Theorem cdlemg2fv 40975

Description: Value of a translation in terms of an associated atom. cdleme48fvg 40876 with simpler hypotheses. TODO: Use ltrnj 40508 to vastly simplify. (Contributed by NM, 23-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg2inv.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg2inv.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg2j.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemg2j.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemg2j.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg2j.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemg2j.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cdlemg2fv	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) → (𝐹‘𝑋) = ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)))

Proof of Theorem cdlemg2fv

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑠 𝑡 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemg2j.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cdlemg2j.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		cdlemg2j.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		cdlemg2j.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
5		cdlemg2j.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		cdlemg2inv.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		cdlemg2inv.t	. 2 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2737	. 2 ⊢ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊) = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)
9		eqid 2737	. 2 ⊢ ((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊))) = ((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊)))
10		eqid 2737	. 2 ⊢ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊))) ∨ ((𝑠 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊))) = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊))) ∨ ((𝑠 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊)))
11		eqid 2737	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊), (℩𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ (𝑠 ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞), (℩𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑡 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) → 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊))) ∨ ((𝑠 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊))))), ⦋𝑠 / 𝑡⦌((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊)))) ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)))), 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊), (℩𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ (𝑠 ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞), (℩𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑡 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) → 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊))) ∨ ((𝑠 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊))))), ⦋𝑠 / 𝑡⦌((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)) ∧ (𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊)))) ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)))), 𝑥))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	cdlemg2fvlem 40970	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) → (𝐹‘𝑋) = ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ⦋csb 3851  ifcif 4481   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500  ℩crio 7324  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  lecple 17196  joincjn 18246  meetcmee 18247  Atomscatm 39639  HLchlt 39726  LHypclh 40360  LTrncltrn 40477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-riotaBAD 39329

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-undef 8225  df-map 8777  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-p1 18359  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 39552  df-ol 39554  df-oml 39555  df-covers 39642  df-ats 39643  df-atl 39674  df-cvlat 39698  df-hlat 39727  df-llines 39874  df-lplanes 39875  df-lvols 39876  df-lines 39877  df-psubsp 39879  df-pmap 39880  df-padd 40172  df-lhyp 40364  df-laut 40365  df-ldil 40480  df-ltrn 40481  df-trl 40535

This theorem is referenced by:  cdlemg2fv2  40976  cdlemg7fvbwN  40983  cdlemg7fvN  41000