MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gch3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gch3 10701
Description: An equivalent formulation of the generalized continuum hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gch3 (GCH = V ↔ ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥))

Proof of Theorem gch3
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . 4 ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ On) → 𝑥 ∈ On)
2 fvex 6909 . . . . 5 (ℵ‘𝑥) ∈ V
3 simpl 481 . . . . 5 ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ On) → GCH = V)
42, 3eleqtrrid 2832 . . . 4 ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ On) → (ℵ‘𝑥) ∈ GCH)
5 fvex 6909 . . . . 5 (ℵ‘suc 𝑥) ∈ V
65, 3eleqtrrid 2832 . . . 4 ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ On) → (ℵ‘suc 𝑥) ∈ GCH)
7 gchaleph2 10697 . . . 4 ((𝑥 ∈ On ∧ (ℵ‘𝑥) ∈ GCH ∧ (ℵ‘suc 𝑥) ∈ GCH) → (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥))
81, 4, 6, 7syl3anc 1368 . . 3 ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ On) → (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥))
98ralrimiva 3135 . 2 (GCH = V → ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥))
10 alephgch 10699 . . . . . 6 ((ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥) → (ℵ‘𝑥) ∈ GCH)
1110ralimi 3072 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘𝑥) ∈ GCH)
12 alephfnon 10090 . . . . . 6 ℵ Fn On
13 ffnfv 7128 . . . . . 6 (ℵ:On⟶GCH ↔ (ℵ Fn On ∧ ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘𝑥) ∈ GCH))
1412, 13mpbiran 707 . . . . 5 (ℵ:On⟶GCH ↔ ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘𝑥) ∈ GCH)
1511, 14sylibr 233 . . . 4 (∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥) → ℵ:On⟶GCH)
1615frnd 6731 . . 3 (∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥) → ran ℵ ⊆ GCH)
17 gch2 10700 . . 3 (GCH = V ↔ ran ℵ ⊆ GCH)
1816, 17sylibr 233 . 2 (∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥) → GCH = V)
199, 18impbii 208 1 (GCH = V ↔ ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘suc 𝑥) ≈ 𝒫 (ℵ‘𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  Vcvv 3461  wss 3944  𝒫 cpw 4604   class class class wbr 5149  ran crn 5679  Oncon0 6371  suc csuc 6373   Fn wfn 6544  wf 6545  cfv 6549  cen 8961  cale 9961  GCHcgch 10645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-reg 9617  ax-inf2 9666
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-seqom 8469  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-oexp 8493  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-oi 9535  df-har 9582  df-wdom 9590  df-cnf 9687  df-r1 9789  df-rank 9790  df-dju 9926  df-card 9964  df-aleph 9965  df-ac 10141  df-fin4 10312  df-gch 10646
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator