Theorem gch3 9833

Description: An equivalent formulation of the generalized continuum hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gch3	⊢ (GCH = V ↔ ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥))

Proof of Theorem gch3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 479	. . . 4 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ On) → 𝑥 ∈ On)
2		fvex 6459	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘𝑥) ∈ V
3		simpl 476	. . . . 5 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ On) → GCH = V)
4	2, 3	syl5eleqr 2865	. . . 4 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ On) → (ℵ‘𝑥) ∈ GCH)
5		fvex 6459	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘suc 𝑥) ∈ V
6	5, 3	syl5eleqr 2865	. . . 4 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ On) → (ℵ‘suc 𝑥) ∈ GCH)
7		gchaleph2 9829	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (ℵ‘𝑥) ∈ GCH ∧ (ℵ‘suc 𝑥) ∈ GCH) → (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥))
8	1, 4, 6, 7	syl3anc 1439	. . 3 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ On) → (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥))
9	8	ralrimiva 3147	. 2 ⊢ (GCH = V → ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥))
10		alephgch 9831	. . . . . 6 ⊢ ((ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥) → (ℵ‘𝑥) ∈ GCH)
11	10	ralimi 3133	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘𝑥) ∈ GCH)
12		alephfnon 9221	. . . . . 6 ⊢ ℵ Fn On
13		ffnfv 6652	. . . . . 6 ⊢ (ℵ:On⟶GCH ↔ (ℵ Fn On ∧ ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘𝑥) ∈ GCH))
14	12, 13	mpbiran 699	. . . . 5 ⊢ (ℵ:On⟶GCH ↔ ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘𝑥) ∈ GCH)
15	11, 14	sylibr 226	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥) → ℵ:On⟶GCH)
16	15	frnd 6298	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥) → ran ℵ ⊆ GCH)
17		gch2 9832	. . 3 ⊢ (GCH = V ↔ ran ℵ ⊆ GCH)
18	16, 17	sylibr 226	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥) → GCH = V)
19	9, 18	impbii 201	1 ⊢ (GCH = V ↔ ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥))

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  ∀wral 3089  Vcvv 3397   ⊆ wss 3791  𝒫 cpw 4378   class class class wbr 4886  ran crn 5356  Oncon0 5976  suc csuc 5978   Fn wfn 6130  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135   ≈ cen 8238  ℵcale 9095  GCHcgch 9777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-reg 8786  ax-inf2 8835

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-seqom 7826  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-oexp 7849  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-oi 8704  df-har 8752  df-wdom 8753  df-cnf 8856  df-r1 8924  df-rank 8925  df-card 9098  df-aleph 9099  df-ac 9272  df-cda 9325  df-fin4 9444  df-gch 9778

This theorem is referenced by: (None)