MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax1cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ax1cn 11172
Description: 1 is a complex number. Axiom 2 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1cn 11196. (Contributed by NM, 12-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax1cn 1 ∈ ℂ

Proof of Theorem ax1cn
StepHypRef Expression
1 axresscn 11171 . 2 ℝ ⊆ ℂ
2 df-1 11146 . . 3 1 = ⟨1R, 0R
3 1sr 11104 . . . 4 1RR
4 opelreal 11153 . . . 4 (⟨1R, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 1RR)
53, 4mpbir 230 . . 3 ⟨1R, 0R⟩ ∈ ℝ
62, 5eqeltri 2825 . 2 1 ∈ ℝ
71, 6sselii 3977 1 1 ∈ ℂ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2099  cop 4635  Rcnr 10888  0Rc0r 10889  1Rc1r 10890  cc 11136  cr 11137  1c1 11139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-oadd 8490  df-omul 8491  df-er 8724  df-ec 8726  df-qs 8730  df-ni 10895  df-pli 10896  df-mi 10897  df-lti 10898  df-plpq 10931  df-mpq 10932  df-ltpq 10933  df-enq 10934  df-nq 10935  df-erq 10936  df-plq 10937  df-mq 10938  df-1nq 10939  df-rq 10940  df-ltnq 10941  df-np 11004  df-1p 11005  df-plp 11006  df-enr 11078  df-nr 11079  df-0r 11083  df-1r 11084  df-c 11144  df-1 11146  df-r 11148
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator