Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp3l 1202 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ (πΊβπ) β π)) β (π
βπΊ) β€ (π β¨ π)) |
2 | | simp11 1204 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ (πΊβπ) β π)) β πΎ β HL) |
3 | | simp12 1205 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ (πΊβπ) β π)) β π β π») |
4 | | simp13 1206 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ (πΊβπ) β π)) β πΊ β π) |
5 | | cdlemg12.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
6 | | cdlemg12.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
7 | | cdlemg12.t |
. . . . 5
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
8 | | cdlemg12b.r |
. . . . 5
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
9 | 5, 6, 7, 8 | trlle 38676 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π) β (π
βπΊ) β€ π) |
10 | 2, 3, 4, 9 | syl21anc 837 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ (πΊβπ) β π)) β (π
βπΊ) β€ π) |
11 | 2 | hllatd 37855 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ (πΊβπ) β π)) β πΎ β Lat) |
12 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
13 | 12, 6, 7, 8 | trlcl 38656 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π) β (π
βπΊ) β (BaseβπΎ)) |
14 | 2, 3, 4, 13 | syl21anc 837 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ (πΊβπ) β π)) β (π
βπΊ) β (BaseβπΎ)) |
15 | | simp21l 1291 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ (πΊβπ) β π)) β π β π΄) |
16 | | simp22 1208 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ (πΊβπ) β π)) β π β π΄) |
17 | | cdlemg12.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
18 | | cdlemg12.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
19 | 12, 17, 18 | hlatjcl 37858 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
20 | 2, 15, 16, 19 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ (πΊβπ) β π)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
21 | 12, 6 | lhpbase 38490 |
. . . . 5
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
22 | 3, 21 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ (πΊβπ) β π)) β π β (BaseβπΎ)) |
23 | | cdlemg12.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
24 | 12, 5, 23 | latlem12 18362 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π
βπΊ) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β (((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ (π
βπΊ) β€ π) β (π
βπΊ) β€ ((π β¨ π) β§ π))) |
25 | 11, 14, 20, 22, 24 | syl13anc 1373 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ (πΊβπ) β π)) β (((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ (π
βπΊ) β€ π) β (π
βπΊ) β€ ((π β¨ π) β§ π))) |
26 | 1, 10, 25 | mpbi2and 711 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ (πΊβπ) β π)) β (π
βπΊ) β€ ((π β¨ π) β§ π)) |
27 | | hlatl 37851 |
. . . 4
β’ (πΎ β HL β πΎ β AtLat) |
28 | 2, 27 | syl 17 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ (πΊβπ) β π)) β πΎ β AtLat) |
29 | | simp21 1207 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ (πΊβπ) β π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
30 | | simp3r 1203 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ (πΊβπ) β π)) β (πΊβπ) β π) |
31 | 5, 18, 6, 7, 8 | trlat 38661 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊ β π β§ (πΊβπ) β π)) β (π
βπΊ) β π΄) |
32 | 2, 3, 29, 4, 30, 31 | syl212anc 1381 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ (πΊβπ) β π)) β (π
βπΊ) β π΄) |
33 | | simp23 1209 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ (πΊβπ) β π)) β π β π) |
34 | 5, 17, 23, 18, 6 | lhpat 38535 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π)) β ((π β¨ π) β§ π) β π΄) |
35 | 2, 3, 29, 16, 33, 34 | syl212anc 1381 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ (πΊβπ) β π)) β ((π β¨ π) β§ π) β π΄) |
36 | 5, 18 | atcmp 37802 |
. . 3
β’ ((πΎ β AtLat β§ (π
βπΊ) β π΄ β§ ((π β¨ π) β§ π) β π΄) β ((π
βπΊ) β€ ((π β¨ π) β§ π) β (π
βπΊ) = ((π β¨ π) β§ π))) |
37 | 28, 32, 35, 36 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ (πΊβπ) β π)) β ((π
βπΊ) β€ ((π β¨ π) β§ π) β (π
βπΊ) = ((π β¨ π) β§ π))) |
38 | 26, 37 | mpbid 231 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ (πΊβπ) β π)) β (π
βπΊ) = ((π β¨ π) β§ π)) |