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Theorem cdlemg17dALTN 38290
Description: Same as cdlemg17dN 38289 with fewer antecedents but longer proof TODO: fix comment. (Contributed by NM, 9-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg17dALTN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐺) = ((𝑃 𝑄) 𝑊))

Proof of Theorem cdlemg17dALTN
StepHypRef Expression
1 simp3l 1202 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))
2 simp11 1204 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐾 ∈ HL)
3 simp12 1205 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑊𝐻)
4 simp13 1206 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐺𝑇)
5 cdlemg12.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
6 cdlemg12.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 cdlemg12.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 cdlemg12b.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
95, 6, 7, 8trlle 37810 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) 𝑊)
102, 3, 4, 9syl21anc 837 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐺) 𝑊)
112hllatd 36990 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐾 ∈ Lat)
12 eqid 2738 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1312, 6, 7, 8trlcl 37790 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
142, 3, 4, 13syl21anc 837 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
15 simp21l 1291 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑃𝐴)
16 simp22 1208 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑄𝐴)
17 cdlemg12.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
18 cdlemg12.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1912, 17, 18hlatjcl 36993 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
202, 15, 16, 19syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
2112, 6lhpbase 37624 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
223, 21syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
23 cdlemg12.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
2412, 5, 23latlem12 17797 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐺) 𝑊) ↔ (𝑅𝐺) ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
2511, 14, 20, 22, 24syl13anc 1373 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐺) 𝑊) ↔ (𝑅𝐺) ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
261, 10, 25mpbi2and 712 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐺) ((𝑃 𝑄) 𝑊))
27 hlatl 36986 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
282, 27syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐾 ∈ AtLat)
29 simp21 1207 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
30 simp3r 1203 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)
315, 18, 6, 7, 8trlat 37795 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐺𝑇 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
322, 3, 29, 4, 30, 31syl212anc 1381 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
33 simp23 1209 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑃𝑄)
345, 17, 23, 18, 6lhpat 37669 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴)
352, 3, 29, 16, 33, 34syl212anc 1381 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴)
365, 18atcmp 36937 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴) → ((𝑅𝐺) ((𝑃 𝑄) 𝑊) ↔ (𝑅𝐺) = ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
3728, 32, 35, 36syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → ((𝑅𝐺) ((𝑃 𝑄) 𝑊) ↔ (𝑅𝐺) = ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
3826, 37mpbid 235 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐺) = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934   class class class wbr 5027  cfv 6333  (class class class)co 7164  Basecbs 16579  lecple 16668  joincjn 17663  meetcmee 17664  Latclat 17764  Atomscatm 36889  AtLatcal 36890  HLchlt 36976  LHypclh 37610  LTrncltrn 37727  trLctrl 37784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-map 8432  df-proset 17647  df-poset 17665  df-plt 17677  df-lub 17693  df-glb 17694  df-join 17695  df-meet 17696  df-p0 17758  df-p1 17759  df-lat 17765  df-clat 17827  df-oposet 36802  df-ol 36804  df-oml 36805  df-covers 36892  df-ats 36893  df-atl 36924  df-cvlat 36948  df-hlat 36977  df-lhyp 37614  df-laut 37615  df-ldil 37730  df-ltrn 37731  df-trl 37785
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