Theorem subadds 28513

Description: Relationship between addition and subtraction for surreals. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
subadds	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → ((𝐴 −s 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +s 𝐶) = 𝐴))

Proof of Theorem subadds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subsval 28503	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 −s 𝐵) = (𝐴 +s ( -s‘𝐵)))
2	1	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → (𝐴 −s 𝐵) = (𝐴 +s ( -s‘𝐵)))
3	2	eqeq1d 2765	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → ((𝐴 −s 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐴 +s ( -s‘𝐵)) = 𝐶))
4		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → 𝐵 ∈ No)
5		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → 𝐶 ∈ No)
6		negscl 28479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ No → ( -s‘𝐵) ∈ No)
7	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → ( -s‘𝐵) ∈ No)
8	4, 5, 7	adds32d 28450	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -s‘𝐵)) = ((𝐵 +s ( -s‘𝐵)) +s 𝐶))
9		negsid 28484	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ No → (𝐵 +s ( -s‘𝐵)) = 0s )
10	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → (𝐵 +s ( -s‘𝐵)) = 0s )
11	10	oveq1d 7466	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → ((𝐵 +s ( -s‘𝐵)) +s 𝐶) = ( 0s +s 𝐶))
12		addslid 28411	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ No → ( 0s +s 𝐶) = 𝐶)
13	12	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → ( 0s +s 𝐶) = 𝐶)
14	8, 11, 13	3eqtrd 2802	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -s‘𝐵)) = 𝐶)
15	14	3adant1 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -s‘𝐵)) = 𝐶)
16	15	eqeq1d 2765	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → (((𝐵 +s 𝐶) +s ( -s‘𝐵)) = (𝐴 +s ( -s‘𝐵)) ↔ 𝐶 = (𝐴 +s ( -s‘𝐵))))
17		eqcom 2770	. . 3 ⊢ (𝐶 = (𝐴 +s ( -s‘𝐵)) ↔ (𝐴 +s ( -s‘𝐵)) = 𝐶)
18	16, 17	bitrdi 290	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → (((𝐵 +s 𝐶) +s ( -s‘𝐵)) = (𝐴 +s ( -s‘𝐵)) ↔ (𝐴 +s ( -s‘𝐵)) = 𝐶))
19		addscl 28424	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → (𝐵 +s 𝐶) ∈ No)
20	19	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → (𝐵 +s 𝐶) ∈ No)
21		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → 𝐴 ∈ No)
22		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → 𝐵 ∈ No)
23	22	negscld 28480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → ( -s‘𝐵) ∈ No)
24	20, 21, 23	addscan2d 28442	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → (((𝐵 +s 𝐶) +s ( -s‘𝐵)) = (𝐴 +s ( -s‘𝐵)) ↔ (𝐵 +s 𝐶) = 𝐴))
25	3, 18, 24	3bitr2d 310	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → ((𝐴 −s 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +s 𝐶) = 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Nocsur 28054   0_s c0s 28248   +_s cadds 28402   -_scnegs 28462   −_s csubs 28463

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-ot 4864  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-1o 8514  df-2o 8515  df-nadd 8713  df-no 28057  df-lts 28058  df-bday 28059  df-les 28159  df-slts 28201  df-cuts 28203  df-0s 28250  df-made 28270  df-old 28271  df-left 28273  df-right 28274  df-norec 28381  df-norec2 28392  df-adds 28403  df-negs 28464  df-subs 28465

This theorem is used by:  subaddsd  28514  zseo  28865