Theorem subadds 28026

Description: Relationship between addition and subtraction for surreals. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
subadds	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +s 𝐶) = 𝐴))

Proof of Theorem subadds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subsval 28016	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 -s 𝐵) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)))
2	1	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐴 -s 𝐵) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)))
3	2	eqeq1d 2737	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) = 𝐶))
4		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → 𝐵 ∈ No )
5		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → 𝐶 ∈ No )
6		negscl 27994	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ No → ( -us ‘𝐵) ∈ No )
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ( -us ‘𝐵) ∈ No )
8	4, 5, 7	adds32d 27966	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐵)) = ((𝐵 +s ( -us ‘𝐵)) +s 𝐶))
9		negsid 27999	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ No → (𝐵 +s ( -us ‘𝐵)) = 0s )
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐵 +s ( -us ‘𝐵)) = 0s )
11	10	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐵 +s ( -us ‘𝐵)) +s 𝐶) = ( 0s +s 𝐶))
12		addslid 27927	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ No → ( 0s +s 𝐶) = 𝐶)
13	12	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ( 0s +s 𝐶) = 𝐶)
14	8, 11, 13	3eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐵)) = 𝐶)
15	14	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐵)) = 𝐶)
16	15	eqeq1d 2737	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐵)) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) ↔ 𝐶 = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵))))
17		eqcom 2742	. . 3 ⊢ (𝐶 = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) ↔ (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) = 𝐶)
18	16, 17	bitrdi 287	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐵)) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) ↔ (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) = 𝐶))
19		addscl 27940	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐵 +s 𝐶) ∈ No )
20	19	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐵 +s 𝐶) ∈ No )
21		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → 𝐴 ∈ No )
22		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → 𝐵 ∈ No )
23	22	negscld 27995	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ( -us ‘𝐵) ∈ No )
24	20, 21, 23	addscan2d 27958	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐵)) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) ↔ (𝐵 +s 𝐶) = 𝐴))
25	3, 18, 24	3bitr2d 307	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +s 𝐶) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   No csur 27603   0_s c0s 27786   +_s cadds 27918   -u_s cnegs 27977   -_s csubs 27978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-ot 4610  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-1o 8480  df-2o 8481  df-nadd 8678  df-no 27606  df-slt 27607  df-bday 27608  df-sle 27709  df-sslt 27745  df-scut 27747  df-0s 27788  df-made 27807  df-old 27808  df-left 27810  df-right 27811  df-norec 27897  df-norec2 27908  df-adds 27919  df-negs 27979  df-subs 27980

This theorem is referenced by:  subaddsd  28027  zseo  28360