cneg 11374   / cdiv 11803  2c2 12231  3c3 12232  6c6 12235  ℕ₀cn0 12432  ↑cexp 14018  expce 16021  πcpi 16026  ↑_𝑐ccxp 26540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-inf2 9557  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112  ax-addf 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-ioc 13298  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15024  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-limsup 15428  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-ef 16027  df-sin 16029  df-cos 16030  df-pi 16032  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-prds 17405  df-xrs 17461  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19039  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-psmet 21342  df-xmet 21343  df-met 21344  df-bl 21345  df-mopn 21346  df-fbas 21347  df-fg 21348  df-cnfld 21351  df-top 22880  df-topon 22897  df-topsp 22919  df-bases 22932  df-cld 23005  df-ntr 23006  df-cls 23007  df-nei 23084  df-lp 23122  df-perf 23123  df-cn 23213  df-cnp 23214  df-haus 23301  df-tx 23548  df-hmeo 23741  df-fil 23832  df-fm 23924  df-flim 23925  df-flf 23926  df-xms 24306  df-ms 24307  df-tms 24308  df-cncf 24866  df-limc 25854  df-dv 25855  df-log 26541  df-cxp 26542

This theorem is referenced by:  cos9thpiminplylem5  33980