Theorem alephsucpw2 10115

Description: The power set of an aleph is not strictly dominated by the successor aleph. (The Generalized Continuum Hypothesis says they are equinumerous, see gch3 10686 or gchaleph2 10682.) The transposed form alephsucpw 10580 cannot be proven without the AC, and is in fact equivalent to it. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
alephsucpw2	⊢ ¬ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐴)

Proof of Theorem alephsucpw2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6892	. . 3 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ V
2	1	canth2 9129	. 2 ⊢ (ℵ‘𝐴) ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴)
3		alephnbtwn2 10076	. 2 ⊢ ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ∧ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐴))
4	2, 3	mptnan 1801	1 ⊢ ¬ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103  suc csuc 6359  ‘cfv 6533   ≺ csdm 8952  ℵcale 9942

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-oi 9483  df-har 9530  df-card 9945  df-aleph 9946

This theorem is used by:  alephsucpw  10580  gchaleph  10681