Theorem ax1cn 10905

Description: 1 is a complex number. Axiom 2 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1cn 10929. (Contributed by NM, 12-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ax1cn	⊢ 1 ∈ ℂ

Proof of Theorem ax1cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axresscn 10904	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		df-1 10879	. . 3 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
3		1sr 10837	. . . 4 ⊢ 1R ∈ R
4		opelreal 10886	. . . 4 ⊢ (⟨1R, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 1R ∈ R)
5	3, 4	mpbir 230	. . 3 ⊢ ⟨1R, 0R⟩ ∈ ℝ
6	2, 5	eqeltri 2835	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
7	1, 6	sselii 3918	1 ⊢ 1 ∈ ℂ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4567  Rcnr 10621  0_Rc0r 10622  1_Rc1r 10623  ℂcc 10869  ℝcr 10870  1c1 10872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-ec 8500  df-qs 8504  df-ni 10628  df-pli 10629  df-mi 10630  df-lti 10631  df-plpq 10664  df-mpq 10665  df-ltpq 10666  df-enq 10667  df-nq 10668  df-erq 10669  df-plq 10670  df-mq 10671  df-1nq 10672  df-rq 10673  df-ltnq 10674  df-np 10737  df-1p 10738  df-plp 10739  df-enr 10811  df-nr 10812  df-0r 10816  df-1r 10817  df-c 10877  df-1 10879  df-r 10881

This theorem is referenced by: (None)