Theorem ax1cn 11141

Description: 1 is a complex number. Axiom 2 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1cn 11165. (Contributed by NM, 12-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ax1cn	⊢ 1 ∈ ℂ

Proof of Theorem ax1cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axresscn 11140	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		df-1 11115	. . 3 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
3		1sr 11073	. . . 4 ⊢ 1R ∈ R
4		opelreal 11122	. . . 4 ⊢ (⟨1R, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 1R ∈ R)
5	3, 4	mpbir 230	. . 3 ⊢ ⟨1R, 0R⟩ ∈ ℝ
6	2, 5	eqeltri 2821	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
7	1, 6	sselii 3972	1 ⊢ 1 ∈ ℂ

Syntax hints:   ∈ wcel 2098  ⟨cop 4627  Rcnr 10857  0_Rc0r 10858  1_Rc1r 10859  ℂcc 11105  ℝcr 11106  1c1 11108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-ni 10864  df-pli 10865  df-mi 10866  df-lti 10867  df-plpq 10900  df-mpq 10901  df-ltpq 10902  df-enq 10903  df-nq 10904  df-erq 10905  df-plq 10906  df-mq 10907  df-1nq 10908  df-rq 10909  df-ltnq 10910  df-np 10973  df-1p 10974  df-plp 10975  df-enr 11047  df-nr 11048  df-0r 11052  df-1r 11053  df-c 11113  df-1 11115  df-r 11117

This theorem is referenced by: (None)