Theorem cdlemg2fv 41473

Description: Value of a translation in terms of an associated atom. cdleme48fvg 41374 with simpler hypotheses. TODO: Use ltrnj 41006 to vastly simplify. (Contributed by NM, 23-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg2inv.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg2inv.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg2j.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemg2j.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemg2j.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg2j.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemg2j.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cdlemg2fv	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) → (𝐹‘𝑋) = ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)))

Proof of Theorem cdlemg2fv

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑠 𝑡 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemg2j.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cdlemg2j.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		cdlemg2j.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		cdlemg2j.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
5		cdlemg2j.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		cdlemg2inv.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		cdlemg2inv.t	. 2 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2760	. 2 ⊢ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊) = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)
9		eqid 2760	. 2 ⊢ ((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊))) = ((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊)))
10		eqid 2760	. 2 ⊢ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊))) ∨ ((𝑠 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊))) = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊))) ∨ ((𝑠 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊)))
11		eqid 2760	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊), (℩𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ (𝑠 ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞), (℩𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑡 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) → 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊))) ∨ ((𝑠 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊))))), ⦋𝑠 / 𝑡⦌((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊)))) ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)))), 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊), (℩𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ (𝑠 ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞), (℩𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑡 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) → 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊))) ∨ ((𝑠 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊))))), ⦋𝑠 / 𝑡⦌((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊)))) ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)))), 𝑥))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	cdlemg2fvlem 41468	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) → (𝐹‘𝑋) = ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ⦋csb 3847  ifcif 4482   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  ℩crio 7370  (class class class)co 7414  Basecbs 17302  lecple 17350  joincjn 18400  meetcmee 18401  Atomscatm 40137  HLchlt 40224  LHypclh 40858  LTrncltrn 40975

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-riotaBAD 39827

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-undef 8272  df-map 8829  df-proset 18383  df-poset 18402  df-plt 18417  df-lub 18433  df-glb 18434  df-join 18435  df-meet 18436  df-p0 18512  df-p1 18513  df-lat 18521  df-clat 18588  df-oposet 40050  df-ol 40052  df-oml 40053  df-covers 40140  df-ats 40141  df-atl 40172  df-cvlat 40196  df-hlat 40225  df-llines 40372  df-lplanes 40373  df-lvols 40374  df-lines 40375  df-psubsp 40377  df-pmap 40378  df-padd 40670  df-lhyp 40862  df-laut 40863  df-ldil 40978  df-ltrn 40979  df-trl 41033

This theorem is used by:  cdlemg2fv2  41474  cdlemg7fvbwN  41481  cdlemg7fvN  41498