Theorem alephsucpw 9792

Description: The power set of an aleph dominates the successor aleph. (The Generalized Continuum Hypothesis says they are equinumerous, see gch3 9898 or gchaleph2 9894.) (Contributed by NM, 27-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
alephsucpw	⊢ (ℵ‘suc 𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐴)

Proof of Theorem alephsucpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephsucpw2 9333	. 2 ⊢ ¬ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐴)
2		fvex 6514	. . 3 ⊢ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ V
3		fvex 6514	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ V
4	3	pwex 5135	. . 3 ⊢ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ∈ V
5		domtri 9778	. . 3 ⊢ (((ℵ‘suc 𝐴) ∈ V ∧ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ∈ V) → ((ℵ‘suc 𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ↔ ¬ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐴)))
6	2, 4, 5	mp2an 679	. 2 ⊢ ((ℵ‘suc 𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ↔ ¬ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐴))
7	1, 6	mpbir 223	1 ⊢ (ℵ‘suc 𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 198   ∈ wcel 2050  Vcvv 3415  𝒫 cpw 4423   class class class wbr 4930  suc csuc 6033  ‘cfv 6190   ≼ cdom 8306   ≺ csdm 8307  ℵcale 9161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-inf2 8900  ax-ac2 9685

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-om 7399  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-oi 8771  df-har 8819  df-card 9164  df-aleph 9165  df-ac 9338

This theorem is referenced by:  aleph1  9793