Theorem subadds 28150

Description: Relationship between addition and subtraction for surreals. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
subadds	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +s 𝐶) = 𝐴))

Proof of Theorem subadds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subsval 28140	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 -s 𝐵) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)))
2	1	3adant3 1144	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐴 -s 𝐵) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)))
3	2	eqeq1d 2763	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) = 𝐶))
4		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → 𝐵 ∈ No )
5		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → 𝐶 ∈ No )
6		negscl 28116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ No → ( -us ‘𝐵) ∈ No )
7	6	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ( -us ‘𝐵) ∈ No )
8	4, 5, 7	adds32d 28087	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐵)) = ((𝐵 +s ( -us ‘𝐵)) +s 𝐶))
9		negsid 28121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ No → (𝐵 +s ( -us ‘𝐵)) = 0s )
10	9	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐵 +s ( -us ‘𝐵)) = 0s )
11	10	oveq1d 7405	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐵 +s ( -us ‘𝐵)) +s 𝐶) = ( 0s +s 𝐶))
12		addslid 28048	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ No → ( 0s +s 𝐶) = 𝐶)
13	12	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ( 0s +s 𝐶) = 𝐶)
14	8, 11, 13	3eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐵)) = 𝐶)
15	14	3adant1 1142	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐵)) = 𝐶)
16	15	eqeq1d 2763	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐵)) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) ↔ 𝐶 = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵))))
17		eqcom 2768	. . 3 ⊢ (𝐶 = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) ↔ (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) = 𝐶)
18	16, 17	bitrdi 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐵)) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) ↔ (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) = 𝐶))
19		addscl 28061	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐵 +s 𝐶) ∈ No )
20	19	3adant1 1142	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐵 +s 𝐶) ∈ No )
21		simp1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → 𝐴 ∈ No )
22		simp2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → 𝐵 ∈ No )
23	22	negscld 28117	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ( -us ‘𝐵) ∈ No )
24	20, 21, 23	addscan2d 28079	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐵)) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) ↔ (𝐵 +s 𝐶) = 𝐴))
25	3, 18, 24	3bitr2d 309	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +s 𝐶) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390   No csur 27691   0_s c0s 27885   +_s cadds 28039   -u_s cnegs 28099   -_s csubs 28100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-1o 8430  df-2o 8431  df-nadd 8629  df-no 27694  df-lts 27695  df-bday 27696  df-les 27796  df-slts 27838  df-cuts 27840  df-0s 27887  df-made 27907  df-old 27908  df-left 27910  df-right 27911  df-norec 28018  df-norec2 28029  df-adds 28040  df-negs 28101  df-subs 28102

This theorem is referenced by:  subaddsd  28151  zseo  28502