Theorem axicn 11068

Description: i is a complex number. Axiom 3 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-icn 11092. (Contributed by NM, 23-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axicn	⊢ i ∈ ℂ

Proof of Theorem axicn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 10998	. 2 ⊢ 0R ∈ R
2		1sr 10999	. 2 ⊢ 1R ∈ R
3		df-i 11042	. . . 4 ⊢ i = ⟨0R, 1R⟩
4	3	eleq1i 2832	. . 3 ⊢ (i ∈ ℂ ↔ ⟨0R, 1R⟩ ∈ ℂ)
5		opelcn 11047	. . 3 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ ∈ ℂ ↔ (0R ∈ R ∧ 1R ∈ R))
6	4, 5	bitri 277	. 2 ⊢ (i ∈ ℂ ↔ (0R ∈ R ∧ 1R ∈ R))
7	1, 2, 6	mpbir2an 718	1 ⊢ i ∈ ℂ

Syntax hints:   ∧ wa 397   ∈ wcel 2121  ⟨cop 4564  Rcnr 10783  0_Rc0r 10784  1_Rc1r 10785  ℂcc 11031  ici 11035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-ni 10790  df-pli 10791  df-mi 10792  df-lti 10793  df-plpq 10826  df-mpq 10827  df-ltpq 10828  df-enq 10829  df-nq 10830  df-erq 10831  df-plq 10832  df-mq 10833  df-1nq 10834  df-rq 10835  df-ltnq 10836  df-np 10899  df-1p 10900  df-plp 10901  df-enr 10973  df-nr 10974  df-0r 10978  df-1r 10979  df-c 11039  df-i 11042

This theorem is referenced by: (None)