Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1 1133 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (πΊβπ) β π)) β (πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π)) |
2 | | simp21 1203 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (πΊβπ) β π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
3 | | simpl1 1188 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β HL) |
4 | | simpl2 1189 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β π») |
5 | | simpl3 1190 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΊ β π) |
6 | | simpr 484 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
7 | | cdlemg12.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
8 | | cdlemg12.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
9 | | cdlemg12.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
10 | | cdlemg12.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
11 | | cdlemg12.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
12 | | cdlemg12.t |
. . . . 5
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
13 | | cdlemg12b.r |
. . . . 5
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
14 | 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 | trlval2 39547 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π
βπΊ) = ((π β¨ (πΊβπ)) β§ π)) |
15 | 3, 4, 5, 6, 14 | syl211anc 1373 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π
βπΊ) = ((π β¨ (πΊβπ)) β§ π)) |
16 | 1, 2, 15 | syl2anc 583 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (πΊβπ) β π)) β (π
βπΊ) = ((π β¨ (πΊβπ)) β§ π)) |
17 | | simp11 1200 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (πΊβπ) β π)) β πΎ β HL) |
18 | | simp12 1201 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (πΊβπ) β π)) β π β π») |
19 | 17, 18 | jca 511 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (πΊβπ) β π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
20 | | simp22 1204 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (πΊβπ) β π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
21 | | simp13 1202 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (πΊβπ) β π)) β πΊ β π) |
22 | | simp23 1205 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (πΊβπ) β π)) β π β π) |
23 | | simp33 1208 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (πΊβπ) β π)) β (πΊβπ) β π) |
24 | | simp31 1206 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (πΊβπ) β π)) β (π
βπΊ) β€ (π β¨ π)) |
25 | | simp32 1207 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (πΊβπ) β π)) β Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) |
26 | 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 | cdlemg17b 40046 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΊ β π β§ π β π) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΊβπ) = π) |
27 | 19, 2, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 | syl323anc 1397 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (πΊβπ) β π)) β (πΊβπ) = π) |
28 | 27 | oveq2d 7421 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (πΊβπ) β π)) β (π β¨ (πΊβπ)) = (π β¨ π)) |
29 | 28 | oveq1d 7420 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (πΊβπ) β π)) β ((π β¨ (πΊβπ)) β§ π) = ((π β¨ π) β§ π)) |
30 | 16, 29 | eqtrd 2766 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)) β§ (πΊβπ) β π)) β (π
βπΊ) = ((π β¨ π) β§ π)) |