Theorem axicn 11259

Description: i is a complex number. Axiom 3 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-icn 11283. (Contributed by NM, 23-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axicn	⊢ i ∈ ℂ

Proof of Theorem axicn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 11189	. 2 ⊢ 0R ∈ R
2		1sr 11190	. 2 ⊢ 1R ∈ R
3		df-i 11233	. . . 4 ⊢ i = ⟨0R, 1R⟩
4	3	eleq1i 2855	. . 3 ⊢ (i ∈ ℂ ↔ ⟨0R, 1R⟩ ∈ ℂ)
5		opelcn 11238	. . 3 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ ∈ ℂ ↔ (0R ∈ R ∧ 1R ∈ R))
6	4, 5	bitri 278	. 2 ⊢ (i ∈ ℂ ↔ (0R ∈ R ∧ 1R ∈ R))
7	1, 2, 6	mpbir2an 724	1 ⊢ i ∈ ℂ

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ⟨cop 4838  Rcnr 10974  0_Rc0r 10975  1_Rc1r 10976  ℂcc 11222  ici 11226

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-oadd 8505  df-omul 8506  df-er 8742  df-ec 8744  df-qs 8748  df-ni 10981  df-pli 10982  df-mi 10983  df-lti 10984  df-plpq 11017  df-mpq 11018  df-ltpq 11019  df-enq 11020  df-nq 11021  df-erq 11022  df-plq 11023  df-mq 11024  df-1nq 11025  df-rq 11026  df-ltnq 11027  df-np 11090  df-1p 11091  df-plp 11092  df-enr 11164  df-nr 11165  df-0r 11169  df-1r 11170  df-c 11230  df-i 11233

This theorem is used by: (None)