Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg17dALTN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg17dALTN 36472
Description: Same as cdlemg17dN 36471 with fewer antecedents but longer proof TODO: fix comment. (Contributed by NM, 9-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg17dALTN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐺) = ((𝑃 𝑄) 𝑊))

Proof of Theorem cdlemg17dALTN
StepHypRef Expression
1 simp3l 1243 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄))
2 simp11 1245 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐾 ∈ HL)
3 simp12 1246 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑊𝐻)
4 simp13 1247 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐺𝑇)
5 cdlemg12.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
6 cdlemg12.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 cdlemg12.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 cdlemg12b.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
95, 6, 7, 8trlle 35992 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) 𝑊)
102, 3, 4, 9syl21anc 1475 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐺) 𝑊)
112hllatd 35171 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐾 ∈ Lat)
12 eqid 2771 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1312, 6, 7, 8trlcl 35972 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
142, 3, 4, 13syl21anc 1475 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
15 simp21l 1374 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑃𝐴)
16 simp22 1249 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑄𝐴)
17 cdlemg12.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
18 cdlemg12.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1912, 17, 18hlatjcl 35174 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
202, 15, 16, 19syl3anc 1476 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
2112, 6lhpbase 35805 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
223, 21syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
23 cdlemg12.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
2412, 5, 23latlem12 17286 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐺) 𝑊) ↔ (𝑅𝐺) ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
2511, 14, 20, 22, 24syl13anc 1478 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐺) 𝑊) ↔ (𝑅𝐺) ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
261, 10, 25mpbi2and 691 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐺) ((𝑃 𝑄) 𝑊))
27 hlatl 35167 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
282, 27syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐾 ∈ AtLat)
29 simp21 1248 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
30 simp3r 1244 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)
315, 18, 6, 7, 8trlat 35977 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐺𝑇 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
322, 3, 29, 4, 30, 31syl212anc 1486 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
33 simp23 1250 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑃𝑄)
345, 17, 23, 18, 6lhpat 35850 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴)
352, 3, 29, 16, 33, 34syl212anc 1486 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴)
365, 18atcmp 35118 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴) → ((𝑅𝐺) ((𝑃 𝑄) 𝑊) ↔ (𝑅𝐺) = ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
3728, 32, 35, 36syl3anc 1476 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → ((𝑅𝐺) ((𝑃 𝑄) 𝑊) ↔ (𝑅𝐺) = ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
3826, 37mpbid 222 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ ((𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐺) = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943   class class class wbr 4787  cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  lecple 16156  joincjn 17152  meetcmee 17153  Latclat 17253  Atomscatm 35070  AtLatcal 35071  HLchlt 35157  LHypclh 35791  LTrncltrn 35908  trLctrl 35966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-map 8015  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34983  df-ol 34985  df-oml 34986  df-covers 35073  df-ats 35074  df-atl 35105  df-cvlat 35129  df-hlat 35158  df-lhyp 35795  df-laut 35796  df-ldil 35911  df-ltrn 35912  df-trl 35967
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator