Theorem ax1cn 11135

Description: 1 is a complex number. Axiom 2 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1cn 11159. (Contributed by NM, 12-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ax1cn	⊢ 1 ∈ ℂ

Proof of Theorem ax1cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axresscn 11134	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		df-1 11109	. . 3 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
3		1sr 11067	. . . 4 ⊢ 1R ∈ R
4		opelreal 11116	. . . 4 ⊢ (⟨1R, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 1R ∈ R)
5	3, 4	mpbir 234	. . 3 ⊢ ⟨1R, 0R⟩ ∈ ℝ
6	2, 5	eqeltri 2859	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
7	1, 6	sselii 3935	1 ⊢ 1 ∈ ℂ

Syntax hints:   ∈ wcel 2143  ⟨cop 4596  Rcnr 10851  0_Rc0r 10852  1_Rc1r 10853  ℂcc 11099  ℝcr 11100  1c1 11102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-ec 8697  df-qs 8701  df-ni 10858  df-pli 10859  df-mi 10860  df-lti 10861  df-plpq 10894  df-mpq 10895  df-ltpq 10896  df-enq 10897  df-nq 10898  df-erq 10899  df-plq 10900  df-mq 10901  df-1nq 10902  df-rq 10903  df-ltnq 10904  df-np 10967  df-1p 10968  df-plp 10969  df-enr 11041  df-nr 11042  df-0r 11046  df-1r 11047  df-c 11107  df-1 11109  df-r 11111

This theorem is referenced by: (None)