Theorem cos9thpiminplylem4 34336

Description: Lemma for cos9thpiminply 34339. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cos9thpiminplylem3.1	⊢ 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
cos9thpiminplylem4.2	⊢ 𝑍 = (𝑂↑𝑐(1 / 3))

Assertion

Ref	Expression
cos9thpiminplylem4	⊢ ((𝑍↑6) + (𝑍↑3)) = -1

Proof of Theorem cos9thpiminplylem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cos9thpiminplylem4.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (𝑂↑𝑐(1 / 3))
2		cos9thpiminplylem3.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (exp‘((i · (2 · π)) / 3))
3		ax-icn 11216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
4		2cn 12373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		picn 26734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℂ
6	4, 5	mulcli 11273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
7	3, 6	mulcli 11273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
8		3cn 12379	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		3ne0 12407	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≠ 0
10	7, 8, 9	divcli 12014	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ
11		efcl 16201	. . . . . . . . 9 ⊢ (((i · (2 · π)) / 3) ∈ ℂ → (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (exp‘((i · (2 · π)) / 3)) ∈ ℂ
13	2, 12	eqeltri 2856	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 ∈ ℂ
14	8, 9	reccli 12002	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
15		cxpcl 26951	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂 ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ) → (𝑂↑𝑐(1 / 3)) ∈ ℂ)
16	13, 14, 15	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (𝑂↑𝑐(1 / 3)) ∈ ℂ
17	1, 16	eqeltri 2856	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ ℂ
18		3nn0 12579	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
19		2nn0 12578	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
20		expmul 14204	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑍↑(3 · 2)) = ((𝑍↑3)↑2))
21	17, 18, 19, 20	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ (𝑍↑(3 · 2)) = ((𝑍↑3)↑2)
22		3t2e6 12463	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
23	22	oveq2i 7420	. . . 4 ⊢ (𝑍↑(3 · 2)) = (𝑍↑6)
24	1	oveq1i 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍↑3) = ((𝑂↑𝑐(1 / 3))↑3)
25		cxpmul2 26966	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂 ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑂↑𝑐((1 / 3) · 3)) = ((𝑂↑𝑐(1 / 3))↑3))
26	13, 14, 18, 25	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂↑𝑐((1 / 3) · 3)) = ((𝑂↑𝑐(1 / 3))↑3)
27	24, 26	eqtr4i 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝑍↑3) = (𝑂↑𝑐((1 / 3) · 3))
28		ax-1cn 11215	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
29	28, 8, 9	divcan1i 12016	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 3) · 3) = 1
30	29	oveq2i 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑂↑𝑐((1 / 3) · 3)) = (𝑂↑𝑐1)
31		cxp1 26948	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ ℂ → (𝑂↑𝑐1) = 𝑂)
32	13, 31	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑂↑𝑐1) = 𝑂
33	27, 30, 32	3eqtri 2787	. . . . 5 ⊢ (𝑍↑3) = 𝑂
34	33	oveq1i 7419	. . . 4 ⊢ ((𝑍↑3)↑2) = (𝑂↑2)
35	21, 23, 34	3eqtr3i 2791	. . 3 ⊢ (𝑍↑6) = (𝑂↑2)
36	35, 33	oveq12i 7421	. 2 ⊢ ((𝑍↑6) + (𝑍↑3)) = ((𝑂↑2) + 𝑂)
37	13	sqcli 14278	. . . . 5 ⊢ (𝑂↑2) ∈ ℂ
38	37, 13	addcli 11272	. . . 4 ⊢ ((𝑂↑2) + 𝑂) ∈ ℂ
39	38, 28	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (((𝑂↑2) + 𝑂) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)
40	37, 13, 28	addassi 11276	. . . 4 ⊢ (((𝑂↑2) + 𝑂) + 1) = ((𝑂↑2) + (𝑂 + 1))
41	2	cos9thpiminplylem3 34335	. . . 4 ⊢ ((𝑂↑2) + (𝑂 + 1)) = 0
42	40, 41	eqtri 2783	. . 3 ⊢ (((𝑂↑2) + 𝑂) + 1) = 0
43		addeq0 11694	. . . 4 ⊢ ((((𝑂↑2) + 𝑂) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((𝑂↑2) + 𝑂) + 1) = 0 ↔ ((𝑂↑2) + 𝑂) = -1))
44	43	biimpa 482	. . 3 ⊢ (((((𝑂↑2) + 𝑂) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (((𝑂↑2) + 𝑂) + 1) = 0) → ((𝑂↑2) + 𝑂) = -1)
45	39, 42, 44	mp2an 705	. 2 ⊢ ((𝑂↑2) + 𝑂) = -1
46	36, 45	eqtri 2783	1 ⊢ ((𝑍↑6) + (𝑍↑3)) = -1

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  ℂcc 11155  0cc0 11157  1c1 11158  ici 11159   + caddc 11160   · cmul 11162  -cneg 11499   / cdiv 11928  2c2 12352  3c3 12353  6c6 12356  ℕ₀cn0 12561  ↑cexp 14158  expce 16180  πcpi 16185  ↑_𝑐ccxp 26832

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235  ax-addf 11236

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-q 13031  df-rp 13076  df-xneg 13196  df-xadd 13197  df-xmul 13198  df-ioo 13435  df-ioc 13436  df-ico 13437  df-icc 13438  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-fl 13886  df-mod 13964  df-seq 14099  df-exp 14159  df-fac 14371  df-bc 14400  df-hash 14428  df-shft 15173  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-limsup 15591  df-clim 15608  df-rlim 15609  df-sum 15807  df-ef 16186  df-sin 16188  df-cos 16189  df-pi 16191  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-starv 17390  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-unif 17398  df-hom 17399  df-cco 17400  df-rest 17540  df-topn 17541  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-topgen 17561  df-pt 17562  df-prds 17565  df-xrs 17621  df-qtop 17626  df-imas 17627  df-xps 17629  df-mre 17703  df-mrc 17704  df-acs 17706  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-submnd 18926  df-mulg 19225  df-cntz 19478  df-cmn 19943  df-psmet 21617  df-xmet 21618  df-met 21619  df-bl 21620  df-mopn 21621  df-fbas 21622  df-fg 21623  df-cnfld 21626  df-top 23159  df-topon 23176  df-topsp 23198  df-bases 23211  df-cld 23284  df-ntr 23285  df-cls 23286  df-nei 23363  df-lp 23401  df-perf 23402  df-cn 23492  df-cnp 23493  df-haus 23580  df-tx 23828  df-hmeo 24021  df-fil 24112  df-fm 24204  df-flim 24205  df-flf 24206  df-xms 24586  df-ms 24587  df-tms 24588  df-cncf 25146  df-limc 26133  df-dv 26134  df-log 26833  df-cxp 26834

This theorem is used by:  cos9thpiminplylem5  34337