MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gch3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gch3 9833
Description: An equivalent formulation of the generalized continuum hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gch3 (GCH = V ↔ ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥))

Proof of Theorem gch3
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . . 4 ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ On) → 𝑥 ∈ On)
2 fvex 6459 . . . . 5 (ℵ‘𝑥) ∈ V
3 simpl 476 . . . . 5 ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ On) → GCH = V)
42, 3syl5eleqr 2865 . . . 4 ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ On) → (ℵ‘𝑥) ∈ GCH)
5 fvex 6459 . . . . 5 (ℵ‘suc 𝑥) ∈ V
65, 3syl5eleqr 2865 . . . 4 ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ On) → (ℵ‘suc 𝑥) ∈ GCH)
7 gchaleph2 9829 . . . 4 ((𝑥 ∈ On ∧ (ℵ‘𝑥) ∈ GCH ∧ (ℵ‘suc 𝑥) ∈ GCH) → (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥))
81, 4, 6, 7syl3anc 1439 . . 3 ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ On) → (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥))
98ralrimiva 3147 . 2 (GCH = V → ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥))
10 alephgch 9831 . . . . . 6 ((ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥) → (ℵ‘𝑥) ∈ GCH)
1110ralimi 3133 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘𝑥) ∈ GCH)
12 alephfnon 9221 . . . . . 6 ℵ Fn On
13 ffnfv 6652 . . . . . 6 (ℵ:On⟶GCH ↔ (ℵ Fn On ∧ ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘𝑥) ∈ GCH))
1412, 13mpbiran 699 . . . . 5 (ℵ:On⟶GCH ↔ ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘𝑥) ∈ GCH)
1511, 14sylibr 226 . . . 4 (∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥) → ℵ:On⟶GCH)
1615frnd 6298 . . 3 (∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥) → ran ℵ ⊆ GCH)
17 gch2 9832 . . 3 (GCH = V ↔ ran ℵ ⊆ GCH)
1816, 17sylibr 226 . 2 (∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥) → GCH = V)
199, 18impbii 201 1 (GCH = V ↔ ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  wral 3089  Vcvv 3397  wss 3791  𝒫 cpw 4378   class class class wbr 4886  ran crn 5356  Oncon0 5976  suc csuc 5978   Fn wfn 6130  wf 6131  cfv 6135  cen 8238  cale 9095  GCHcgch 9777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-reg 8786  ax-inf2 8835
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-seqom 7826  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-oexp 7849  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-oi 8704  df-har 8752  df-wdom 8753  df-cnf 8856  df-r1 8924  df-rank 8925  df-card 9098  df-aleph 9099  df-ac 9272  df-cda 9325  df-fin4 9444  df-gch 9778
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator