Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdlemg2.b |
. . 3
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
2 | | cdlemg2.l |
. . 3
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | cdlemg2.j |
. . 3
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
4 | | cdlemg2.m |
. . 3
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
5 | | cdlemg2.a |
. . 3
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | | cdlemg2.h |
. . 3
β’ π» = (LHypβπΎ) |
7 | | cdlemg2.t |
. . 3
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
8 | | cdlemg2ex.u |
. . 3
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
9 | | cdlemg2ex.d |
. . 3
β’ π· = ((π‘ β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
10 | | cdlemg2ex.e |
. . 3
β’ πΈ = ((π β¨ π) β§ (π· β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
11 | | cdlemg2ex.g |
. . 3
β’ πΊ = (π₯ β π΅ β¦ if((π β π β§ Β¬ π₯ β€ π), (β©π§ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π₯ β§ π)) = π₯) β π§ = (if(π β€ (π β¨ π), (β©π¦ β π΅ βπ‘ β π΄ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β π¦ = πΈ)), β¦π / π‘β¦π·) β¨ (π₯ β§ π)))), π₯)) |
12 | | fveq1 6825 |
. . . 4
β’ (πΉ = πΊ β (πΉβ(π β¨ π)) = (πΊβ(π β¨ π))) |
13 | | fveq1 6825 |
. . . . 5
β’ (πΉ = πΊ β (πΉβπ) = (πΊβπ)) |
14 | | fveq1 6825 |
. . . . 5
β’ (πΉ = πΊ β (πΉβπ) = (πΊβπ)) |
15 | 13, 14 | oveq12d 7356 |
. . . 4
β’ (πΉ = πΊ β ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)) = ((πΊβπ) β¨ (πΊβπ))) |
16 | 12, 15 | eqeq12d 2752 |
. . 3
β’ (πΉ = πΊ β ((πΉβ(π β¨ π)) = ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)) β (πΊβ(π β¨ π)) = ((πΊβπ) β¨ (πΊβπ)))) |
17 | | vex 3445 |
. . . . 5
β’ π β V |
18 | | eqid 2736 |
. . . . . 6
β’ ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π ) β§ π))) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π ) β§ π))) |
19 | 9, 18 | cdleme31sc 38703 |
. . . . 5
β’ (π β V β
β¦π / π‘β¦π· = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π ) β§ π)))) |
20 | 17, 19 | ax-mp 5 |
. . . 4
β’
β¦π /
π‘β¦π· = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π ) β§ π))) |
21 | | eqid 2736 |
. . . 4
β’
(β©π¦
β π΅ βπ‘ β π΄ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β π¦ = πΈ)) = (β©π¦ β π΅ βπ‘ β π΄ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β π¦ = πΈ)) |
22 | | eqid 2736 |
. . . 4
β’ if(π β€ (π β¨ π), (β©π¦ β π΅ βπ‘ β π΄ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β π¦ = πΈ)), β¦π / π‘β¦π·) = if(π β€ (π β¨ π), (β©π¦ β π΅ βπ‘ β π΄ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β π¦ = πΈ)), β¦π / π‘β¦π·) |
23 | | eqid 2736 |
. . . 4
β’
(β©π§
β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π₯ β§ π)) = π₯) β π§ = (if(π β€ (π β¨ π), (β©π¦ β π΅ βπ‘ β π΄ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β π¦ = πΈ)), β¦π / π‘β¦π·) β¨ (π₯ β§ π)))) = (β©π§ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π₯ β§ π)) = π₯) β π§ = (if(π β€ (π β¨ π), (β©π¦ β π΅ βπ‘ β π΄ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β π¦ = πΈ)), β¦π / π‘β¦π·) β¨ (π₯ β§ π)))) |
24 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 20, 9, 10, 21, 22, 23, 11 | cdleme42mgN 38807 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (πΊβ(π β¨ π)) = ((πΊβπ) β¨ (πΊβπ))) |
25 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 16, 24 | cdlemg2ce 38911 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (πΉβ(π β¨ π)) = ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ))) |
26 | 25 | 3com23 1125 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ β π) β (πΉβ(π β¨ π)) = ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ))) |