Theorem subadds 28463

Description: Relationship between addition and subtraction for surreals. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
subadds	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → ((𝐴 −s 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +s 𝐶) = 𝐴))

Proof of Theorem subadds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subsval 28453	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 −s 𝐵) = (𝐴 +s ( -s‘𝐵)))
2	1	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → (𝐴 −s 𝐵) = (𝐴 +s ( -s‘𝐵)))
3	2	eqeq1d 2762	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → ((𝐴 −s 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐴 +s ( -s‘𝐵)) = 𝐶))
4		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → 𝐵 ∈ No)
5		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → 𝐶 ∈ No)
6		negscl 28429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ No → ( -s‘𝐵) ∈ No)
7	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → ( -s‘𝐵) ∈ No)
8	4, 5, 7	adds32d 28400	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -s‘𝐵)) = ((𝐵 +s ( -s‘𝐵)) +s 𝐶))
9		negsid 28434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ No → (𝐵 +s ( -s‘𝐵)) = 0s )
10	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → (𝐵 +s ( -s‘𝐵)) = 0s )
11	10	oveq1d 7437	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → ((𝐵 +s ( -s‘𝐵)) +s 𝐶) = ( 0s +s 𝐶))
12		addslid 28361	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ No → ( 0s +s 𝐶) = 𝐶)
13	12	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → ( 0s +s 𝐶) = 𝐶)
14	8, 11, 13	3eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -s‘𝐵)) = 𝐶)
15	14	3adant1 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -s‘𝐵)) = 𝐶)
16	15	eqeq1d 2762	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → (((𝐵 +s 𝐶) +s ( -s‘𝐵)) = (𝐴 +s ( -s‘𝐵)) ↔ 𝐶 = (𝐴 +s ( -s‘𝐵))))
17		eqcom 2767	. . 3 ⊢ (𝐶 = (𝐴 +s ( -s‘𝐵)) ↔ (𝐴 +s ( -s‘𝐵)) = 𝐶)
18	16, 17	bitrdi 290	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → (((𝐵 +s 𝐶) +s ( -s‘𝐵)) = (𝐴 +s ( -s‘𝐵)) ↔ (𝐴 +s ( -s‘𝐵)) = 𝐶))
19		addscl 28374	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → (𝐵 +s 𝐶) ∈ No)
20	19	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → (𝐵 +s 𝐶) ∈ No)
21		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → 𝐴 ∈ No)
22		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → 𝐵 ∈ No)
23	22	negscld 28430	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → ( -s‘𝐵) ∈ No)
24	20, 21, 23	addscan2d 28392	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → (((𝐵 +s 𝐶) +s ( -s‘𝐵)) = (𝐴 +s ( -s‘𝐵)) ↔ (𝐵 +s 𝐶) = 𝐴))
25	3, 18, 24	3bitr2d 310	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → ((𝐴 −s 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +s 𝐶) = 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  Nocsur 28004   0_s c0s 28198   +_s cadds 28352   -_scnegs 28412   −_s csubs 28413

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-1o 8481  df-2o 8482  df-nadd 8680  df-no 28007  df-lts 28008  df-bday 28009  df-les 28109  df-slts 28151  df-cuts 28153  df-0s 28200  df-made 28220  df-old 28221  df-left 28223  df-right 28224  df-norec 28331  df-norec2 28342  df-adds 28353  df-negs 28414  df-subs 28415

This theorem is used by:  subaddsd  28464  zseo  28815