Theorem alephsucpw2 10096

Description: The power set of an aleph is not strictly dominated by the successor aleph. (The Generalized Continuum Hypothesis says they are equinumerous, see gch3 10662 or gchaleph2 10658.) The transposed form alephsucpw 10556 cannot be proven without the AC, and is in fact equivalent to it. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
alephsucpw2	⊢ ¬ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐴)

Proof of Theorem alephsucpw2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6896	. . 3 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ V
2	1	canth2 9119	. 2 ⊢ (ℵ‘𝐴) ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴)
3		alephnbtwn2 10057	. 2 ⊢ ¬ ((ℵ‘𝐴) ≺ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ∧ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐴))
4	2, 3	mptnan 1798	1 ⊢ ¬ 𝒫 (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘suc 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3  𝒫 cpw 4563   class class class wbr 5110  suc csuc 6364  ‘cfv 6538   ≺ csdm 8943  ℵcale 9923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-oi 9473  df-har 9520  df-card 9926  df-aleph 9927

This theorem is referenced by:  alephsucpw  10556  gchaleph  10657