Theorem alephsucpw 10523

Description: The power set of an aleph dominates the successor aleph. (The Generalized Continuum Hypothesis says they are equinumerous, see gch3 10629 or gchaleph2 10625.) (Contributed by NM, 27-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
alephsucpw	⊢ (ℵ‘suc 𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐴)

Proof of Theorem alephsucpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephsucpw2 10064	. 2 ⊢ ¬ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐴)
2		fvex 6871	. . 3 ⊢ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ V
3		fvex 6871	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ V
4	3	pwex 5335	. . 3 ⊢ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ∈ V
5		domtri 10509	. . 3 ⊢ (((ℵ‘suc 𝐴) ∈ V ∧ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ∈ V) → ((ℵ‘suc 𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ↔ ¬ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐴)))
6	2, 4, 5	mp2an 692	. 2 ⊢ ((ℵ‘suc 𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ↔ ¬ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐴))
7	1, 6	mpbir 231	1 ⊢ (ℵ‘suc 𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447  𝒫 cpw 4563   class class class wbr 5107  suc csuc 6334  ‘cfv 6511   ≼ cdom 8916   ≺ csdm 8917  ℵcale 9889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-ac2 10416

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-oi 9463  df-har 9510  df-card 9892  df-aleph 9893  df-ac 10069

This theorem is referenced by:  aleph1  10524