Theorem gch3 10645

Description: An equivalent formulation of the generalized continuum hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gch3	⊢ (GCH = V ↔ ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥))

Proof of Theorem gch3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ On) → 𝑥 ∈ On)
2		fvex 6880	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘𝑥) ∈ V
3		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ On) → GCH = V)
4	2, 3	eleqtrrid 2870	. . . 4 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ On) → (ℵ‘𝑥) ∈ GCH)
5		fvex 6880	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘suc 𝑥) ∈ V
6	5, 3	eleqtrrid 2870	. . . 4 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ On) → (ℵ‘suc 𝑥) ∈ GCH)
7		gchaleph2 10641	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (ℵ‘𝑥) ∈ GCH ∧ (ℵ‘suc 𝑥) ∈ GCH) → (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥))
8	1, 4, 6, 7	syl3anc 1392	. . 3 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ On) → (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥))
9	8	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ (GCH = V → ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥))
10		alephgch 10643	. . . . . 6 ⊢ ((ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥) → (ℵ‘𝑥) ∈ GCH)
11	10	ralimi 3100	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘𝑥) ∈ GCH)
12		alephfnon 10033	. . . . . 6 ⊢ ℵ Fn On
13		ffnfv 7100	. . . . . 6 ⊢ (ℵ:On⟶GCH ↔ (ℵ Fn On ∧ ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘𝑥) ∈ GCH))
14	12, 13	mpbiran 719	. . . . 5 ⊢ (ℵ:On⟶GCH ↔ ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘𝑥) ∈ GCH)
15	11, 14	sylibr 236	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥) → ℵ:On⟶GCH)
16	15	frnd 6700	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥) → ran ℵ ⊆ GCH)
17		gch2 10644	. . 3 ⊢ (GCH = V ↔ ran ℵ ⊆ GCH)
18	16, 17	sylibr 236	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥) → GCH = V)
19	9, 18	impbii 211	1 ⊢ (GCH = V ↔ ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∀wral 3077  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5101  ran crn 5649  Oncon0 6346  suc csuc 6348   Fn wfn 6516  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521   ≈ cen 8924  ℵcale 9906  GCHcgch 10589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-reg 9538  ax-inf2 9594

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-seqom 8419  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-oexp 8443  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9306  df-oi 9456  df-har 9503  df-wdom 9511  df-cnf 9615  df-r1 9720  df-rank 9721  df-dju 9871  df-card 9909  df-aleph 9910  df-ac 10084  df-fin4 10255  df-gch 10590

This theorem is referenced by: (None)