Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | id 22 |
. . . . 5
β’ (π = π β π = π) |
2 | | 2fveq3 6830 |
. . . . 5
β’ (π = π β (πΉβ(πΊβπ)) = (πΉβ(πΊβπ))) |
3 | 1, 2 | oveq12d 7355 |
. . . 4
β’ (π = π β (π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) |
4 | 3 | oveq1d 7352 |
. . 3
β’ (π = π β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
5 | 4 | adantl 482 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ π = π) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
6 | | simpl1 1190 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ π β π) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
7 | | simpl2 1191 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ π β π) β ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) |
8 | | simpl3l 1227 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ π β π) β πΉ β π) |
9 | | simpl3r 1228 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ π β π) β πΊ β π) |
10 | | simpr 485 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ π β π) β π β π) |
11 | | cdlemg35.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
12 | | cdlemg35.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
13 | | cdlemg35.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
14 | | cdlemg35.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
15 | | cdlemg35.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
16 | | cdlemg35.t |
. . . 4
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
17 | | eqid 2736 |
. . . 4
β’
((trLβπΎ)βπ) = ((trLβπΎ)βπ) |
18 | 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 | cdlemg39 38984 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π)) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
19 | 6, 7, 8, 9, 10, 18 | syl113anc 1381 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ π β π) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
20 | 5, 19 | pm2.61dane 3029 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |