Theorem subadds 27928

Description: Relationship between addition and subtraction for surreals. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
subadds	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +s 𝐶) = 𝐴))

Proof of Theorem subadds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subsval 27920	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 -s 𝐵) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)))
2	1	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐴 -s 𝐵) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)))
3	2	eqeq1d 2728	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) = 𝐶))
4		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → 𝐵 ∈ No )
5		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → 𝐶 ∈ No )
6		negscl 27898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ No → ( -us ‘𝐵) ∈ No )
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ( -us ‘𝐵) ∈ No )
8	4, 5, 7	adds32d 27874	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐵)) = ((𝐵 +s ( -us ‘𝐵)) +s 𝐶))
9		negsid 27903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ No → (𝐵 +s ( -us ‘𝐵)) = 0s )
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐵 +s ( -us ‘𝐵)) = 0s )
11	10	oveq1d 7419	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐵 +s ( -us ‘𝐵)) +s 𝐶) = ( 0s +s 𝐶))
12		addslid 27835	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ No → ( 0s +s 𝐶) = 𝐶)
13	12	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ( 0s +s 𝐶) = 𝐶)
14	8, 11, 13	3eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐵)) = 𝐶)
15	14	3adant1 1127	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐵)) = 𝐶)
16	15	eqeq1d 2728	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐵)) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) ↔ 𝐶 = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵))))
17		eqcom 2733	. . 3 ⊢ (𝐶 = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) ↔ (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) = 𝐶)
18	16, 17	bitrdi 287	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐵)) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) ↔ (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) = 𝐶))
19		addscl 27848	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐵 +s 𝐶) ∈ No )
20	19	3adant1 1127	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐵 +s 𝐶) ∈ No )
21		simp1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → 𝐴 ∈ No )
22		simp2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → 𝐵 ∈ No )
23	22	negscld 27899	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ( -us ‘𝐵) ∈ No )
24	20, 21, 23	addscan2d 27866	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐵)) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) ↔ (𝐵 +s 𝐶) = 𝐴))
25	3, 18, 24	3bitr2d 307	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +s 𝐶) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404   No csur 27523   0_s c0s 27705   +_s cadds 27826   -u_s cnegs 27882   -_s csubs 27883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-1o 8464  df-2o 8465  df-nadd 8664  df-no 27526  df-slt 27527  df-bday 27528  df-sle 27628  df-sslt 27664  df-scut 27666  df-0s 27707  df-made 27724  df-old 27725  df-left 27727  df-right 27728  df-norec 27805  df-norec2 27816  df-adds 27827  df-negs 27884  df-subs 27885

This theorem is referenced by:  subaddsd  27929