MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gch3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gch3 10620
Description: An equivalent formulation of the generalized continuum hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gch3 (GCH = V ↔ βˆ€π‘₯ ∈ On (β„΅β€˜suc π‘₯) β‰ˆ 𝒫 (β„΅β€˜π‘₯))

Proof of Theorem gch3
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . 4 ((GCH = V ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ π‘₯ ∈ On)
2 fvex 6859 . . . . 5 (β„΅β€˜π‘₯) ∈ V
3 simpl 484 . . . . 5 ((GCH = V ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ GCH = V)
42, 3eleqtrrid 2841 . . . 4 ((GCH = V ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (β„΅β€˜π‘₯) ∈ GCH)
5 fvex 6859 . . . . 5 (β„΅β€˜suc π‘₯) ∈ V
65, 3eleqtrrid 2841 . . . 4 ((GCH = V ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (β„΅β€˜suc π‘₯) ∈ GCH)
7 gchaleph2 10616 . . . 4 ((π‘₯ ∈ On ∧ (β„΅β€˜π‘₯) ∈ GCH ∧ (β„΅β€˜suc π‘₯) ∈ GCH) β†’ (β„΅β€˜suc π‘₯) β‰ˆ 𝒫 (β„΅β€˜π‘₯))
81, 4, 6, 7syl3anc 1372 . . 3 ((GCH = V ∧ π‘₯ ∈ On) β†’ (β„΅β€˜suc π‘₯) β‰ˆ 𝒫 (β„΅β€˜π‘₯))
98ralrimiva 3140 . 2 (GCH = V β†’ βˆ€π‘₯ ∈ On (β„΅β€˜suc π‘₯) β‰ˆ 𝒫 (β„΅β€˜π‘₯))
10 alephgch 10618 . . . . . 6 ((β„΅β€˜suc π‘₯) β‰ˆ 𝒫 (β„΅β€˜π‘₯) β†’ (β„΅β€˜π‘₯) ∈ GCH)
1110ralimi 3083 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ On (β„΅β€˜suc π‘₯) β‰ˆ 𝒫 (β„΅β€˜π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ On (β„΅β€˜π‘₯) ∈ GCH)
12 alephfnon 10009 . . . . . 6 β„΅ Fn On
13 ffnfv 7070 . . . . . 6 (β„΅:On⟢GCH ↔ (β„΅ Fn On ∧ βˆ€π‘₯ ∈ On (β„΅β€˜π‘₯) ∈ GCH))
1412, 13mpbiran 708 . . . . 5 (β„΅:On⟢GCH ↔ βˆ€π‘₯ ∈ On (β„΅β€˜π‘₯) ∈ GCH)
1511, 14sylibr 233 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ On (β„΅β€˜suc π‘₯) β‰ˆ 𝒫 (β„΅β€˜π‘₯) β†’ β„΅:On⟢GCH)
1615frnd 6680 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ On (β„΅β€˜suc π‘₯) β‰ˆ 𝒫 (β„΅β€˜π‘₯) β†’ ran β„΅ βŠ† GCH)
17 gch2 10619 . . 3 (GCH = V ↔ ran β„΅ βŠ† GCH)
1816, 17sylibr 233 . 2 (βˆ€π‘₯ ∈ On (β„΅β€˜suc π‘₯) β‰ˆ 𝒫 (β„΅β€˜π‘₯) β†’ GCH = V)
199, 18impbii 208 1 (GCH = V ↔ βˆ€π‘₯ ∈ On (β„΅β€˜suc π‘₯) β‰ˆ 𝒫 (β„΅β€˜π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  π’« cpw 4564   class class class wbr 5109  ran crn 5638  Oncon0 6321  suc csuc 6323   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500   β‰ˆ cen 8886  β„΅cale 9880  GCHcgch 10564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-reg 9536  ax-inf2 9585
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-seqom 8398  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-oexp 8422  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-oi 9454  df-har 9501  df-wdom 9509  df-cnf 9606  df-r1 9708  df-rank 9709  df-dju 9845  df-card 9883  df-aleph 9884  df-ac 10060  df-fin4 10231  df-gch 10565
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator