Theorem cdlemg17dALTN 40934

Description: Same as cdlemg17dN 40933 with fewer antecedents but longer proof TODO: fix comment. (Contributed by NM, 9-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg12.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemg12.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemg12.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemg17dALTN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊))

Proof of Theorem cdlemg17dALTN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3l 1202	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
2		simp11 1204	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐾 ∈ HL)
3		simp12 1205	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
4		simp13 1206	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
5		cdlemg12.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		cdlemg12.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		cdlemg12.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8		cdlemg12b.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	trlle 40454	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐺) ≤ 𝑊)
10	2, 3, 4, 9	syl21anc 837	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅‘𝐺) ≤ 𝑊)
11	2	hllatd 39634	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐾 ∈ Lat)
12		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13	12, 6, 7, 8	trlcl 40434	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
14	2, 3, 4, 13	syl21anc 837	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
15		simp21l 1291	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
16		simp22 1208	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
17		cdlemg12.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
18		cdlemg12.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
19	12, 17, 18	hlatjcl 39637	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
20	2, 15, 16, 19	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
21	12, 6	lhpbase 40268	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
22	3, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
23		cdlemg12.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
24	12, 5, 23	latlem12 18389	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅‘𝐺) ≤ 𝑊) ↔ (𝑅‘𝐺) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)))
25	11, 14, 20, 22, 24	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅‘𝐺) ≤ 𝑊) ↔ (𝑅‘𝐺) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)))
26	1, 10, 25	mpbi2and 712	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅‘𝐺) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊))
27		hlatl 39630	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
28	2, 27	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐾 ∈ AtLat)
29		simp21 1207	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
30		simp3r 1203	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)
31	5, 18, 6, 7, 8	trlat 40439	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴)
32	2, 3, 29, 4, 30, 31	syl212anc 1382	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴)
33		simp23 1209	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑃 ≠ 𝑄)
34	5, 17, 23, 18, 6	lhpat 40313	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ∈ 𝐴)
35	2, 3, 29, 16, 33, 34	syl212anc 1382	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ∈ 𝐴)
36	5, 18	atcmp 39581	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ∈ 𝐴) → ((𝑅‘𝐺) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ↔ (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)))
37	28, 32, 35, 36	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → ((𝑅‘𝐺) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ↔ (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)))
38	26, 37	mpbid 232	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  lecple 17184  joincjn 18234  meetcmee 18235  Latclat 18354  Atomscatm 39533  AtLatcal 39534  HLchlt 39620  LHypclh 40254  LTrncltrn 40371  trLctrl 40428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8765  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-p1 18347  df-lat 18355  df-clat 18422  df-oposet 39446  df-ol 39448  df-oml 39449  df-covers 39536  df-ats 39537  df-atl 39568  df-cvlat 39592  df-hlat 39621  df-lhyp 40258  df-laut 40259  df-ldil 40374  df-ltrn 40375  df-trl 40429

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