Theorem cos9thpiminplylem4 33768

Description: Lemma for cos9thpiminply 33771. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cos9thpiminplylem3.1	⊢ 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
cos9thpiminplylem4.2	⊢ 𝑍 = (𝑂↑𝑐(1 / 3))

Assertion

Ref	Expression
cos9thpiminplylem4	⊢ ((𝑍↑6) + (𝑍↑3)) = -1

Proof of Theorem cos9thpiminplylem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cos9thpiminplylem4.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (𝑂↑𝑐(1 / 3))
2		cos9thpiminplylem3.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
3		ax-icn 11103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
4		2cn 12237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		picn 26400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℂ
6	4, 5	mulcli 11157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
7	3, 6	mulcli 11157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
8		3cn 12243	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		3ne0 12268	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≠ 0
10	7, 8, 9	divcli 11900	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ
11		efcl 16024	. . . . . . . . 9 ⊢ (((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ → (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ
13	2, 12	eqeltri 2824	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 ∈ ℂ
14	8, 9	reccli 11888	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
15		cxpcl 26616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂 ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ) → (𝑂↑𝑐(1 / 3)) ∈ ℂ)
16	13, 14, 15	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (𝑂↑𝑐(1 / 3)) ∈ ℂ
17	1, 16	eqeltri 2824	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ ℂ
18		3nn0 12436	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
19		2nn0 12435	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
20		expmul 14048	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑍↑(3 · 2)) = ((𝑍↑3)↑2))
21	17, 18, 19, 20	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ (𝑍↑(3 · 2)) = ((𝑍↑3)↑2)
22		3t2e6 12323	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
23	22	oveq2i 7380	. . . 4 ⊢ (𝑍↑(3 · 2)) = (𝑍↑6)
24	1	oveq1i 7379	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍↑3) = ((𝑂↑𝑐(1 / 3))↑3)
25		cxpmul2 26631	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂 ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑂↑𝑐((1 / 3) · 3)) = ((𝑂↑𝑐(1 / 3))↑3))
26	13, 14, 18, 25	mp3an 1463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂↑𝑐((1 / 3) · 3)) = ((𝑂↑𝑐(1 / 3))↑3)
27	24, 26	eqtr4i 2755	. . . . . 6 ⊢ (𝑍↑3) = (𝑂↑𝑐((1 / 3) · 3))
28		ax-1cn 11102	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
29	28, 8, 9	divcan1i 11902	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 3) · 3) = 1
30	29	oveq2i 7380	. . . . . 6 ⊢ (𝑂↑𝑐((1 / 3) · 3)) = (𝑂↑𝑐1)
31		cxp1 26613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ ℂ → (𝑂↑𝑐1) = 𝑂)
32	13, 31	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑂↑𝑐1) = 𝑂
33	27, 30, 32	3eqtri 2756	. . . . 5 ⊢ (𝑍↑3) = 𝑂
34	33	oveq1i 7379	. . . 4 ⊢ ((𝑍↑3)↑2) = (𝑂↑2)
35	21, 23, 34	3eqtr3i 2760	. . 3 ⊢ (𝑍↑6) = (𝑂↑2)
36	35, 33	oveq12i 7381	. 2 ⊢ ((𝑍↑6) + (𝑍↑3)) = ((𝑂↑2) + 𝑂)
37	13	sqcli 14122	. . . . 5 ⊢ (𝑂↑2) ∈ ℂ
38	37, 13	addcli 11156	. . . 4 ⊢ ((𝑂↑2) + 𝑂) ∈ ℂ
39	38, 28	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (((𝑂↑2) + 𝑂) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)
40	37, 13, 28	addassi 11160	. . . 4 ⊢ (((𝑂↑2) + 𝑂) + 1) = ((𝑂↑2) + (𝑂 + 1))
41	2	cos9thpiminplylem3 33767	. . . 4 ⊢ ((𝑂↑2) + (𝑂 + 1)) = 0
42	40, 41	eqtri 2752	. . 3 ⊢ (((𝑂↑2) + 𝑂) + 1) = 0
43		addeq0 11577	. . . 4 ⊢ ((((𝑂↑2) + 𝑂) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((𝑂↑2) + 𝑂) + 1) = 0 ↔ ((𝑂↑2) + 𝑂) = -1))
44	43	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((((𝑂↑2) + 𝑂) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (((𝑂↑2) + 𝑂) + 1) = 0) → ((𝑂↑2) + 𝑂) = -1)
45	39, 42, 44	mp2an 692	. 2 ⊢ ((𝑂↑2) + 𝑂) = -1
46	36, 45	eqtri 2752	1 ⊢ ((𝑍↑6) + (𝑍↑3)) = -1

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  0cc0 11044  1c1 11045  ici 11046   + caddc 11047   · cmul 11049  -cneg 11382   / cdiv 11811  2c2 12217  3c3 12218  6c6 12221  ℕ₀cn0 12418  ↑cexp 14002  expce 16003  πcpi 16008  ↑_𝑐ccxp 26497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ioc 13287  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-bc 14244  df-hash 14272  df-shft 15009  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-ef 16009  df-sin 16011  df-cos 16012  df-pi 16014  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-submnd 18693  df-mulg 18982  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22866  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24241  df-ms 24242  df-tms 24243  df-cncf 24804  df-limc 25800  df-dv 25801  df-log 26498  df-cxp 26499

This theorem is referenced by:  cos9thpiminplylem5  33769