Theorem axicn 11173

Description: i is a complex number. Axiom 3 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-icn 11197. (Contributed by NM, 23-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axicn	⊢ i ∈ ℂ

Proof of Theorem axicn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 11103	. 2 ⊢ 0R ∈ R
2		1sr 11104	. 2 ⊢ 1R ∈ R
3		df-i 11147	. . . 4 ⊢ i = ⟨0R, 1R⟩
4	3	eleq1i 2820	. . 3 ⊢ (i ∈ ℂ ↔ ⟨0R, 1R⟩ ∈ ℂ)
5		opelcn 11152	. . 3 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ ∈ ℂ ↔ (0R ∈ R ∧ 1R ∈ R))
6	4, 5	bitri 275	. 2 ⊢ (i ∈ ℂ ↔ (0R ∈ R ∧ 1R ∈ R))
7	1, 2, 6	mpbir2an 710	1 ⊢ i ∈ ℂ

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  ⟨cop 4635  Rcnr 10888  0_Rc0r 10889  1_Rc1r 10890  ℂcc 11136  ici 11140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-oadd 8490  df-omul 8491  df-er 8724  df-ec 8726  df-qs 8730  df-ni 10895  df-pli 10896  df-mi 10897  df-lti 10898  df-plpq 10931  df-mpq 10932  df-ltpq 10933  df-enq 10934  df-nq 10935  df-erq 10936  df-plq 10937  df-mq 10938  df-1nq 10939  df-rq 10940  df-ltnq 10941  df-np 11004  df-1p 11005  df-plp 11006  df-enr 11078  df-nr 11079  df-0r 11083  df-1r 11084  df-c 11144  df-i 11147

This theorem is referenced by: (None)