Theorem gch3 10559

Description: An equivalent formulation of the generalized continuum hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gch3	⊢ (GCH = V ↔ ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥))

Proof of Theorem gch3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ On) → 𝑥 ∈ On)
2		fvex 6830	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘𝑥) ∈ V
3		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ On) → GCH = V)
4	2, 3	eleqtrrid 2836	. . . 4 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ On) → (ℵ‘𝑥) ∈ GCH)
5		fvex 6830	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘suc 𝑥) ∈ V
6	5, 3	eleqtrrid 2836	. . . 4 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ On) → (ℵ‘suc 𝑥) ∈ GCH)
7		gchaleph2 10555	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (ℵ‘𝑥) ∈ GCH ∧ (ℵ‘suc 𝑥) ∈ GCH) → (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥))
8	1, 4, 6, 7	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ On) → (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥))
9	8	ralrimiva 3122	. 2 ⊢ (GCH = V → ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥))
10		alephgch 10557	. . . . . 6 ⊢ ((ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥) → (ℵ‘𝑥) ∈ GCH)
11	10	ralimi 3067	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘𝑥) ∈ GCH)
12		alephfnon 9948	. . . . . 6 ⊢ ℵ Fn On
13		ffnfv 7047	. . . . . 6 ⊢ (ℵ:On⟶GCH ↔ (ℵ Fn On ∧ ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘𝑥) ∈ GCH))
14	12, 13	mpbiran 709	. . . . 5 ⊢ (ℵ:On⟶GCH ↔ ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘𝑥) ∈ GCH)
15	11, 14	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥) → ℵ:On⟶GCH)
16	15	frnd 6655	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥) → ran ℵ ⊆ GCH)
17		gch2 10558	. . 3 ⊢ (GCH = V ↔ ran ℵ ⊆ GCH)
18	16, 17	sylibr 234	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥) → GCH = V)
19	9, 18	impbii 209	1 ⊢ (GCH = V ↔ ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ∀wral 3045  Vcvv 3434   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4548   class class class wbr 5089  ran crn 5615  Oncon0 6302  suc csuc 6304   Fn wfn 6472  ⟶wf 6473  ‘cfv 6477   ≈ cen 8861  ℵcale 9821  GCHcgch 10503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-reg 9473  ax-inf2 9526

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-seqom 8362  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-omul 8385  df-oexp 8386  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-oi 9391  df-har 9438  df-wdom 9446  df-cnf 9547  df-r1 9649  df-rank 9650  df-dju 9786  df-card 9824  df-aleph 9825  df-ac 9999  df-fin4 10170  df-gch 10504

This theorem is referenced by: (None)