Theorem alephsucpw 10487

Description: The power set of an aleph dominates the successor aleph. (The Generalized Continuum Hypothesis says they are equinumerous, see gch3 10593 or gchaleph2 10589.) (Contributed by NM, 27-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
alephsucpw	⊢ (ℵ‘suc 𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐴)

Proof of Theorem alephsucpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephsucpw2 10027	. 2 ⊢ ¬ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐴)
2		fvex 6848	. . 3 ⊢ (ℵ‘suc 𝐴) ∈ V
3		fvex 6848	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ V
4	3	pwex 5318	. . 3 ⊢ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ∈ V
5		domtri 10472	. . 3 ⊢ (((ℵ‘suc 𝐴) ∈ V ∧ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ∈ V) → ((ℵ‘suc 𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ↔ ¬ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐴)))
6	2, 4, 5	mp2an 693	. 2 ⊢ ((ℵ‘suc 𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ↔ ¬ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐴))
7	1, 6	mpbir 231	1 ⊢ (ℵ‘suc 𝐴) ≼ 𝒫 (ℵ‘𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  𝒫 cpw 4542   class class class wbr 5086  suc csuc 6320  ‘cfv 6493   ≼ cdom 8885   ≺ csdm 8886  ℵcale 9854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-ac2 10379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-oi 9419  df-har 9466  df-card 9857  df-aleph 9858  df-ac 10032

This theorem is referenced by:  aleph1  10488