Theorem subadds 28087

Description: Relationship between addition and subtraction for surreals. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
subadds	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +s 𝐶) = 𝐴))

Proof of Theorem subadds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subsval 28077	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 -s 𝐵) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)))
2	1	3adant3 1138	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐴 -s 𝐵) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)))
3	2	eqeq1d 2742	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) = 𝐶))
4		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → 𝐵 ∈ No )
5		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → 𝐶 ∈ No )
6		negscl 28053	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ No → ( -us ‘𝐵) ∈ No )
7	6	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ( -us ‘𝐵) ∈ No )
8	4, 5, 7	adds32d 28024	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐵)) = ((𝐵 +s ( -us ‘𝐵)) +s 𝐶))
9		negsid 28058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ No → (𝐵 +s ( -us ‘𝐵)) = 0s )
10	9	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐵 +s ( -us ‘𝐵)) = 0s )
11	10	oveq1d 7378	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐵 +s ( -us ‘𝐵)) +s 𝐶) = ( 0s +s 𝐶))
12		addslid 27985	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ No → ( 0s +s 𝐶) = 𝐶)
13	12	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ( 0s +s 𝐶) = 𝐶)
14	8, 11, 13	3eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐵)) = 𝐶)
15	14	3adant1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐵)) = 𝐶)
16	15	eqeq1d 2742	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐵)) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) ↔ 𝐶 = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵))))
17		eqcom 2747	. . 3 ⊢ (𝐶 = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) ↔ (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) = 𝐶)
18	16, 17	bitrdi 288	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐵)) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) ↔ (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) = 𝐶))
19		addscl 27998	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐵 +s 𝐶) ∈ No )
20	19	3adant1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐵 +s 𝐶) ∈ No )
21		simp1 1142	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → 𝐴 ∈ No )
22		simp2 1143	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → 𝐵 ∈ No )
23	22	negscld 28054	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ( -us ‘𝐵) ∈ No )
24	20, 21, 23	addscan2d 28016	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐵)) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) ↔ (𝐵 +s 𝐶) = 𝐴))
25	3, 18, 24	3bitr2d 308	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +s 𝐶) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   No csur 27628   0_s c0s 27822   +_s cadds 27976   -u_s cnegs 28036   -_s csubs 28037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-ot 4571  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-1o 8402  df-2o 8403  df-nadd 8599  df-no 27631  df-lts 27632  df-bday 27633  df-les 27734  df-slts 27775  df-cuts 27777  df-0s 27824  df-made 27844  df-old 27845  df-left 27847  df-right 27848  df-norec 27955  df-norec2 27966  df-adds 27977  df-negs 28038  df-subs 28039

This theorem is referenced by:  subaddsd  28088  zseo  28439