Theorem cdlemg40 41551

Description: Eliminate 𝑃 ≠ 𝑄 conditions from cdlemg39 41550. TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 31-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg35.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemg35.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemg35.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemg35.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg35.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg35.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemg40	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) = ((𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ∧ 𝑊))

Proof of Theorem cdlemg40

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → 𝑃 = 𝑄)
2		2fveq3 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) = (𝐹‘(𝐺‘𝑄)))
3	1, 2	oveq12d 7437	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) = (𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))))
4	3	oveq1d 7434	. . 3 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) = ((𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ∧ 𝑊))
5	4	adantl 487	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) = ((𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ∧ 𝑊))
6		simpl1 1210	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		simpl2 1211	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)))
8		simpl3l 1247	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝐹 ∈ 𝑇)
9		simpl3r 1248	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝐺 ∈ 𝑇)
10		simpr 490	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ≠ 𝑄)
11		cdlemg35.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
12		cdlemg35.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
13		cdlemg35.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
14		cdlemg35.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15		cdlemg35.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
16		cdlemg35.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
17		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
18	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	cdlemg39 41550	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) = ((𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ∧ 𝑊))
19	6, 7, 8, 9, 10, 18	syl113anc 1409	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) = ((𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ∧ 𝑊))
20	5, 19	pm2.61dane 3047	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) = ((𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ∧ 𝑊))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  lecple 17341  joincjn 18391  meetcmee 18392  Atomscatm 40097  HLchlt 40184  LHypclh 40818  LTrncltrn 40935  trLctrl 40992

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-riotaBAD 39787

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-undef 8275  df-map 8832  df-proset 18374  df-poset 18393  df-plt 18408  df-lub 18424  df-glb 18425  df-join 18426  df-meet 18427  df-p0 18503  df-p1 18504  df-lat 18512  df-clat 18579  df-oposet 40010  df-ol 40012  df-oml 40013  df-covers 40100  df-ats 40101  df-atl 40132  df-cvlat 40156  df-hlat 40185  df-llines 40332  df-lplanes 40333  df-lvols 40334  df-lines 40335  df-psubsp 40337  df-pmap 40338  df-padd 40630  df-lhyp 40822  df-laut 40823  df-ldil 40938  df-ltrn 40939  df-trl 40993

This theorem is used by:  cdlemg41  41552