Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | eqid 2733 |
. 2
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
2 | | cdleme12.l |
. 2
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | simp11l 1285 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
4 | 3 | hllatd 37872 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β Lat) |
5 | | simp21l 1291 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
6 | | simp22l 1293 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
7 | | cdleme12.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
8 | | cdleme12.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | 1, 7, 8 | hlatjcl 37875 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
10 | 3, 5, 6, 9 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
11 | | simp11r 1286 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π») |
12 | | simp12l 1287 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
13 | | simp13l 1289 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
14 | | cdleme12.m |
. . . . . 6
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
15 | | cdleme12.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
16 | | cdleme12.u |
. . . . . 6
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
17 | | cdleme12.f |
. . . . . 6
β’ πΉ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
18 | 2, 7, 14, 8, 15, 16, 17, 1 | cdleme1b 38735 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β πΉ β (BaseβπΎ)) |
19 | 3, 11, 12, 13, 5, 18 | syl23anc 1378 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΉ β (BaseβπΎ)) |
20 | | cdleme12.g |
. . . . . 6
β’ πΊ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
21 | 2, 7, 14, 8, 15, 16, 20, 1 | cdleme1b 38735 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β πΊ β (BaseβπΎ)) |
22 | 3, 11, 12, 13, 6, 21 | syl23anc 1378 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΊ β (BaseβπΎ)) |
23 | 1, 7 | latjcl 18333 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ πΉ β (BaseβπΎ) β§ πΊ β (BaseβπΎ)) β (πΉ β¨ πΊ) β (BaseβπΎ)) |
24 | 4, 19, 22, 23 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (πΉ β¨ πΊ) β (BaseβπΎ)) |
25 | 1, 14 | latmcl 18334 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (πΉ β¨ πΊ) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ πΊ)) β (BaseβπΎ)) |
26 | 4, 10, 24, 25 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ πΊ)) β (BaseβπΎ)) |
27 | 1, 7, 8 | hlatjcl 37875 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
28 | 3, 6, 12, 27 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
29 | 1, 8 | atbase 37797 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
30 | 13, 29 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
31 | 1, 7 | latjcl 18333 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ πΊ β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (πΊ β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
32 | 4, 22, 30, 31 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (πΊ β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
33 | 1, 14 | latmcl 18334 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (πΊ β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ (πΊ β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
34 | 4, 28, 32, 33 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ (πΊ β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
35 | 1, 7, 8 | hlatjcl 37875 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
36 | 3, 12, 5, 35 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
37 | 1, 7 | latjcl 18333 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ πΉ β (BaseβπΎ)) β (π β¨ πΉ) β (BaseβπΎ)) |
38 | 4, 30, 19, 37 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ πΉ) β (BaseβπΎ)) |
39 | 1, 14 | latmcl 18334 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ πΉ) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ πΉ)) β (BaseβπΎ)) |
40 | 4, 36, 38, 39 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ πΉ)) β (BaseβπΎ)) |
41 | 1, 7 | latjcl 18333 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π β¨ π) β§ (πΊ β¨ π)) β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π) β§ (π β¨ πΉ)) β (BaseβπΎ)) β (((π β¨ π) β§ (πΊ β¨ π)) β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ πΉ))) β (BaseβπΎ)) |
42 | 4, 34, 40, 41 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (((π β¨ π) β§ (πΊ β¨ π)) β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ πΉ))) β (BaseβπΎ)) |
43 | 1, 15 | lhpbase 38507 |
. . 3
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
44 | 11, 43 | syl 17 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
45 | 2, 7, 14, 8, 15, 16, 17, 20 | cdleme14 38782 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ πΊ)) β€ (((π β¨ π) β§ (πΊ β¨ π)) β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ πΉ)))) |
46 | | eqid 2733 |
. . . . 5
β’ ((π β¨ π) β§ π) = ((π β¨ π) β§ π) |
47 | | eqid 2733 |
. . . . 5
β’ ((π β¨ π) β§ π) = ((π β¨ π) β§ π) |
48 | 2, 7, 14, 8, 15, 16, 17, 20, 46, 47 | cdleme15a 38783 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (((π β¨ π) β§ (πΊ β¨ π)) β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ πΉ))) = (((π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β¨ ((π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))))) |
49 | 2, 7, 14, 8, 15, 16, 17, 20, 46, 47 | cdleme15c 38785 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (((π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β¨ ((π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)))) = (((π β¨ π) β§ π) β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
50 | 48, 49 | eqtrd 2773 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (((π β¨ π) β§ (πΊ β¨ π)) β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ πΉ))) = (((π β¨ π) β§ π) β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
51 | 2, 7, 14, 8, 15, 16, 17, 20, 46, 47 | cdleme15d 38786 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (((π β¨ π) β§ π) β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β€ π) |
52 | 50, 51 | eqbrtrd 5128 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (((π β¨ π) β§ (πΊ β¨ π)) β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ πΉ))) β€ π) |
53 | 1, 2, 4, 26, 42, 44, 45, 52 | lattrd 18340 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ πΊ)) β€ π) |