Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg17dN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemg17dN 40191
Description: TODO: fix comment. (Contributed by NM, 9-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg12.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemg12.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemg17dN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ÿ   𝐺,π‘Ÿ   ∨ ,π‘Ÿ   ≀ ,π‘Ÿ   𝑃,π‘Ÿ   𝑄,π‘Ÿ   π‘Š,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘Ÿ)   𝑇(π‘Ÿ)   𝐻(π‘Ÿ)   𝐾(π‘Ÿ)   ∧ (π‘Ÿ)
Proof of Theorem cdlemg17dN
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇))
2 simp21 1203 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
3 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
4 simpl2 1189 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
5 simpl3 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
6 simpr 483 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
7 cdlemg12.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 cdlemg12.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
9 cdlemg12.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
10 cdlemg12.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
11 cdlemg12.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
12 cdlemg12.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
13 cdlemg12b.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
147, 8, 9, 10, 11, 12, 13trlval2 39691 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
153, 4, 5, 6, 14syl211anc 1373 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
161, 2, 15syl2anc 582 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
17 simp11 1200 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
18 simp12 1201 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
1917, 18jca 510 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
20 simp22 1204 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
21 simp13 1202 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
22 simp23 1205 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
23 simp33 1208 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)
24 simp31 1206 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
25 simp32 1207 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))
267, 8, 9, 10, 11, 12, 13cdlemg17b 40190 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) = 𝑄)
2719, 2, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26syl323anc 1397 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) = 𝑄)
2827oveq2d 7431 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = (𝑃 ∨ 𝑄))
2928oveq1d 7430 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))
3016, 29eqtrd 2765 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  lecple 17237  joincjn 18300  meetcmee 18301  Atomscatm 38790  HLchlt 38877  LHypclh 39512  LTrncltrn 39629  trLctrl 39686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-map 8843  df-proset 18284  df-poset 18302  df-plt 18319  df-lub 18335  df-glb 18336  df-join 18337  df-meet 18338  df-p0 18414  df-p1 18415  df-lat 18421  df-clat 18488  df-oposet 38703  df-ol 38705  df-oml 38706  df-covers 38793  df-ats 38794  df-atl 38825  df-cvlat 38849  df-hlat 38878  df-psubsp 39031  df-pmap 39032  df-padd 39324  df-lhyp 39516  df-laut 39517  df-ldil 39632  df-ltrn 39633  df-trl 39687
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator