Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme32.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
2 | 1 | fvexi 6861 |
. . 3
β’ π΅ β V |
3 | | anass 470 |
. . . 4
β’ (((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π) β (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π))) |
4 | | cdleme32.o |
. . . . . . 7
β’ π = (β©π§ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π₯ β§ π)) = π₯) β π§ = (π β¨ (π₯ β§ π)))) |
5 | | cdleme32.f |
. . . . . . 7
β’ πΉ = (π₯ β π΅ β¦ if((π β π β§ Β¬ π₯ β€ π), π, π₯)) |
6 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
β’
(β©π§
β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π) β π§ = (π β¨ (π β§ π)))) = (β©π§ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π) β π§ = (π β¨ (π β§ π)))) |
7 | 4, 5, 6 | cdleme31fv1 38883 |
. . . . . 6
β’ ((π β π΅ β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β (πΉβπ) = (β©π§ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π) β π§ = (π β¨ (π β§ π))))) |
8 | 7 | adantl 483 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π))) β (πΉβπ) = (β©π§ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π) β π§ = (π β¨ (π β§ π))))) |
9 | | cdleme32.l |
. . . . . . 7
β’ β€ =
(leβπΎ) |
10 | | cdleme32.j |
. . . . . . 7
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
11 | | cdleme32.m |
. . . . . . 7
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
12 | | cdleme32.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
13 | | cdleme32.h |
. . . . . . 7
β’ π» = (LHypβπΎ) |
14 | | cdleme32.u |
. . . . . . 7
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
15 | | cdleme32.c |
. . . . . . 7
β’ πΆ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π ) β§ π))) |
16 | | cdleme32.d |
. . . . . . 7
β’ π· = ((π‘ β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
17 | | cdleme32.e |
. . . . . . 7
β’ πΈ = ((π β¨ π) β§ (π· β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
18 | | cdleme32.i |
. . . . . . 7
β’ πΌ = (β©π¦ β π΅ βπ‘ β π΄ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β π¦ = πΈ)) |
19 | | cdleme32.n |
. . . . . . 7
β’ π = if(π β€ (π β¨ π), πΌ, πΆ) |
20 | 1, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 4, 5 | cdleme32fvcl 38932 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΅) β (πΉβπ) β π΅) |
21 | 20 | adantrr 716 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π))) β (πΉβπ) β π΅) |
22 | 8, 21 | riotasvd 37447 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π))) β§ π΅ β V) β ((π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (πΉβπ) = (π β¨ (π β§ π)))) |
23 | 3, 22 | biimtrid 241 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π))) β§ π΅ β V) β (((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π) β (πΉβπ) = (π β¨ (π β§ π)))) |
24 | 2, 23 | mpan2 690 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π))) β (((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π) β (πΉβπ) = (π β¨ (π β§ π)))) |
25 | 24 | 3impia 1118 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (πΉβπ) = (π β¨ (π β§ π))) |