Theorem cdlemg2fv 40602

Description: Value of a translation in terms of an associated atom. cdleme48fvg 40503 with simpler hypotheses. TODO: Use ltrnj 40135 to vastly simplify. (Contributed by NM, 23-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg2inv.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg2inv.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg2j.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemg2j.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemg2j.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg2j.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemg2j.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cdlemg2fv	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) → (𝐹‘𝑋) = ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)))

Proof of Theorem cdlemg2fv

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑠 𝑡 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemg2j.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cdlemg2j.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		cdlemg2j.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		cdlemg2j.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
5		cdlemg2j.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		cdlemg2inv.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		cdlemg2inv.t	. 2 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2736	. 2 ⊢ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊) = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)
9		eqid 2736	. 2 ⊢ ((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊))) = ((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊)))
10		eqid 2736	. 2 ⊢ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊))) ∨ ((𝑠 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊))) = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊))) ∨ ((𝑠 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊)))
11		eqid 2736	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊), (℩𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ (𝑠 ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞), (℩𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑡 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) → 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊))) ∨ ((𝑠 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊))))), ⦋𝑠 / 𝑡⦌((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊)))) ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)))), 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊), (℩𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ (𝑠 ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞), (℩𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑡 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) → 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊))) ∨ ((𝑠 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊))))), ⦋𝑠 / 𝑡⦌((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊)))) ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)))), 𝑥))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	cdlemg2fvlem 40597	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) → (𝐹‘𝑋) = ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ⦋csb 3898  ifcif 4524   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6560  ℩crio 7388  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  lecple 17305  joincjn 18358  meetcmee 18359  Atomscatm 39265  HLchlt 39352  LHypclh 39987  LTrncltrn 40104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-riotaBAD 38955

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-undef 8299  df-map 8869  df-proset 18341  df-poset 18360  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-p1 18472  df-lat 18478  df-clat 18545  df-oposet 39178  df-ol 39180  df-oml 39181  df-covers 39268  df-ats 39269  df-atl 39300  df-cvlat 39324  df-hlat 39353  df-llines 39501  df-lplanes 39502  df-lvols 39503  df-lines 39504  df-psubsp 39506  df-pmap 39507  df-padd 39799  df-lhyp 39991  df-laut 39992  df-ldil 40107  df-ltrn 40108  df-trl 40162

This theorem is referenced by:  cdlemg2fv2  40603  cdlemg7fvbwN  40610  cdlemg7fvN  40627